1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1(з) = ~~~ п=о Примечание. В задачах 8.7-8.9 рассмотрены частные случаи общей теоремы Адамара о пропусках. Если номера отличных от нуля коэффициентов степенного ряда /(л) = ~ а„з" образуют последовательность ныне, ..., в кото- =о Лд Аналитическое кродолнсение 137 рой пе+! > (1+а)пы где а > О, то граница круга сходимости рида есть естественная граница функции 1(з). 1 1 8.10.
Доказать, что ряд 7 ( — — 11 в областях )е) < и» 1 и7 =о < 1 и ~з~ > 1 представляет две аналитические функции, не являющиеся аналитическим продолжением друг друга (см. также задачи 5.14-5.17). 8.11. Пусть 1(е) и !о(з) — произвольные целые функции а и /1 — е 1 — е и-! о(з) = ~~' ~ — — ). Доказать, что выражение 11Ч и 1+ли-!~' и=! 1 'И ) = 2 Й~)+ У(~П+ — й~)[У(~) — 7 (~)3 представляет в области (з! < 1 функцию 1(з), а в области ~г( > 1— функцию 1о(з).
8.12. 1) Доказать, что если се — действительное иррациональное 1 число, то ряд ~~ „ „, представляет в областях ф < 1 и=! и ф > 1 аналитические функции, для каждой из которых окруясность )г! = 1 явлнется естественной границей. У к а з а н и е. Доказать, что сумма ряда неограниченно возрастает при з -! ез! "е вдоль радиуса-вектора. П р и м е ч а н и е. Приведенная задача является частным случаем следующей общей теоремы. Пусть 1, — кривая, замкнутая или разомкнутая, имеющая в каждой точке определенный радиус кривизны.
Если ряд ~ си абсолютно сходится, а точки а!,аз,...,аи,... все лежат на кривой Г, и распределены на ней так, что на любой конечной дуге кривой Е всегда соси держится их бесконечное множество, то ряд Г(з) = 7 — предии — е и=! ставляет функцию, аналитическую в любой области, не содержащей точек кривой Х,, и для которой зта кривая явлнетсн особой линией (см. Гу рса.
Курс математического анализа, т. 2, гл. Хч1). 2) Доказать, что если сх — действительное рациональное число, то ряд и. 1) представляет рациональную функцию. 8.13. Доказать, что ряд Се си) и=! сходится при Пел > 1, и его сумма имеет прямую Вез = 1 своей естественной границей. 138 Га. *1Ш. Аналитическое продолнсение ! 8.14. Доказать, что функция 1(х) = ~ ~е * аналитична при т=о Вел > О и имеет прнмую Вех = О своей естественной границей. 8.15. Доказать, что функцию 1(з), определенную в полуплоскости Вез > О рядом Дирихле 1(х) = ~~ а„е ~"-, где а„= ( — 1)"+', и=! Лзл 1 — — 21с, Лзл = 2к+ е 11 (й = 1,2, ...), можно аналитически продолжить в полуплоскость Вез > — 1.
Указание. Записать Дз) в виде ((х) = ~ (1 — е " )е 1=1 -се и доказать, что в любой конечной области 1 — е ' < Ме зз, где М вЂ” постоянная для рассматриваемой области. Примечание. Приведенная задача показывает, что на прямой, ограничивающей полуплоскость сходимости, сумма ряда Дирихле может не иметь особых точек. 8.16". Функцию 1(з), определенную в полуплоскости Вез > О с помощью интеграла Лапласа 1(з) = /е "е181пе1111, продолжить о аналитически в полуплоскость Вез > — 1. 8.1Т. Гамма-функция Эйлера определяется в полуплоскости Вез > О посредством интеграла Г(з) = /е сел 1 сЫ (Г' ' = еы о Применяя к правой части этого равенства интегрирование по частям, показать, что функция Г(з) аналитически продолжается на всю плоскость как мероморфная функция с простыми полюсами О, — 1, -2, ... ...,— и,..., причем вычет относительно полюса — п равен ( — 1)"/и!. 8.18.
