1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ы л р Характеристики течения в прямоугольнике определятся по методу решения задачи 10.18. Так как основания прямоугольника являются линиями тока, то течение продолжается через них по принципу симметрии (см. задачу 10.20), после чего определяется комплексный потенциал Ф(и) получающегося двоякопериодического течения с периодами 2ы, 2ьг', тогда Г(з) = Ф[и(з)] (см.
книгу Л. И. Седова, указанную на с. 169). 10.59. Найти комплексный потенциал течения: 1) в круговом кольце П; гь < [л[ < гз, с циркуляциями Г вдоль граничных окружностей; 2) в произвольной ограниченной двусвязной области Р ") с циркуляциями Г вдоль граничных контуров; 3) во внешности двух кругов, лежащих вне друг друга, с циркуляциями ~Г на граничных окружностях при условии Ъ' = О; 4) в двусвязной области Р, содержащей бесконечно удаленную точку, с циркуляциями ~Г вдоль граничных контуров при условии Ъ' = О. 10.60.
Построить течение в круговом кольце В: р < [д[ < 1, образованное диполем (опр) (р < а < 1) и обтекающее без циркуляции граничные контуры. Исследовать отображена 1 = ~(з) и построить схему расположения линий тока. Указание. Воспользоваться решениями задач 10.18, 1) и 10.51. 10.61. Построить течение в двусвязной области Р, содержащей бесконечно удаленную точку, обтекающее без циркуляции граничные контуры и имеющее на со скорость Ъ' = 1ге'".
10.62. Построить течение в круговом кольце В: р < [л[ < 1, образованное диполем и квадруполем, находящимися в точке л = 1, и обтекающее граничные окружности без циркуляции. Построить линии тока и исследовать отображение 1 = 1(з). Рассмотреть, в частности, случай одного диполя. Указание. Записать комплексный потенциал 1(г) в виде ,г(з) = + — + со + с1(л 1) + ... 1)л (л Ц и выяснить, какие значения с з и с 1 возможны.
10.63. 1) В круговом кольце В: р < [з[ < 1, построить течение, образованное вихрем (а; Г) (р < а < 1) и обтекающее граничные окружности с циркуляциями Гг (по окружности [л[ = 1) и Гз (по окружности [л[ = р). Можно ли произвольно задавать Г, Гы Гз? Рассмотреть, ) Здесь и в дальнейшем предполагается, что функция, отображаклцая область 11 на кольцо, известив. Ву.
Приложения к элвктровтатвкв 1В1 в частности, случаи Гз = 0 и Гз = -Гы Исследовать отображения, осуществляемые функциями 1 = г(з), .У'= ез"ьь1г в первом случае и функциями 1 = 1(х), .У"= е ькн1~ и в = т/У:Ур (.Уо — — — е~ '"ь1г, где фо — значение фУнкции тока в кРитической точке) во втором случае. Построить в плоскости и линии тока и эквипотенциальные линии. 2) В двусвязной области Р, содержащей бесконечно удаленную точку, построить течение, обтекающее граничные контуры с циркуляциями Гь, Гз и имеющее скорость Ъ' = 1'е' . З 2.
Приложения к электростатике Плоское электростатическое поле с напряженностью Е = Е„+ +1Е„= Ее' характеризуется аналитической функцией в(з) = и+ 1о, называемой комплексным потенциалом; о называется потенциальной функцией (она всегда однозначна!), а и — силовой функцией. Линии в = сопвФ вЂ” эквилотвнциальныв линии, а и = сопв1 — силовые линии поля. При этом Е = — атвь1о = — гщ (х), Е = 1ю (х)(, о = — — — агбю (з), 2 до ди дв ди Е Еэ дх ду' " дд дх' Во всех задачах этого параграфа, где речь идет об электростатических полнх в областях, ограниченных одним или несколькими граничными контурами, предполагается, что вдоль каждого простого контура потенциальная функция постоянна (т.
е. каждый такой контур является проводником). Коли а — полюс т'(х) и ю вблизи а имеет разложение с р1 1 вз(х) = „+ ... + — + 2д11п — + со+ сь(г — а) + ..., (э — а)" х — а э — а 1 то член 2д11п — определяет в точке а плоский точечный заряд э — а величины р = 2д, обозначаемый (а; 2у) (в пространстве на единицу длины прямолинейного проводника, перпендикулярного к г-плоскости в точке а, приходится заряд у); член р1/(х — а) определяет в точке а диполь с моментом р, обозначаемый (а;р) (р — комплексное число; аргумент р определяет направление оси диполя); остальные члены с ь1(х — а)ь (й = 2, ...,и) определяют в точке а мультиполи порядка 2)ь. Соответственно, если на со зв(х) = с„х" + ...
