1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1.123. Прямым у = С соответствуют линии и = х+ с* сов С, в = С+ +е*а!пС, отрезкам прямых х ж С вЂ” дуги линий и = С+ е сову, в = с с . = у+ е э!ну. 1.124. 1) Семейству )ю! = П соответствуют окружности г = соэ зг/!и Н (Д ф 1) и мнимая ось (П = 1); каждому лучу атб ю = о соответствует семдйство окружностей г = аш !р/(2Ьл — о); при о = 0 в это семейства входит действительная ось (при Ь = 0); 2) гиперболы х — у' = !пН и 2ху = а + 2Ьл. 1.126. Только /(г) = з Нег/!г! (/(О) = 0). 1.127.
1) и 2) Непрерывны, но не равномерно. 1.128. 2) Нет; 3) да. 1.132. 1) с = 1, Ь = — а; /(л) = (1 — а!)г; 2) а = Ь = -1; /(г! = е'"'. 1.133. Функция аналитическая при 0 < атбг < г/4, л < ат8 < Ьл/4 (/(г) = гг) и при л/2 < агб г < Зл/4, Зл/2 < агб з < Тл/4 (/(г) = — гг). ди дв ди дв 1.135. т — = —, — = -т.—. 1.138. О. д. дч ' др д.' 1.155. 1) Нет, если и ф соней 2) /(и) = аи+ Ь.
1.156. )/(г)! — функция не гармоническая, агб/(г) и !и)/(г)! — — гармонические, дги ! ди ! дги 1.157. г!!и = — „+ — — + —,,; и = С! !ив т Сг. д!.г т дт тг дзгг ' з . г з 1.158. р! = х, Ф = у; Га = хг — у, дг = 2ху; рз = х — Зху', аз = Зх у — у; рз = х! — Охзуг+ у", уз = 4хзу — 4хуз; р„= г" соа и!р, о„= т" айпи!р. 1.159. в(х,у) = 2ху+ у+ С. 1.160.
в(х,у) = — „„+ С. тг+ уз 1 161. а) в(х у) = аг8г-Ь С; б) в(х у) = агб г+ 2пзл+ С. 1.162. а) в(х,у) = агбг — атй (г — 1) + 2пзл+ С; б) в(х,у) = аг8г— — аг8(а — !) + С; в) в(х, у) = агб- — агб (з — 1) -!-2ттгл-|- С. 1.163. а) в(х,у) = ~ огаг8(з — гь)+ 2л 2 тяга! + С: г=! г=! п б) в(х,у) = ~ аьагб(г — гь) + 2лпз) оь+ С (если ~ел =О, тофунк- з,-! ь=! ь=! ция в(х, у) в рассматриваемой области однозначна). 1.164. 1) Существует; 2) существует; 3) не существует. 1.165. /(з) = з + (5 — г)х — з/з + Сг. 1.166. /(з) = зе" + 2гсоаз+ гз — тз+ Сй 1.167.
/(з) = 1/(2з) + ггг 4- Зз + С. 1.168. /(з) = 2з!па — (2 — з)з+ С. Всюду С вЂ” произвольная дейстаительнан постоянная. 1.169. и = С!а + Сг. 1.1ТО. и = Ст(ах+ Ьу) + Сг. 1.171. и = Сзагсг8(у/х) + Сг. 1.1Т2. и = С!ау + Сг. 1.173. и = С! !и (х + у ) + Сг.
1 174. и = ' +Сг 1 175. и = С! х+ Х/тхг+ уз+ Сг. хг + уг 14* Ответы и решения 212 1.176. Не существует. 1.177. /(х) = е' х е'. 1.178. /(х) = е' е* . 1.179. /(х) = Ае' /з. 1.180. /(х) = Ахе' (а — произвольная действительная постоянная, А— произвольная положительная постоянная). 1.182. ах+Л, сох+ Л, Ле»', Ле"*.
1.183. мы+ Л, ах+ Л, Лес *, Ле'*. 1.184. асЗпх+Л, а1пх+ Л, Ле™, Ле '"*. 1.185. а!па+ Л, ас1пх+ Л, Ле' ', Легиь'. 1.186. а/х+ Л, ас/х+ А, Ле'/*, Ае"/' (а — произвольная действительная постоянная, Л вЂ” произвольная комплексная постоянная). 1187. Длню=хс: 1) д=О, lс»»2; 2) д=сг,6=1/2; 3) д= г/4,/с=2ъ2; 4) д = х — агсхд (4/3), 6 = 10. Для ю=х": 1) д=О, 6=3; 2) д=О,)с=З/16; 3) д=сг/2, )с=6; 4) д = — 2 агс16 (4/3), 6 = 75. 1.188. 1) Сжатие при (х( < 1/2, растяжение при ~х~ > 1/2; 2) сжатие при )х -~- Ц < 1/2, растяжение при )х+ Ц > 1/2; 3) с/нагие при Ц > 1, растяжение при ф ( 1; 4) сжатие при Кех < О, растяжение при Кех > О; 5) сжатие при (х — Ц > 1, растяжение при (х — Ц < 1. 1.189.