Показать, что Г-функцию можно аналитически продолжить ° с сс при помощи формулы Г(з) = ~ ~+ / е 1' Ю. ( 1)п и! (с+и) п=о 1 1 Указание. Заменить в интеграле /е 11' 'ас функцию е ' ее разложением в степенной ряд. 8.19. В задаче 3.26 бьщо доказано, что при О < х < 1 Ю* 'сел|111 = Г(х)соз —, /З* 'з!пйс(1 = Г(х)81п —. о о В каких областнх плоскости л будут справедливы указанные формулыу а 1. Аналитическое кродолисение 139 8.20. Доказать, что Г(г) можно продолжить на всю область ее существования при помощи формулы Г(г) = 1е ( — ш)' Йш ((-ш)' = е1* ~ Щ ~1), 2е1плгд с где контур С состоит из разреза по положительной части действительной оси, причем обход начала координат совершается против часовой стрелки. 8.21.
Пусть Дг) — дзета-функция Римана (см. задачу 5.13) ч(г) = ~~ —, (Пег > 1). =1 1 гш' Доказать, что при Пег > 1 ((г) = — ~ Иш, и получить Г(г) си — 1 О отсюда аналитическое продолжение функции Дг) на всю плоскость, исключая точку г = 1; выяснить характер особенности функции Дг) в точке г = 1. У к а з а н и е. Для аналитического продолжения рассмотреть ин— 1 теграл 1 Иш, где С вЂ” — контур задачи 8.20.
/ еи с 8.22*. Пусть функция 1(г) разложена в степенной ряд 1(г) = аог", имеющий радиус сходимости Л = 1. Обозначим чек=о рез у(г) сумму ряда ~р(г) = ~~, (функция со(г) — функция, а=о сопряженная по Борелю с функцией г'(г), — являетсн целой; см. задачу 3.150). Доказать, что при ф < 1 имеет место равенство /е у(гЕ)сй = 1(г). о Доказать также, что функция /е 'у(г1) и1 осуществляет аналио тическое продолжение функции 1(г) в область С, определяемую следующим образом: через каждую особую точку функции 1(г) проводится прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эту точку с началом координат; С вЂ” выпуклая область, содержащая круг ф < 1, граница которой состоит из точек описанных прямых; если количество этих прямых конечно, то С вЂ” многоугольник (метод продолжения Бореля).
Гл. УШ. Аналитическое прооолгнение 140 8.23. Проверить метод продолжения Бередя для следующих ркдов: 1) ~~, ' и. 2) ~, зп. 8) ~к ~4» п=о 8.24. Пусть в интеграле типа Коши Г(т) = — ~ — С— го((:) ~К 2ле/ Ь вЂ” л с простой замкнутый контур и у(~) — функция, непрерывная вдоль С. Доказать: чтобы одна из функций Р'ь(д) и Г (д) (см. с. 127) была аналитическим продолжением другой через дугу Т Е С, необходимо и достаточно, чтобы у(з) = 0 на дуге .г. 8.25. Доказать, что если функция ~р(~) не является аналитической ') нн в одной точке простой незамкнутой дуги С, то все точки дуги С особые дли интеграла типа Коши г д(ь") <ь 2пг,/ ь — л с Указание.
Исходить из формул Сохоцкого для предельных значений интеграла типа Коши. 8.26. Пусть Т вЂ” обходимый в положительном направлении простой замкнутый контур, состоящий из дуг тг, тз с общими конечными точками дг и зз (рис. 31), Се— область внутри у, С вЂ” область виет. Пусть, далее, с( ) Гг1о(0а( / т где у(г,) = а, если г, 6 71, и ьс(() = б, если г,' Е уз (а и Ь— комплексные постонпкые). Найти функции Е+(з) и Г (з) и продолжить аналитически функцию Р (л) в область Сч: а) через дугу т1, б) через дугу чз.
8,27. Пусть С вЂ” двусвнзная область, ограниченная внутренним контуром Т н внешним Г, и цг(з) — функций, аналитическал в замкнутой области С + Т + Г. Доказать, что функция Ф )- — /" — 4~ 1 гф() 2лг Ь вЂ” л г аналитически продолжима во всю внешность контура т, а функция ) То есть не существует аналитической функции, совпадающей с цг(С) на какой-либо дуге, принадлежагдей С. рв. Оспбыв точки мипгпзнпчнпгп ларактврп.
