1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 31
Текст из файла (страница 31)
1В4 рз. Х. Приеекзеник к механике и физике 10.87. В односвязной области Р построить электростатическое поле, образованное точечными зарядами ((азб2дь)) (к = 1,2,...,п) и диполем (а;р). Пусть д((', з) — функция Грина области Р (см. с. 127), граница которой Г состоит из кусочно гладких простых контуров Гы Гз, ..., Г„; пусть, далее, и — внутренняя нормаль к Г и обход Г совершается в положительном направлении по отношению к Р.
Если и(з) — функция, гармоническая в области Р и непрерывная на Г, то из формулы Грина следует 1 дд(ь,з) и(з) = †/ и(~) ' з(е г г Если область Р содержит бесконечно удаленную точку и функция и(з) в ней гармонична, то к правым частям приведенных формул надо добавить и(со). При этом в окрестности бесконечно удаленной точки функция Грина д(з,оо) может быть предстанлена в виде д(з, оо) = 1п1з~ + 7 + о( — ). !4 ' Величина 7 = !пп [д(з, оо) — 1п Щ называется постоянной Робена замкнутого множества, представляющего дополнение Р на з-плоскости; величина е л называется емкостью этого множества.
10.88. Доказать следующие утверждения (и — внутренняя нормаль): 1) д(з,а) = 1п — — Г ' 1п — Ие, если а ~ оо; 1 1 г дд(С,а) 1 !з — а) 2л дп (~ — з! г 2) д(з,оо) = г — — / ' 1и зЬ, если еЕР и область Р 2к.Г дн (~ — г( г содержит бесконечно удаленную точку; 3) — ЗГ ' 1п — ~Ь = 7, если з ф Р и область Р соДеР- 1 г дд(~, оо) 1 2л l дн г жит бесконечно удаленную точку; 4) — зг д ' не =1, если а ф- оо или если а = со б Р. г Указание.
В п. 1) воспользоваться свойством симметрии функции Грина д(~,з) = д(з,() и интегральным представлением гармонической функции по ее граничным значениям. В и. 2) воспользоваться интегральным представлением гармонической в Р функции 93. Приложении к электростатике 1аа 1п~Ы вЂ” л(+д(ь,со) -д(ь,оо), предельным переходом и свойством симметрии д(сю, г) = д(г, оо). В и. 3) — то же, но исходя из функции 1п(~ — л) — д(~,оо) л). Функция 1 оо(л) = 291п— )л — а) называется логарифмическим потенциалом точечного заряда (о; 2д).
В расширенной г-плоскости оо(г) представляет логарифмический потенциал двух точечных зарядов: (а; 29) и (оо; — 29). Пусть контур Г удовлетворяет условиям, указанным на с. 190, а р(1,) и и(с,) действительны и непрерывны на Г. Интеграл о(г) = ~р(ь) 1п аз г называется логарифмическим потенциалом простого слоя с плотностью обложения р(1,) (в пространстве ему соответствует потенциал заряженной цилиндрической поверхности с основанием Г и поверхностной плотностью зарядов —, т.
е. несущей заряд — дзз на квадрат- 2' 2 ной площадке над Ыл). Функция и(г) — непрерывная в конечной г-плоскости и гармоническая всюду вне Г, кроме точки г = оо, где она имеет логарифмическую особенность и(г) = — 291п ф + о( — ), 2д = ~р(Г) ~Ь И (это означает, что потенциалу и(г) соответствует зарнд (со; — 29)). Интеграл и1(г) = /и(~) — 1п дл д 1 г называется логарифмическим потенциалом двойного слоя с плотностью обложения и(() (на Г распределены диполи с осями, направленными вдоль заданного направления нормали и к Г, внутренней, если Г ограничивает область; и(() — плотность распределения моментов диполей). Если д(~, г) — угол между и и вектором, идущим из Ч в г, а ачз(Ь, л) — угол, под которым виден элемент дуги дл из г то (л)=/ (ь) ~ ' л=~ ФдЯ,г) л) Смл Нева клинив Р.
Однозначные аналитические функции.— Мл Гостелиздат, 1941.— Гл. т', 1 2. 18б Г*.Х. Прилоясения к механике и физике В частности, для замкнутого контура Г и р(~) = 1 ( 2я, если х внутри Г, — 1и — ~Ью ( зг, если х на Г, г ~» ~~ О, если х вне Г (см, также задачу 7.34). Функцию Грина д(х, о) области Р можно рассматривать как потенциал электростатического поля, образованного точечным зарядом (о; 1) при заземлении границы Г области Р. Задача 10.88, 1) показывает, что в случае а ф оо заземление Г эквивалентно размещению на Г заряда с плотностью обложения р(Ь) = — — ' .
При 1 дд(С,а) 2п дк этом, согласно и. 4) задачи 10.88, суммарная величина заряда равна — 1. В случае о = сс точечный заряд (оо;1) и заземление Г вместе эквивалентны размещению на Г заряда с плотностью обложения р(ь) = — — ' суммарной величины — 1 и добавочному полю с 1 дд(С ос) 2к дн постоянным потенциалом 7 (см. 10.88, 2)).
В этих случаях указанные обложения Г называются индуцировпнными зарядом (а; 1). В задачах 10.89-10.92 найти индуцированную зарядом (о: 1) плотность обложения р(Г,а) контура Г и соответствующий потенциал простого слоя п(х,а) для областей, ограниченных контуром Г. 10.89. à — действительная ось, 1тпо > О. 10.90. 1) à — окружность )х( = В, (о( < В; 2) à — окружность ф = В, (а( > В (рассмотреть, в частности, случай о = оо). 10.91. à — отрезок действительной оси (х~ < В, р = О, о = оо.
