1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 37
Текст из файла (страница 37)
= Л=~ дг — »г' 2)!гп» ) ю — 6, » — а ш — а .» — а 2.34. = = е' —. 2.35. — = г —. ю — Ь» — д ш — ໠— а з!и гг — Л а!я д 2.36. 1) В(уг) = а — ш+ 2 а»3 (е'е — а) = а — гр+ 2 агс13, где соз !л — Л соа д ' а = Леге, 21б Отлеты н решения е' 2) ю'(О) = (1 — [а[ )ею, ю'(а) = 1 — [а[г 3) Если а ф О, то растягивается область, лежащан вву'три круга ).-))р),/О~ о-л ° ° °- )о * )*-)))-„))7))г — *о .) о =о, [и) (»)[ = 1.
2.37.1)ю=; 2)ю= ) 3)ю=-г») 4) =е!" 2 †»' 2 )-г» 1 — аю 1 — а» ю — Ь )» — а 1 — 7 » — 2-'; г 2.38. /Ьг, =е' /1г, . 2.39. ю = —. 2.40. н) = 2, йг — Ью Я; — а»» -)- 2 г» .)- 2 — 2« 2.41,Цю=/!ге'" ' '; 2) Ь =с* ' '; 3)„=К» йг — а» ' Вг — Ью Нг — а» ' Г»г — а» где а — действительное число и [а[ < В.
ю — а;„» — »! » 2.42. = е)е, где )р = я — агб = 1 — аю 1 — г)»' 1 — 1)» [»г — »)[ ) —,,) тг:)»Ргт:)»т) ໠— 1 -)- л/1 — а~ 1 — л/!а»'-" 2.43. ю = ю , р=2 (! — л/1 — а-)» — а а 246 1) ю=»' 2) ю»42 — чз 3) . » — 2Ч-ъ/3 1 + (2 — ч'3)» 1 — (2 — л/3)» 2.49. Окружности, проходншие через точку»о и имеющие в этой точке касательную, определяемую вектором /«. (и — Н)» — яг 2.50. ю =, где й — действительное число, Л ф О (при » — (й -)- йг) Й = ою следует положить ю = »).
Л 2.55. Если [а[ < яп †, то преобразование эллиптическое. Если обозна- 2' чить [а[ = яп — з(п)З, »! = е))оол~г 1»1!3 —, »г = е! + / /-)с13 13 2 2' 2 2 Л 'О») )Ло» = !3 — соэ)О, то преобразование можно записать в виде = е! ' 2 ю — »г» — »г Л 1 Если [а[ = яп †, то преобразование параболическое и имеет вид 2 и) — »о = — + г/)»о, где»о =е', /!=13 —. Если [а[>зш —, то преобразш ,).„... л . л « — «о 2 2' Л ванне гиперболическое. Если обозначить: яп — = [а[яп/г', »г = е) +л/г 2 соз(Л/2) ж [а[г — з1п (Л/2) К =, то преобразование запишется в виде Р)»- г)еал)' ю — ») = К вЂ”. )о — »г »»г 2.56.
Г = 2 а»с!3 (а/5)) Г = 2а/й+ О[(а/Ь)~[ при малом а//г; Г = я— — 2/г/а+ О[(/г/а)~[ при малом /»/а. Глава П 217 2.57. Г = 7 + 2 асс!6 = 2 агссп ( Он — 21; Г < 7, если хе < О, хе О1п 7 /1+ХО 71 1 — ХО Сое 7 1 — ее 2 и Г > 7, если хе > О. 2.61. 1) ю = -20/х; 2) е2 = — (2се+ 1+ 2!). 2.64. Ь = —; и! = 2е'~ или и2 = е!ч 4' 4263 42 — 3 22 !а 2 2-24 2 2.65.
и! = е!О или и! = е', р = —. 2 .1- 24 32 3 2 — 2, 2 22 ! 2.66. н2 = Л вЂ ,' или 1О = Л вЂ ,, где Л вЂ” произвольное комплексное 2 — 22 2 — 2 1 и!(22 — 21) ! и2(22 — 2!) ЧИСЛО, Л1 = З1 +, Зз = З! +, 22 = ]З2 З1], 24 22 и! = — (т!2+ 6 — т2 — [242 — (т! Ч-т ) ][62 — (т! — т2) ]), 2о' и. (т! + !1 Т2 ! И (т! + Т2) ][22 (т! — т2) ]) ' 1 2!2 ( .)- 1 ] (юг-2- т2 — и!)(т! — Чз) и или -1! = р/ ! (!4+ ТΠ— и2)(21 — и!)! 2.67. 1) 42 = 2; 2) и = 5+ 22/6.
2.69. Группа будет конечной, если гх соизмеримо с и. 2.71. Фундаментальные области (один из возможных их видов) показаны штриховкой на рис. 62. Эквивалентные граничные стороны соеди- 1) 2) 3) ж, 7) Рис. 62 218 Ответы и решения иены стрелками. Точки с цифрами — неподвижные тачки вращений, входящих в группы (цифра указывает число поворотов). Зля последних пяти примеров указан параллелограмм двонкопериодической подгруппы; в примере 7) это квадрат, в примерах 8) и 9) это ромб с углами 120' и бО'. Примечание. Можно показать, что с точностью до линейного преобразования группами З)-9) исчерпываются группы линейных преобразований с одной предельной точкой (так называется предельная точка множества эквивалентных между собой точек). ю — 1; е — 1 ю — е „„г — е 2.72. 1) ю = е' з; 2) — = е' —; 3) —, = е'" —,; ю41 е+1' ю+1 гтВ ю — а ю е — а 4) = еге 1-1-аю 1+ аг 2.78.
