1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть С вЂ” замкнутый контур, обход которого совершается в положительном направлении (контур С может состоять и из двух сторон дуги, пробегаемых в противоположных направлениях). Величина Г = /1',ал = /У,ах+ Репу = /дза (3) с с с называется циркуляцией вектора Ъ' по контуру С. Величина Я = / г'„гЬ = / ( — Ъ'„г(х + г; ау) = / азр с с с (4) Г + зч = /ю'(х) аз. с (5) '] К втой главе см. (3, гл.
Иц н указанную там лнтеретуру. (и — внешняя нормаль к замкнутому контуру С, пробегаемому в положительном направлении) называется потоком вектора Ъ' через контур С. Аналогично поток вектора Ъ' через дугу АВ определяется как интеграл / г'„ол (направление нормали п должно быть указано). АВ Объединяя формулы (3) и (4), получим Приложения к гидромеханике 171 Если гв'(х) определена внутри С и имеет там конечное число особых точек, то Г+ г(В = 2кт'7 геэго'(з). Если а — полюс функции иг'(х), то иг(х) имеет вблизи а разложение вида с „р 1 Г+гг2 иг(х) = + ... + — — + .
!п(з — а) + со+ сг(х — а) + ... (х — а)п '" 2к х а 2кг Г+ гЯ Говорят, что член 1п(х — а) (Г, Я вЂ” действительные числа) 2га определяет в точке а вихрвисточник обильности (',1 и интенсивности Г, обозначаемый (а; („г, Г) ), член — — — диполь с момсп- 2 р 2кх — а том р, обозначаемый (а; р) (р — комплексное число; радиус-вектор —- р определяет направление оси диполя, проходящей через точку а в с направлении линии тока), остальные члены ь определяют (х — а)" в точке а мультиполи порядка 2Й.
Соответственно, если на со гв(х) = с„х" + ... + — х+ . !пх+ со+ — + ..., р Г+ с<1 с 2к 2кг' Г-ьгЯ то член !пз определяет на оо вихреисточник обильности 2кг и интенсивности Г, член — х — диполь с моментом р (направлер 2гг ние линий тока на со совпадает с направлением радиуса-вектора р), остальные члены сьзь — мультипвли порядка 2(с. Точки, в которых Ъг = О, следовательно, гв'(х) = О, называются критическими точками течения; из этих точек линии тока и эквипотенциальные линии выходят попеременно. Если критическая точка является нулем производной порядка и — 1, то эти линии образуют между собой углы к/2п.
Такое разветвление линий возможно и на оо. В задачах 10.1 — 10.14 по заданному комплексному потенциалу течения требуется построить эквипотенциальные линии и линии тока, определить 1х, особые и критические точки, обильность и интенсивность вихреисточников, моменты диполей и исследовать поведение течения на оо. 10.1. иг = сх (с = а+ гД).
10.2. иг = хп (в частности, и = 2,3). Г+ гЯ 10.3. ю =, 1пх. Рассмотреть, в частности, случаи Г = 0 2кг' и (,2=0. 10.4. ю = — 1п —. Г+ Йв' х — а 2ггг х — Ь ) Если О =О, то имеем вихрь (а; Г). Если Г= О, то имеем ксгяочккк (а;121. Если интенсивность источника Г) < О, то чвгяе говорят, что имеет место сток. Гх. Х. Приложения к механике и физике 172 10.5. ге = —. Определить также скорость в точках 2 ~ г. 1 Дг юг 10.6.
1) гл = х+ —; 2) и = х — —. 10.7. иг = —. е х' гг 10.8. ги = 1п (хг — аг) (а > 0). Определить также скорость в точках хго. г 10.9. ги = 1и (а > О). 10.10. ги = — 1и 1х — -1. х'+ иг 2л ( х) 10.11. щ = 1п (1+ —,). 10.12. ги = 1п (хг — —;).
