1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 10
Текст из файла (страница 10)
агссйп 1/со а 3 ' 1ысаш 1/сЬ а ' Гя.П. Кон4ормнна отоараханил 2.1Т9. Плоскость с разрезами по лучам (-оо,р], [д, +оо) (-т/2 < Рис. 10 < р < д < х/2) и по отрезкам — е < у < а, х = х/2+ кя (к = О, х1, х2,...) отобразить на верхнюю полуплоскость (рис. 10).
2.180*. Плоскость с разрезами по лучам 0 < у < оо, х = кх/2 (к = О, *1,х2,...) отобразить на верхнюю полуплоскость. Простейшие многолистные отображения В задачах 2.181-2.184 отображения приводят к многолистным областям (см. сноску на с. 49). 2.181. Найти области, на которые отображаются с помощью функции ш = е'г 1) прямоугольник 0 < х < о, 0 < у < Ь; 2) лолуполоса О < х < о, у > 0; 3) полоса 0 < х < е.
2.182. Найти области, на которые отображаются с помощью функции щ = созьч 1) полоса — я/2 < х < х/2; 2) полоса О < х < 2т. 2.183. Найти область, на которую с помощью функции нг = газ отображается полоса 0 < х < 2л. 2.184. Построить риманову поверхность, на которую функция щ = е1г' отображает з-плоскость. 3 5.
Границы однолистности, выпукяости и звездности Пусть щ = /(з) — функция, аналитическая в начале координат, и /(0) = О. В задачах 2.185-2.193 через гг обозначен максимальный радиус круга с центром в начале координат, в котором функция щ = /(з) однолистна; через гз — максимальный радиус круга с центром в начале координат, который функцией щ = /(з) отображается однолистно на выпуклую область, и через гз — максимальный радиус круга с центром в начале координат, отображаемого функцией ш = /(з) однолистно на область, звездную относительно точки щ = О. (Область до. Границы однолистности, выпуклости и»вввдности 53 называется звездной относительно данной точки, если любую точку области можно соединить с данной прямолинейным отрезком, целиком лежащим в области.) Очевидно, что гз < гз < гы 2.185. Для функции ш = — найти гв, гз, гз и построить 1 †» образы кругов )»( < гв, )»! < гг, ~4 < гз 2.186.
Найти г1 для каждой из следующих функций: 1) ш = »+»»; 2) ш = »+ а»з (а — действительное число); 3)шт Л1 — ). 2.187. Доказать, что при отобрежении»о = 1(») кривизна образа окружности ф = г выражается формулой к = /»1'(»)! 2.188. Доказать, что аналитическая функция 1(») отображает окружность ф = г на выпуклую кривую тогда и только тогда, когда и — ~ — '+ р+а»81'(»)~ =1+Не~ ~ >О для всех 1о(» = гегв) ).
2.189. Доказать, что круг ф < г отображается аналитической функцией 1(») (1(0) = О) на область, звездную относительно точки д 1 1'(»)1 ю = О, тогда и только тогда, когда — а»8~(») = Ке ~ ~ 3 О для ду ~Д.))- всех 1о (» = ге1е). 2.190. Доказать: 1) если функция т = 1(») (1(0) = О) отображает круг ф < 1 на область, звездную относительно точки ю = О, то функция ш1 = / — Ш г У(1) будет отображать этот же круг на выпуклую область; 2) если ш = 1(») отображает круг (»~ < 1 на выпуклую область, то шв = »1'(») совеРшает отобРажение этого кРУга на область, звездную относительно точки в = О. 2.191.
Найти гз для каждой из следующих функций: 1) ш = »+»з; 2) ш = »+ а»' (а — действительное число); 3) 1о = »/(1 — »)з. 2.192. Найти гс и гз для функции ш = е* — 1. 2.193. Найти гз для каждой из следующих функций: 1) ш = »+»з; 2) ю = »+ а»з (а — действительное число); 3) ш = »/(1 — »)з. Указание. При решении задачи 2.193, 3) удобнее исходить не- а посредственно из неравенства — (~р+ ахйу'(»)) > О.
д1о ") См., нвпрнмер, (4, ге. ХИ1, 1 2). ГЛАВА 1П ИНТЕГРАЛЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В задачах этой главы, а также и в следующих главах, если не оговорено противное, обход простых (т. е. без точек самопересечения) замкнутых контуров происходит в положительном направлении. 3 1, Интегрирование функций комплексного переменного 3.1. Непосредственным суммированием доказать равенства: и 1 1) /дг = з~ — зе, '2) /з0з = — (г~~ — го).