Я = О ~/'(х)~ г/х/11, Р = /(/(х))дл. С 1.190. х/2 (ес" — 1). 1.191. 2ес(ес — 1). 1.192. Областью Р является кольцо е ( (ю~ ( е . Формулу из задачи 1.189 применять нельзя, так как отображение не являетсн взаимво однозначным. главеН 2.1. ю = (1 + с)(1 — х). 2.2. ю = (2 + с)х + 1 — 31 2.3.
1) хс = -1 + Зс, д = О, 6 = 2, ю+ 1 — Зс = 2(х + 1 — Зс); 2) хс = 2 + 2с, д = †, 6 = 1, ю — 2 — 2» = г(х — 2 — 2»); 2' 3) конечной неподвижной точки нет; 4) если а = 1, то конечной неподвижной точки нет; если а ~ 1, то 1 — а 1-в Х 1 — а / 5) если а = 1, то конечной неподвижной точки нет; если а ~ 1, то 6 Ь / 6 хс = —, д = аг8а, 6 = )а), ю — — = а(х — — ~. 1 — а à — а 1 — а/ 2 4. 1) ю = ах -Ь Ь; 2) ю = — ах + 6; 3) ю = — с(ах+ Ь); 4) ю = ах + Ьс'.
Везде а и 6 — действительные числа и а > О. 2 5. 1) ю = х + Ьс или ю = — х + 1 + Ьс) 2) ю = х + Ь или ю»» — х — с + 6; 3) ю = х + 6(1 + с) или ю = -х + 1 + Ь(1 + с) . Всюду Ь вЂ” действительное число. Друг другу соответствовать могут точки, лежащие или на прямой, параллельной грвницам полосы, или на параллельных прямых, симметричных относительно средней линии полосы. Отображение не определяется однозначно, если соответственные точки лежат на средней линии полосы.
Глава П ,3) Ю= — ° ( /2.!- ил! ь 2) — л+а+Л+. л Л=1 Л<1 Л>1 Рнс. 60 мой, проходящей через точки е! и л! (рис. 60), делит отрезок л!зз внутренним и внешним образом в отношении Л. Если воспользоваться обозначенинми, указанными на рисунке (С вЂ” центр окружности с диамет- 2.6. 1) ш= —; 4) ш = е Н~!~~~и~!(л — зЬ!).
Ь,-Ь! ' 2.7. а! = е'"Яз+ н!а. 2.8. 1) Семейство прямых и = 1)а, параллельных мнимой оси (не вклю- чающее самое мнимую ось); 2) семейство прямых о = -1/Ь, параллельных действительной оси (не ' включающее самое действительную ось); 3) семейство окружностей Ь(и + о~) + и+ о = О, касающихся в начале координат прямой о = — и (включающее и самое эту прямую); 4) пучок прямых о = -Ьи; 5) пучок окружностей, проходнщих через начало координат и через точ- ку !ае = 1!!щ (в этот пучок входит также прямая, проходящая через точки и = О и ш = шо); б) циссоида и е .!- 1 2.9. 1) В семейства окружностей, касающихсн в точке и! = Л прямых, соответственно параллельных мнимой и действительной осям (нключан и сами зги прямые); уравнения зтих семейств: (С вЂ” ао)((и — Л!) + (о — Лг) ) — (и — Л!) = О; (С вЂ” уо)((а — Л!) + (о — Лз) ] — (о — Л!) = О, где щ = хе + !ум Л = Л! -~-1Лм 2) в семейство окружностей с центром в точке и! = Л (!!и — Л( = 1/Г!) и семейство лучей, выходящих из точки ш = Л (ага (а! — Л) = — о).
2.10. 1) Уравнение семейства окружностей Аполлония относительно л — х! точек л! и щ: ~ — ~ = Л. Концы А и В диаметра, лежащего на пря- 214 Ответы и решения ром АВ), и обозначить (вг — зг) = 4, то при Л < 1 имеют место соотношегг и ЛН Лгд 1 ния Л = соло = — = —, В = —, гг =, гг = и гг 1 — Лг' 1 Лг' 1 Лг' г — гг 2) дуги окружностей, проходящих через точки гг и зг: ахя г гг = О. Дуги, соответствующие значениям В = о и 0 = л — о, дополняют друг друга до полной окружности; 3) полнрной сетке соответствует (рис. 61) сетка, состоящая из окружностей г — гг Аполлония ~ ~ = В и орг — г Рнс.
