1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 32
Текст из файла (страница 32)
г дик Ю 2к,/ д г Если область 11 содержит бесконечно удаленную точку то ( ) ( ) г 1п Ыа (й=1 2,...,п). 1 г ди'ь(0 2к/ дп (~ — 4 г 9й Прилежемил к электростатике 1а9 2) Правые части равенств, указанных в и. 1), для точек л, не принадлежащих области Р, принимают значение 1 в дополнительной к Р области, ограниченной Гь (соответственно Г„), и 0 в дополнительной к .Р области, ограниченной Г„ е' ф л.
Примечание. Согласно п. 1) функции ые(з) представляют в области Р потенциалы, создаваемые индуцированными зарядами обложения, распределенными на Г, с плотностями обложения реЯ = — — — . В случае ограниченной области Р величины ы1(з),... 1 до>е(С) 2л дп ..., ы„1(л) в точности совпадают с логарифмическими потенциалами указанных индуцированных обложений Г. Величины зарядов обложения р,ы индуцированных потенциалом ыь(з) на контуре Г; (г, л = 1,2, ..., и), т. е. 1 Г дмь(ь) 1 Г дюе(~) р,ь = — — / — Пе = — — ~ ьп — Не, 2л,/ дп 2л l дп г, г называются взаимными емкостными постоянными граничных контуров (некоторыс свойства чисел ргь рассмотрены в задачах 7.67-7.70. 10.108. Найти гармонические меры шь(е), а также величины ре(~) и р,ы определенные в примечании к предыдущей задаче для: 1) кругового кольца 1 ( ~з~ ( р; 2) произвольной двусвязной области Р, считая известной функцию, отображающую эту область на кольцо.
10.109. Пусть Р— область задачи 10.107 и и(г) — ограниченный потенциал электростатического поля, принимающий постоянные значения аь (л = 1, 2, ..., и) на граничных контурах (проводниках) Гь. Доказать следующие утверждения. 1) и(з) = ~~~ аешь(з). э=1 2) Если область Р ограничена и Ä— внешний контур, то и(з) = а„— — / 1и Йе; 1 г ди(ь) 1 2л l дп г если же Р содержит точку оо, то и(г) = и(со) — — / — !и — ~й. 1 где(~) 1 2л,/ дп )С вЂ” е! г Доказать, что правые части указанных формул равны ае (Й = = 1,2,...,п) в дополнительных к Р областях, ограниченных Ге. 3) Величины индуцированных на Г, зарядов обложения равны 1 г ди(ь) 291 = — — ~ — йе = ~~~ рааы 2лl дп г, э=1 Гл.
Х. Прилвкгвнил к ма*акиве и физике 190 причем ~ ри = О. ььм Указание. См. задачу 768, 1). 4) — О(йгал1и)з Ихду = ~ рзьсзспь. зз ьь=1 Указание. См. задачу 7.69. 5) Если ш(г) — комплексный потенциал поля, то плотность индуцированного обложения р(ч) = — — — = ~ ~ш (0~. 1 ди(ч) 1 2к да 2» Пусть Р— произвольная многосвязная область с границей Г, со- стоящей из жордановых контуров Гь, ..., Г„. Существуют конформ- ные отображения области Р на каждую из следующих канонических областей с указанными условиями единственности (а, Ь вЂ” произволь- ные точки области Р, А — произвольнее комплексное число).
1) На плоскость с параллельными разрезами. Отображающая функ- цкя г(г) однозначно определяется заданием ее полюса Ь и коэффици- ента А разложения — + сз (г — Ь) + ... (Ь ф со), А й)= Аг+ — ' + ... (Ь = оо). 2) На плоскость с радиальными разрезами (так будем называть плоскость с разрезами по отрезкам, расположенным по лучам, выхо- дящим из начала координат), или с разрезами пв концентрическим круговым дугам с центром в начале координат.
Функция 7"(г) опреде- ляется нулем а, полюсом Ь и коэффициентом А разложения — + сз(г — Ь) + ... (Ь ф оо), А г(г) — г — Ь Аг+ + ... (Ь = со). г 3) На круг с радиальными разрезами или с разрезами ко концент- рическим круговым дугам (центр в начале координат). Функция 7(г) определяется условинми 7(а) = О, г'(а) = 1 н заданием контура Гь, переходящего в окружность. 4) На кольцо с радиальными разрезами нли с разрезами па кон- центрическим круговым дугам (центр в начале координат). Заданием контуров, переходящих во внутреннюю и во внешнюю граничную окружности, отображение определяется с точностью до преобразова- ний подобия н поворота. См., например; Галузин Г. М.
Геометрическая теория функций комплексного переменного.: — Мл Наука, 1966,— Гл. У. 10.110. Считая известными функцию, конформно отображающую область Р на плоскость с параллельными разрезами, и гармо- Ял. Прилоэления И электроститине 191 нические меры иэь(л) граничных контуров Гь (к = 1, 2, ..., а) т), найти потенциал электростатического поля, создаваемого в облести Р диполем (а;р), когда граница Г области заземлена. 10.111. Считая известной функцию Грина области Р, найти потенциал электростатического поля в этой области, образованного точечным зарядом (а; 2о) (а Е Р) и имеюшего заданные потенциалы ав на граничных контурах Гь (!с = 1,2, ..., и). В случае когда область Р односвязна, получить формулу задачи 10,73.