10.13. щ = ах+ — 1пх (а > О, 1г > 0). Я 2л 10.14. щ = ах+ — 1п х (о > О, Г > 0). Г 2лг 10.15. Исследовать характер течения в области ф > В, если В~х Г ги = а(х + — ) + — 1п х (о > О, Г > 0). 2лг Рассмотреть случаи: Г с 4лоЛ, Г = 4лаВ, Г > 4лаК. 10.16.
Найти комплексный потенциал щ(х) течения во всей плоскости, образованного в ихреисточ никам и ((оы чгы Гг) ) (Й = 1, 2, ...., и) и имеющего на бесконечности заданную скорость гх = Ъ'ег . 10.17. Может лн выходить линия тока из точки, являющейся: 1) вихрем; 2) диполем; 3) вихрем и диполем вместе? 10.18. Найти закон изменения вихреисточника, диполя и мульти- поля, находящихся в точке о или на со, при следующих однолистных конформных отображениях окрестности этих точек (сг р': О, с г ~ 0): 1) г, = а + сг (х — а) + ...; 2) (' = а + — + ...; 3) ~= +со+".' 4) ~ =сгх+со+ " 10.19. Найти закон изменения вихреисточника при и-листных отображениях; ь = а+ с„(х — а)" + ..., с„~ О; ь = а +:" + ..., с „~ О. хн 10.20.
Доказать, что течение можно продолжить по принципу симметрии через прямолинейный или круговой участок линии тока или эквипотенциальной линии, причем вихреисточник переходит в вихреисточник, диполь — в диполь, мультиполь, — вообще говоря, в набор мультиполей до того же порядка включительно. Найти закон изменения обильности и интенсивности вихреисточника и момента диполя. Э1. Приложения к гидролгезанике 173 П р и ме чан не.
В задаче 10.20 устанавливается принцип силглгелгрии, который, наряду с конформными отображениями, широко используется для построения течений (см. задачи 10.22-10.30). Из принципа симметрии следует, что при наличии прямолинейного или кругового участка на линии тока или эквипотенциальной линии течение должно быть симметричным относительно этой линии. Это накладывает известные ограничения не только на особенности течения вне указанных линий, но и на этих линиях или на их концах (если они имеются).
10.21. Течение в г-плоскости образовано конечным числом источников, вихрей и диполей. 1) Найти необходимое и достаточное услоние для того, чтобы окружность ~г~ = Н являлась линией тока, если источники, вихри, диполи: а) не расположены на этой окружности; б) все расположены на ней; в) частично расположены на ней, частично нет. 2) В этих же предположениях найти условия того, чтобы окружность ~г~ = В являлась эквипотенциальной линией. 10.22. Найти комплексные потенциалы течений в верхней полу- плоскости 1тл г > О по заданным особенностям и скорости 1г : 1) Скорость Ъ' = Ъ'.
2) Вихрь (а;Г) и скорость К = О. 3) Источник (гб Я) и скорость 1г = О. 4) диполь (а;р) и скорость 1г = О. 5) Вихренсточники ((ае; Яе, Гг)) (к = 1,2,...,п), диполь (а;р) и скорость Ъ' = $'. Что можно сказать о поведении течения на со? 6) Внхреисточннк (О;1д;Г) и диполь (О;р); Ъ' = О. Какие значения может принимать момент диполя р? Всегда ли возможно течение, если Г ф О? 10.23. В круге (г~ (?? построить течения, имеющие соответственно: 1) вихрь (а; Г); 2) диполь (а;р). 10.24. Найти условия возможности построения течений в круге )г( ( Н, если: 1) имеются только источники ((аь;Яь)) (?г = 1,2,...,п), расположенные внутри круга; 2) в дополнение в источникам и.