+ рйх + 2уь' 1п х + со + + ..., то член 2у11пл определяет на оо плоский точечный заряд величины р = 2д, член р1х — диполь с моментом р. Гл. Х. Прияозкения к механике и физике Если функцию ш = и+во рассматривать как комплексный потЕНЦИап ЗЛЕКтРОСтатИЧЕСКОГО ПОЛИ Е = — 1Шг(З) И ОДНОВРЕМЕННО— течения жидкости со скоростью Ъг = шг(з), то это приводит к следующей злектрогидродинамической аналогии: Течение жидкости Электростатическое поле Потенциальная функции Эквипотенцивльные линии функция тока (может быть многозначной) Ликии тока Расход жидкости Силонвя функции Силовые линни Потенциальная функции (всегда однозначна) Эквнпотенциальные линии Разность потенциалов Поток Ж = )г Е„сга Точечный заряд (а;2д) П = Гг'лп и = сопа1 а = сопвс с — сг ~Ни Циркуляция Г = ~ ггл г(л Вихрь (о; Г) Источник Диполь с моментом Ргг(2хг) Поле с заданными зарядвмн.
диполями и зкеипотенциазьными граничными линиями диполь с моментом р Обтенание с заданными вихрями и диполями Н задачах 10.64-10.71 по заданным комплексным потенциалам ш(л) требуетсл определить силовую и потенциальную функции, напряженность поля, характер особенностей (в том числе и на со), а также построить схематически семейства силовых и зквипотенциальных линий (г) — действительное число). Сравнить с решенилми задач 10.1-10.14. 10.64. ш = сз (с = сх + 113). 10.65. ш = 2г)1 )и —. 1 10.66. ш = 2г)г!и —. 10.67. ш = 2г)г(и(зз — зз) (о > О). л — 6 10.68.
ш = — (р = (р(е' ). 10.69. ш = дш —. 1 10.70. ш = ргз + 2дг' )и — (р > О, г) > О). л 10.71. ш = ргв+2з~~г г)ь)и 1 (р > О, дь > О, ог ( аз < ... з — аь ... <а„). а=1 10.72. Найти закон изменения точечного заряда (а;2г)) и диполн (а;р); 1) при однолистном конформном отображении; 2) при продолжении по принципу симметрии через прямолинейный или круговой участок эквипотенциальной линии.
Эк. Приложения к электростатике 183 10.73. Показать, что комплексный потенциал электростатическо- го поля, образованного точечным зарядом (а;2д) в произвольной од- носвязной области Р, определяется формулой 1 ш = 2дг1п — + с, Пэ,и) где 1(з,а) — функция, конформно отображающая область Р на еди- ничный круг так, что 1(а, а) = О, и с — действительная постоянная. Установить связь между потенциальной функцией и(з) и функ- цией Грина области .Р (см. задачу 7.36), В задачах 10.74-10.80 пользуясь результатами задачи 10.73 или принципом симметрии, найти комплексные потенциалы электростатических полей, образованных заданными точечными зарядами н указанных областях.
10.74. В верхней полуплоскости 1шэ > О, зарядом (хо,24). 10.75. 1) В круге ф < Л, зарядом (го,2е); 2) во внешности круга ф > Л, зарядом (хо,.2о). 10.76. Во внешности эллипса — + — ' = 1 зарядом (оо; 2д). пэ иэ Ьэ 10.77. Во внешности отрезка )х! < Л, у = О, зарядом (со;2д). 10.78. Во внешности квадрата )х( < 4, (у! < 4, зарядом (со;24).
10.79. В прямоугольнике (х! < а, 1у! < Ь, зарядом (О;2о). 10.80. В прямоугольнике 0 < х < 2а, 0 < р < 2Ь, зарядом (хо, .24). В задачах 10.81-10.85 построить электростатические поля, образованныс заданными диполями. 10.81. В круге ф < Л, диполем (а:р). 10.82. Во внешности круга ф > Л, диполем (а;р). 10.83. Во внешности отрезка (х! < Л, у = О, диполем (оо;р). 10.84.
Во внешности эллипса — + — = 1, диполем (со;р). х и аэ Ьэ 10.85. В прямоугольнике )х( < а, (у/ < Ь, диполем (О;р) (рэ'= ре' ), 10.86. Доказать, что электростатическое поле, образованное диполем (а;р) в произвольной односвязной области Р, определяется комплексным потенциалом ш = Г'(х), где функции 1(з) отображает область Р на внешность горизонтального отрезка так, что р(а) = оо, и главнан часть 1(з) в точке а равна †, если а ф со, и 1кз, ест э — а лн атос. Найти 1(з), если известна функции 1(г), отображающая область Р: 1) на внутренность единичного круга, если а~со, причем т(а) = =О, 6(а)>0; 2) на внешность круга !С! > Л, если а = оо, причем е(оо) = оо и Ь'(со) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