10.112. Определить характер электростатического поля, определенного в многосвязной области Р комплексным потенциалом и = = Д(л), где Дл) — функция, отображающая эту область на плоскость с разрезами, параллельными действительной оси. 10.113. Определить характер электростатического поля, опреде- 1 ленного в области Р комплексным потенциалом т = 2ов !и —, если П)* функция г" (з) отображает область Р на: 1) плоскость с разрезами по концентрическим круговым дугам с центром в начале координат; 2) круг с разрезами по концентрическим круговым дугам с центром в начале координат; 3) круговое кольцо с разрезами по концентрическим круговым дугам с центром в начале координат.
Во всех случаях найти потоки вектора напряженности поля через граничные контуры. 10.114. Построить схему расположения эквипотенциальных и силовых линий электростатических полей: 1) образованного в бесконечной двусвязной области диполем на оо: 2) образованного в ограниченной двусвязной области Р точечным зарлдом. В обоих случаях потенциалы на граничных контурах постоянны. 10.115. 1) Выразить потенциал о(з) электростатического поля, образованного в многосвязной области Р зарядами обложения 2ол п на Гв (~ дв — — 0) через гармонические меры и11(л) его граничных Л=1 контуров.
(Ва каждом контуре Гл потенциал постоянен.) Указание. Воспользоваться результатами задачи 10.109. 2) Выразить потенциал и(з), если ~~> аь = и ф 0 и имеется тол=1 чечный заряд (а; — 2о). г) То и лругое опрелеляется с помощью функции Грине; см., непример, ! 1 приложения М. Ш и ф фе р в к книге: Ку р е н т Р. Принцип Дирнхле, конформные отображения и минимальные поверхности.: — М.: ИЛ, 1953. Гл.
Х. Лрилелгеиия и механике и физике 192 2 3. Приложения и плоской задаче о распределении тепла Плоская задача о стационарном распределении температуры внутри тола характеризуется аналитической функцией из(х) = и + ги (и— температура), называемой комплексным потенциалом теплового полл. Вектор Я = — и цгаг(и = — кгв'(х) (и — коэффициент тсплопроводности, в дальнейшем постоянный) называется вектором потока тепла. Поток тепла через контур С равен / (3„дл = — й ~ — (Ь = — 1~г(и с с с (и — внешняя нормаль к контуру С, пробегаемому в положительном направлении). Так как функция и однозначна, то для замкнутого контура С поток тепла равен также И/гп'(х) бх.
Если вблизи точки а с С 1 д 1 ш(х) = [... +:+се+от(г — а)+ ...~ + — )п —, д 1 х — а 2и(с х — а ' то член — !п — определяет в точке а источник (а; д) обильнос2пй х — а ти д, а член — дублет в точке а. х — а Имеет место следующая аналогия с течением жидкости и электростатическим полем: Электростатическое поле Тепловое пале Течение жидкости гте(л) = -е + ги ез(г) = и -~. се ге(з) = и ф ге Комплексный потенциал Вектор поля ьг = ясла и = ег (л) Е = — — ягж(и и = ы'(л) Потенциальная функция Эквипетенциальные линии -е — силовая функция (.) = -Ь йгвц и = -Ьы'(г) Температура Потенциальная функции Эквипатенциельные линии Функция тока Илетермы Функция така и = сппаг У к а за н и е.
Определение потенциала и(х) + 2дд(х, а) приводится к и. 1). 10.116. Найти потенциал и(х) в круговом кольце гг <)х(< тв если на его контурах заданы заряды обложения 2дг и 2дг, причем в случае В + дг = д ф 0 имеется еще точечный зарнд (а; — 2д). У каза н не. Функцию Грина кругового кольца можно определить с помощью решения задачи 10,63, подбирая подходящие циркуляции. По ним определяются и индуцированные заряды обложения на граничных контурах, связанные с функцией Грина. рл.
Прилозеення к э*ектросгпатике 193 Линии тона Источник (ооэ) Линии тока Источнин (о;— — дт Силовые линии е сопв1 Тачечный заряд (а; — ) Диполь Дублет Тепловое поле с заданными источниками, дублетами и изотермическими граничными контурами дип~~ь Течение, определяемое комплексным потенциалом ие(л), с заданными вихрями и днполями, обтекаюшее граничные контуры Поле с заданными зарядами, диполями и зквипотенцнальными граничными кон- турами 10.117. Сформулировать принцип симметрии для продолжения источника тепла через прямолинейный или круговой участок границы области. Найти распределение температуры в произвольной односвязной области Р, если известно, что внутри этой области находится источник (а;д) и температура на границе имеет постоянное значение С. 13 Л.И. Иолковыский и др. В задачах 10.118-10.121 найти распределение температуры в указанных областях по заданным источникам, считая, что на границе области температура постоянна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