10.92. à — эллипс — + —, = 1, о = оо. У аз ззз 10.93. Считая известной функцию Грина для области Р, содержащей точку х = оо, решить проблему Робэкп: найти плотность распределения р(~) на границе Г области Р единичного заряда, создающего в н е Р и на Г постоянный потенциал в). Указание, См, задачу 10.88, 3) и 4). В задачах 10.94-10.96 решить проблему Робэна для заданных областей Р. 10.94. Р— внешность круга ф > В.
з) О решении общей проблемы Робене, требующей отьюквнин твкого неотрицетельного респределения единичного зврядв нв ведением множестве Е, чтобы соответствующий логврифмическнй яотенцивл в квждой точке множества Е принимвл одно и то же постоянное значение, см. уквзвиную нв с. 185 книгу Р. Неввнлинне. ге. Приложекил к электростатике 187 10.95. Р— внешность отрезка (Х( < В, р = О. х' и 10.96.
Р— внешность эллипса — + — = 1. аг Ьг В задачах 10.97-10.100 найти емкости (см. с. 190) замкнутых множеств. 10.97. )г( ( В. 10.98. )х( ( В, р = О. 10.99. — „+ —, ( 1. 10 100 (гг аг( < аг (а > 0) 10.101. Пусть на простом замкнутом контуре Г задана непрерывная и дифференцируемая вдоль контура действительная функция д(~). Доказать, что действительная часть интеграла типа Коши —,/ — И~ является логарифмическим потенциалом двойного слоя 1 гЩ) 2к1/ ~ — х г с плотностью ~р(~), а его мнимая часть — логарифмическим потен- 1 И~р циалом простого слоя с плотностью — — —.
2к де' 10.102. Доказать, что функцию и(х), ограниченную и гармоническую в верхней полуплоскости 1шг > О,можно представить в виде логарифмического потенциала двойного слоя: и(г) = — / о(1) — 1п — сМ. д е,/ дп )г — е( Если же п(х) регулярна на оо, то ее можно представить и в виде логарифмического потенциала простого слал: о(г) = о(оо) — — ( — 1п 41. 1 7 до(1) к ~ дп /1 — «/ 10.103.
В верхней полуплоскости 1шх > 0 найти комплексный потенциал электростатического поля, если его потенциал о(х) принимает на действительной оси заданные кусочно постоянные значения. Записать потенциальную функцию с помощью гармонических мер соответствующих отрезков действительной оси (см, с. 132): 1) иг на интервале ( — со, а), 0 на интервале (а, оо); 2) сг на интервале (а, Ь), 0 на интервалах ( — оо,а), (Ь, оо); 3) 1оы Уг, ..., сг„соответственно на интеРвалах ( — оо, а~), (а1, аг), ...
..., (а„ы а„) и 0 на интервале (а„, со) (здесь а1 < аг « ... а„); 4) ~Ро на интеРвале (а„,оо), ~Р1,1ог,...,1о„соответственно на интервалах (-оо,аг),(аг,аг) и т. д. Указание. В п. 1) воспользоваться конформным отображением на полосу; в остальных — воспользоваться методом суперпозиции (можно также воспользоваться интегральной формулой Шварца для полуплоскости, см.
с. 129). 188 Гм Х. Прихокхения к механике и физика 10.104. Найти комплексные потенциалы ш(х) и потенциалы и(х) в двусвязных областях с заданной разностью Ы = из — ез потенциа- лов щ, из на граничных контурах: 1) в круговом кольце гз < (х( < гз, 2) в произвольной двусвязной области Й. 10.105. Доказать, что если  — произвольная двусвязная область и на каждом из контуров, ограничивающих эту область, потенциаль- ная функция принимает постоянные значения (щ и из), то ш(х) = 1п1(х) + с+ хщ, и(х) = — '' 1п ~Г(з)1+ щ, 1ир !ар где 1(х) конформно отображает О на кольцо 1 < ф < р (р — мо- дуль О) и граничный контур с потенциалом из переходит в окруж- ность ф = 1; с — действительное число.
10.106. Найти комплексные потенциалы в указанных двусвязных областях (потенциалы щ и из на граничных контурах постоянны): 1) во внешности окружностей )х ~ а) = Й (а > Л) (щ — потенциал на окружности слева); 2) во внешности окружностей (х( = г~ (потенциал из) и (х — а! = гз (а > гз + гз); 3) в неконцентрнческом круговом кольце, ограниченном окруж- ностями )х) = Я (потенциал щ) и )з — а~ = г (О < а < И вЂ” г); хз ух 4) а эллипсе — + — < 1 с разрезом вдоль отрезка, соединяющего аг Вз фокусы (потенциал на эллипсе щ); 5) во внешности отрезков 1 < (х! < 1/й, у = О (О < й < 1); на ле- вом отрезке потенциал ез, 6) во внешности отрезков ~х! < 1, у = ~к; на верхнем отрезке по- тенциал щ.
10.107. Пусть й — многосвязная область с границей Г, состоя- щей из и кусочно гладких контуров Гь (к = 1,2, ...,и), и иа(х)— гармоническая мера Гь (см. с. 132). Если область В ограничена, то внешним ее контуром будем считать Г„. Доказать следующие утверждения. 1) Если область 11 ограничена, то ыь(х) = — — / — 1п — ~Ь (й = 1,2,...,п — 1), 1 г дыь(ь) 1 2к/ дп ~~ — 4 г (з) — 1 — — / —" 1и — 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