61 гг тогональных к ним дуг агб — — = 8 (если О > О, то дуга расположена спрагг ва от направления з~ггг; если В < О, -- то слева); 4) верхнему полукругу соответствует указанный на рис. 61 прямой угон. 2.11. В полукруг (ш! < 1, 1ш ю < О. 2.12. В область, содержащую точку ю = О и ограниченную дугами окружностей )ш( = 1 и )ю + бг/4( = 3/4. 2.13.
В область, полученную из нижней полуплоскости (1пгю < О) удалением находящейся в этой полуплоскости части круга (ш — 1/2+ г/2~ < < 1/2/2. 2.14. 1) В область, ограниченную прямой Вею = 1 и касающейся ее окружностью (ш — 1/2( = 1/2; 2) в область, ограниченную касающимися друг друга окружностями (ш — 1/2( = 1/2 и (ш — 3/4( = 1/4. 2.15. В двусвязиую область, граница которой состоит из примой Ве ю = = 1/2 и окружности (ш — 3/4! = 2/3.
2.16. 1) ш = — — +1+)гг или ю = — +(гг; 2) ш = ~ — — 1) -~- И 4 лг 'дг г Лг — дг +)гг или ш = гл — — 1) + 1+ (гг; 3) ш = дг г'лг Ыг(г — нг) 4, — 4, '1 ° г(дг ж Нг) Глава 11 215 2»(»+ Ц ) (1+ 2г)»+ б — Зг 4» — 1 — 5г ' 5(» — г) Ц ю — (!+1)'+'+3'. 2) ю — "+2+' (1 -!- г)» -1- 3 + г » -!- 1 2 2.19. 1) ш =; 2) ю = ( — 1 + Зг)» + 1 — г »(1 — 4») — 2(1 — г) (1 + г)» — 1 + г 2»(1 — г) — (4 — г) ' 3)ю= »(3 — г) — (1+ г) (! Е г)(1 — ») » — г 2.20. иг = —; верхняя полуплоскость переходит в единичный круг. 㻠— 1 а»+Ь 2.21.
1) ю =, где а, Ь, с, г( — действительные числа и аг( — Ьс > О; с» -!- г! а» еЬ 2) ю =, где а, Ь, с, г( — действительные числа и аг) — Ьс < О; с».1- Н .а» -~-Ь 3) ю = г, где а, Ь, с, сг — действительные числа и аг( — Ьс < О. с» Е г! 2.22. 1) ш = 2/(2 — »); 2) иг = — 2(2»+ 1)/(» — 2). Я вЂ” » 2.23. ш =; образом верхнего полукруга является угол и > О, с < О.
й -!- » 2.24. 1) (2+ г)/5; 2) 9/2+ г. 225. 1) ф = 2; 2) прямая х = 1/2; 3) (» — г/4( = 1/4; 4) ххг+ ура = 1/2; 5) )» — »»( = 3/»гг '-' —:1 (т. е. эта окружность симметрична сама себе относительно единичной окружности); б) (х + у )' — (х — р ) = О (лемниската); 7) криволинейный треугольник с вершинами в точках 1/»г, 1/»г, 1/»з, сторонами которого являютсн дуги окружностей, проходящих через пару всрщин и точку» = О (одна из дуг может оказаться отрезком прямой).
с!~-»7»! 2.27. 1) В(х) = а 4-2»гб(х —,9); 2) иг'(73) = 2Ь 3) если Ь > 2, то вся полуплоскость сжимается; если Ь < 2, то растягивается область, лежащая внутри круга (» — ф < г/26 (Окружность (» — Д = у2Ь называется изожетприческоп.) 2.28. 1) го= —,; 2) иг=г —; 3) ю=сг» » г » — 2» ! гг+в!» — (а-~-6г) , г » -!-2г' » — (а — Ьг) .» — г » — 2г »г -!-2 2.29. гс = И вЂ” -!- юр. 2.30. гс = — —. 2.31.
гл = — 4 » -~- г » ; 2г » — 2 — 4г 2.32. иг = Ье! "'»0»ггггпг —, где Ь > О. Лучам, выходящим из точки » — »г ю = О в полуплоскости »сею > О, соответствуют в»-плоскости дуги окружностей, лежащие внутри круга ф < 1 и проходящие через тачки»г и»г: лежащим в полуплоскости гтеш > О полуокружностям с центром в точке ю = О соответствуют находнщиесн внутри круга ф < 1 дуги окружностей Аполлония относительно точек»г и»г. 2.33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