Рнмпнпвм поверхности 141 — во всю внутренность контура Г. Обход контуров у и Г соверша- ется против часовой стрелки. 9 2. Особые точки многозначного характера. Рнмановы поверхностнг) Изолированная точка ветвления г = а порядка й — 1 функции и~(г) ([с — натуральное число, к ) 2) характеризуется тем, что имеется ветвь ю(г), допускающая в окрестности точки г = а представление ю = ~~ с„(г — а)п (а ф со) или юпа ) с„г "г (а=ос).
Если лишь конечное число коэффициентов сп с отрицательными индексами отлично от нуля, то точка г = а (или г = со) называется алгебраической точкой ест еленик (а. т. в.). В противном случае соответствующая точка называется трансцендентной точкой ветвления (существенно особая точка многозначного характера). Над одной и той же точкой г-плоскости функция ю(г) может иметь не более счетного множества различных алгебраических и трансцендентных точек ветвления, правильных точек и особых точек однозначного характера.
На римановой поверхности функции ю(г) над г-плоскостью такие точки имеют взаимно не пересекающиеся окрестности. В каждой такой окрестности ю является однозначной функцией локального параметра й ю= ~ с„1", где (г — а)~у~ (а Р оо), т -1/ь ( )) К логарифмическим точкам ветвления (л.т.в.) относятся точки г = а или г = со, для которых какая-либо ветвь ю(г) допускает неограниченное аналитическое продолжение в области 0 < [г — а[ < < т (соответственно Л < [г[ < со) и там бесконечнозначна.
Такая ветвь ю(г) в окрестности л.т.в. становится однозначной аналитической функцией при переходе к параметру 1 = Ьп (г — а), Ве 1 < р (соответственно 1 = Ьпг, Нег ) р). Следует иметь в виду, что на з) К этому параграфу см. [1, гл. Ъг111[; Голубев В. В. Лекции па аналитичаскпй теории дифференциальных уравнений.— Мп Гпстахиздэг, 1951; Нева ил инна Р. Унифпрмизэцин. — Мп ИЛ, 1955.
Гл. '83П. Анели)пичвслев продал)еелив 142 римановой поверхности над одной и той же точкой «, наряду с различными л.т.в., могут находиться и другие точки однозначного и многозначнаго характера. 8.28. Выяснить, при каких значениях « значения ю(«) на всех листах ее римановой поверхности над «-плоскость о одинаковы, если: 1) ю = («~ — 9)~/«щ 2) и) =ьйп«+(«з+4)Ьп«; 3) ю = а1п «+ (««+ 4) з 1 и «. Одинаковы ли в тех же точках значения ю'(«)2 8.29. Убедиться в том, что для каждой из функций: 1) ю = ~~/«, 2) ю = «« 1,п «, ю(0) = О, в точке « = 0 существует первая производная, притом одинаковая для всех ветвей, а конечная вторая производная не существует. В задачах 8.30 — 8.38 каждую из указанных функций ю(«) разло- жить в ряд по степеням локального параметра 1 в окрестности всех точек ее римановой поверхности, расположенных над данными «-точками; указать области сходимости полученных рядов.
830. ю=, «=1, «=2. 1 1+ и22 — « 831 = '7* — ! 2 *=1, *=3, 832. =2т2 * — 2, *=1, *=2, 833. = У\ + 22- 2, * = 1, * = 2, 8.38. = 2'! 22 — ))))222 2 — — 88)), *= ) 2 3). 8.35. ю = е) ) ', « = О. 8.36. ю =, « = О. «2 8.37. 2и = с18,3)2«« = О. 8.38. ю = ~/а)п«, « = О. В задачах 8.39-8.45 требуется найти точки «-плоскости, над которыми имеется хотя бы одна особая точка заданной многозначной функции, и указать характер всех точек римановой поверхности, лежащих над каждой из таких точек «-плоскости. 8.39. з1п —. 8.40. а1п —. 8.41.
1 1 1 в)ив 1-)- ч23 8.82. —. 8.83. и Д 27~2 — *. в)п 2/« 8.44. 18 (11 и «). 8.45. 18 ( — 1л «) . Если функция ю = г'(«) однозначна, а обратная ей функция «(ю) многозначна, то для определения алгебраических точек ветвления функции «(и)) нужно найти нули 1'(«), кратные полюсы Д«) и исследовать поведение Д«) на бесконечности. При атом точке «о ф оо соответствует а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