— о. и и 3.2. Пусть С вЂ” простой замкнутый контур, ограничивающий площадь Л. Доказать следующие равенства: 1) /хдг = гЯ; 2) /угу = — Я; 3) /гсЬ = 2г5. с С С З.З. Вычислить интегралы 1г — — /хсзр, 1з —— /угу по следующим путям: 1) по радиусу-вектору точки г = 2+ г; 2) по полуокружности ~з) = 1, О < аглг < х (начало пути —- н точке г = 1); 3) по окружности (з — а~ = В.
3.4. Вычислить интеграл /фея по следующим путям: 1) по радиусу-вектору точки з = 2 — г; 2) по полуокружности ф = 1, О < агяз < л (начало пути— в точке г = 1); 3) по полуокружности ф =1, — л/2 <вгбз <я/2 (начало путив в точке з = — г); 4) по окружности ~з~ = Н. З.б. Вычислить интеграл /(з~Зг1з, где С вЂ” замкнутый контур, с состоящий из верхней полуокружности ф = 1 и отрезка — 1 < <х<1, у=О. 3.6. Вычислить интеграл / — дз, где С вЂ” граница полукольца, С изображенного на рис.
11. у 1. Интегрирование функций комплексного переменного 55 З.Т. Вычислить интеграл (г — а)" г(г (и — целое числа): 1) по полуокружности ~г— — а~ = Л, 0 < агя (г — а) < я (начало пути — в точке г = а + гг); 2) поокружности ~г — а~ =Л„ 3) по периметру квадрата с центром в точке а и сторонами, параллельными осям координат, Рис. 11 В задачах 3.8-3.11 стоящая под знаком интеграла ветвь многозначной функции выделяется заданием ее значения в некоторой точке контура интегрирования. Если контур замкнут, то начальной точкой пути интегрирования всегда считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции (следует иметь в виду, что величина интеграла может зависеть от выбора атой начальной точки). г йг 3.8. Вычислить интеграл / — по следующим контурам: ' l,/- 1) по полуокружности )г! = 1, у > О, Я = 1; 2) по полуокружности ф = 1, у ) О, 1/Т = — 1; 3) по полуокружности ф = 1, у < О, 1/1 = 1; 4) по окружности (г( = 1, т/1 = 1; 3) по окружности ~г~ = 1, т/ — 1 = 1.
3.9. Вычислить интеграл /'Ьпгбг, где; с 1) С вЂ” единичная окружность и Ьп1 = 0; 2) С вЂ” единичная окружность и Ьпу = кг/2; 3) С вЂ” окружность ф = Л и Ьп В =!и Л; 4) С вЂ” окружность ~г) = Л и Ьпй =)пг1+ 2кг. 3.10. Вычислить интеграл (' г" Ьпгдг, где и — целое число и: ай=1 1) Ьп1 = О; 2) 1п( — 1) = ггг', 3.11. Вычислить интеграл ( г аг, где сг — произвольное комплексное число и 1 = 1 !4=1 3.12. Доказать, что / а'сЬ = 0 при любом выборе начального значения функции и*.
14=1 3.13. Для каких сг (О < сг < 2к) существуют интегралы: 1) 11 = ( е 1/*11г; 2) /р — — / е 11' 1Ь (р — натуральное число); взятые по радиусу-вектору точку г = ег ? бб Гл. 111. Интегралы и степенные реева 3.14. Доказать, что если !а) ф В, то !4е! 2нВ (е — п)(е+ е! )В' — )а!е! < !л)=Я 3.15. Доказать следующие утверждения: 1) если 1(х) непрерывна в окрестности начала координат, то 2л 1пп ~1(гаге) г(!е = 2я,г'(О); о 2) если Г"(х) непрерывна в окрестности точки г = а, то 11гп ! = 2н11(а). г 1( )г! л-ае / с — а !л-а)=с 3.16. Доказать следующие утверждения.