1) имеются источники ((а'„;1д'„)) (?г = 1,2,...,7п), расположенные на окружности (г( =??. В обоих случаях найти комплексные потенциалы течений. 10.25. В области ф > Л построить течения, имеющие соответственно: 1) вихрь (а; Г), скорость К„, = 0 и циркуляцию на бесконечности Г,„=О; 174 Гл.Х. Приложения к механике и физике 2) диполь (о;р), скорость Ъх„= 0 и циркуляцию Г = 0; 3) скорость 1х = 1эе' и циркуляцию Г =0; 4) скорость Ъ'о = Ъ'еэа и циркуляцию Г вокруг окружности )х) = В. Примечание. Последние два примера задачи 10,23 дают обтекание круга с заданной скоростью на бесконечности, без циркуляции и с циркулнцией (см., например, [3, гл.
П1, п. 49)). В задачах 10.26-10.29 пользуясь принципом симметрии, построить течения по заданным особенностям (на бесконечности и в угловых точках скорость равна нулю). 10.26. В области (х) > 1, 1щх > О, с вихрем (1а; Г), а > О. 10.27. В угле О < агбх < к/3, с источником (ае' 7е;Я), а > О. 10.28. В первом квадранте Пег > О, 1тх > О, с источником (1Я).
10.29. 1) В первом квадранте Вез > О, 1тх > О, с источником (1;Я) и стоком (г; — Я). 2) В первом квадранте Вях > О, 1п1г > О, с источником (1+ г;Ч) и стоком (О; — ~). 10.30. Построить течение во всей х-плоскости, если известно, что в верхней полуплоскости 1го х > 0 оно имеет вихреисточники ((аы Яы Гя)) (1 = 1, 2, ..., и) и диполь (а; р), ось х является эквипотенциальной линией и скорость Ъ' = Ъ'е' .
Всегда ли такое течение возможно? 10.31. Построить течение во всей х-плосьости, если известно, что в круге ф < Л оно имеет вихреисточниьи ((ал; (7ы Гь)) (?с = 1, 2, ... ...,и) и диполь (а;р), окружность ф =?? является эквипотенциальной линией и скорость Ф' = 1'е' . Всегда ли такое течение возможно? 10.32. В односвязной области 17, ограниченной контуром С, построить течение с линией тока С, имеющее вихреисточники ((оь; Яы Гь)) (й = 1,2,...,и). Всегда ли такое течение возможно? 10.33. В области П, ограниченной контуром С и содержащей бесконечно удаленную точку, построить течение с линией тока С, имеющее вихреисточники ((ая; ьгыГе)) (й = 1,2, ...,и) и заданную скорость Ъ' = 1'е' . Всегда ли такое течение возможно? В задачах 10.34-10.41 рассматривается обтекание ограниченных и неограниченных контуров (они должны являться линиями тока).
Задачи решаются с помощью конформного отображения на внешность круга, верхнюю полуплоскость и прямолинейную полосу. 10.34. Построить обтекание ограниченного контура С с заданной циркуляцией Г и скоростью Ъ~ = ~'еэ . Какое отображение осуществляет комплексный потенциал эо(х) в случае Г = О? 41. Приложения и гидроменанине 175 г 10.35.
Построить обтекание эллипса — + — = 1: иг Ьг 1) с заданной скоростью Ъ', без циркуляции; 2) с заданной скоростью Ъ' и циркуляцией Г. 10.36. Построить обтекание пластинки (х~ < С, у = 0: 1) с заданной скоростью $', без циркуляции; 2) с заданной скоростью Ъ' и циркуляцией Г, определяемой из условия, чтобы один из концов пластинки являлся точкой схода потока (постулат Жуковского-Чаплыгина). 10.37. Построить обтекание профиля Жуковскогоз) с заданной скоростью К и циркуляцией Г, определяемой с помошью постулата Жуковского-Чаплыгина (острый конец профиля должен являться точкой схода). В задачах 10.38-10.41 построить обтекание заданных контуров. 10.38. Параболы уг = 2рх (извне и изнутри).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