1) Если !(х) непрерывна в полуполосе х > хо, О < у < !г и сущест- вует предел !пп Дх+!у) = А, не зависящий от у и равномерный по у, то 1пп (',г"(х) г!х = гА!г, где Д, — отрезок вертикальной прямой Р* О < р < 6, пробегасмый снизу вверх. 2) Если г(х) непрерывна в секторе О < (х — а~ < го, О < агб (х — а) < < а (О < сг < 2х) и существует предел !пп [(з — а)г'(х)) = А, л-аа то !пп 1 ('(х) г!с = !Ао, с-ао З где у„— находящаяся в данном секторе дуга окружности !х — а~ < г, пробегаемая в положительном направлении. 3) Если 1(х) непрерывна в области ф > Во, О < ахях < сг (О < гг < < 2х) и существует предел 1пп хг"(х) = А, то 1пп !' 1(з) г!х = гАо, я-асс З г„ где Ея — дуга окружности ф = В, лежащая в данной области, про- бегаемая в положительном направлении относительно начала коор- динат.
3.17. Доказать следующие теоремы. 1) Если 1(х) непрерывна в области /х! > Во, 1пг х > а (а — фикси- рованное действительное число) и в этой области Дх) — г О при е -е оо, то для любого положительного числа т 1пп / е' *1(х) г!х = О, / гя дд, Интегральная теорема Коши 57 где Гя — дуга окружности ф = В, лежащая в рассматриваемой области (лелглга Жордана). Указание. При оценке модуля интеграла по полуокружности ф = В, 1гпл > О воспользоваться неравенством щид > 2д/я длн О < д < я/2, а при оценке по дугам, лежащим в нижней полуплоскости (в случае а ( 0), — тем, что длина каждой из них стремится к )а! при Й-ч оо.
2) Если /(з) непрерывна в подуплоскости Вез > а (а — фиксированное действительное число) и в этой полуплоскости /(з) ч О при г -+ оо, то для любого отрицательного числа 1 1нп / е"/(х) г4з = О, я — ню 7 г„ где Гн — дуга окружности ф = В, Вез > а. Если /(л) непрерывна в полуплоскости Вез ( а, то утверждение справедливо, если 1 положительно, а Гя — дуга окружности 1г~ = Л, Ке з < а. Примечание. Показательство обеих теорем приведено, например, в (3, гл. Ъ', 5 2, и. 73). 5 2. Интегральная теорема Коши' ) 3.18.
Показать, что если путь не проходит через начало координат, то — =!пг+ ир+ 2хгй, ш, где й — целое число, указывающее, сколько раз путь интегрирования обходит начало координат (л = ге'о). 3.19. Показать, что если путь не проходит через точки щ г, то 1 = — + Ьг, и. 1+Ге 4 где й — целое число. а 3.20. Показать, что если С вЂ” произвольный простой замкнутый контур, не проходящий через точку а, и и — целое число, то с О, если пф — 1, (з — а)"гЬ = 2хг, если и = — 1, а внутри С, О, если и= — 1, анне С. 3.21.
Интегральная теорема Коши справедлива в следующем усиленном виде: если /(з) непрерывна в замкнутой области С, ограниченной простым спрямляемым контуром С, и аналитична внутри С, г) Звдечи нв вычисление интегралов, приведенные в этом и следующем пврвгрефех, носят в основном иялюстретивныя хврентер. Бояьщинство эедвч твкого Ропе помещено в 14 гя. 11г, посвященном применению теории вычетов. ~чт ч 1л.
111. Интегралы и степенные ряды то /1(г) дг = О. Доказать это для случая звездного контураз). с Указание. Считая С звездным относительно начала координат, рассмотреть контуры Сд: ~ = Лх (О < Л < 1, х б С) — и совершить предельный переход при Л -+ 1 (см., например, (1, гл. Ч, и. 8] или ]3, гл. 1, 2 4, п. 12]). 3.22. Доказать следующие утверждения. 1) Если 1(г) аналитична в полосе О < у < Ь, 1пп 1(х+йу) = О а-ахсо и интеграл ( 1(х) с(х существует, то интеграл / 1(х + зб) с(х также существует, и эти интегралы равны между собой.
2) Если 1(д) аналитична в угле О < вгйг < а (О < сх < 2л), !пп г1(г) = О и интеграл (1(х) Нх существует, то интеграл ('1(г) Нг а-+со о вдоль луча г = ге', О < т < оо, также существует, и зти интегралы равны между собой. Указание. Воспользоваться результатами задачи 3.16. 3.23. Доказать, что /е * соз2Ьхс(х= — е ". 2 о 2 У каза н и е. Интегрировать функцию 1(г) = е ' по границе прямоугольника ]х] < 17, О < у < Ь и воспользоваться интегралом Пуассона ~ е ' й = чгж 3 24. Доказать равенства / сов х' дх = / згпхг Нх = — (имтег2чГ2 ралы Френеля). ххз Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