Ц и 2) Построение очевидно; 3) эквидистантами "прямой" о 3 (а и (3 — "бесконечно удаленные" точки этой прямой) являются дуги окружностей с концами а, Д (они называются гилерцикяами); 4) предельными линилми для пучка епараллельных прнмых" с общей "бесконечно удаленной" точкой а являются окружности, касающиеся (изнутри) единичной окружности в точке о (они называются орицикяаяги).
2.79. 2) Для построения "прлмолинейного" треугольника с углами ~ры уз, 1ез строим круговой сектор ОАВ с центральным углом г3 = л — (Чг~ + +егг + юг), проводим 'прямую'* АВ, а через точки А и  — "прямые" под углами Чгг и иге к АВ пересекающиеся в точке С. ЬАВС искомый. 2.80. 1) ю = 1(з — а ); 2) ю = )/л — — — 1|/ —. 2 г 2 1/2 ге А Ггч11г 2.81.1) ю= — „; 2) ю= /-; 3) = — ~ — ) . аз а 2 (,г — 2) 282.
Область ограничена улиткой Паскаля; и = В(сое Чг+ тсоз 21в), о = = П(з1плг+ лгз(п21е). Если перенести начала координат в ю-плоскости в точку ю = -Лт, то получим уравнение улитки в обычном виде (в полярной системе координат); р = Л(1+ 2тгйпВ). При тл = 0 улитка Паскаля обращается в окружность, при т = 1/2 — в кардиоиду с точкой возврата ю = -Я/2. Образами окружностей ф = г < 1 являются также улитки Паскаля, полярные уравнения которых легко получаются при переносе начала координат в точку ю = — Птг' р = йг(1+ 2тгсозВ).
Образы радиусов окружности агб л = а — параболы, проходящие через наРнс. 63 г чнло координат: т(ие(п2а — исоя2сг) + + Яв1па(иа!па — исоагг) = О. Радиусам а = 0 и а = л соответствуют отрезки действительной оси 0 < и < В(1+ т) и В(т — 1) < и < О. 2.83. Область ограничена параболой и = — и~ и кривой р = 2 соеВ/3, /В) < Зл/4 (рис. бЗ). /лава П 219 со«ию 1 2.84. 1) Область ограничена эпициклоидой: и = «»(созе»+ ), о = Е»П Ие»1 = ««(з(п»р+ ), имеющей (и — 1) точек возврата, которые являются и образами точек « = " К-Т; сое иэ»1 2) внешность гипоциклоиды: и = ««(сов 9»+ ), е = «х(в(пэ«вЂ” з»пию1 +1 — — ), имеющей (и+ 1) точек возврата (образы точек « = " »/ — Т).
2.85. 1) )гп( ( 1/и. Область ограничена удлиненной эпициклоидой (эпитрохоидой), т. е. треекторией точки, находящейся на расстоянии и«й от центра круга радиуса Щи, катящегося извне по кругу радиуса «1(и — 1)/и. 2) )«и) ( 1/и. В первом случае внешность единичного круга, а во втором случае его внутренность отобрал«лютея на внешность "укороченной" гипоциклоиды (гипотрохоиды). 2(1»/4+ 1)е '/«««/« 2.86.
1) ю = «"; 2) «е = « « «« 2.87. 1) ю = ( — ); 2) ю = —; 3) ю = (1 «/ ' 2« ' 2««.~.3«+2 «««- 3»«+ 1 . 2«« -~- 3»«+ 2 2.88. 1) ю = 2)ю= г«« .~- 2«Ч- » 2«« — 3»« -Ь 2 2.89.ю=( — ) . =( )' =(" 2.90. 1) ю = ); 2) и» = ( «»/» /г»/а) ' 1«1/а.~. о1/а ( - )', / - )'/'. [ - — 1' 2« — »»3 — «2« — ч'3 — » ' « — »/2(1 -~- «) « 2.94. ю = е" ( — ) . 2.93. ю = (, -1) ' Ч1-. ». 4. »/Гт«Г/" — ), 2. 5.
«4 — Г»( - ц. .9 . '(»«)»(* — Я» 2.97. ю = е «'/'~/л — «. 2.98. ю = еи/Н'»о«» "/П ~/ « — 1' 2.99. ю = «/««+ /««. 2.100. ю = ».юь. = Д' ') +»'-'. а.»ю. 2.103. ю = 2.104. ю = ( ) . При одном выборе ветви х/«эта функции дает »/«+ 1» ,/1-1) решение задачи 1), а при другом — 2). 2.105. ю = «/(1 — «)«. Ответы и решения 2.106. Окружностям )з) = Я (рис.
64) соответствуют софокусные 220 Рис. 64 4и 4 ел эллипсы + = 1 (окружности )з) = 1 — отрезок о = О, (К+1/К)з (К-1/К)г — 1 ( и ( 1); лучам агбл = гг соответствуют ветви софокусных гипербол иг ег — — = 1 (лучу агй л = Π— луч о = О, и > 1, лучу агб з = я — луч соаг а з1пг о о = О, и ( -1; лучам агй з = их/2 — ось и = О). 4иг 4гг 2.107. 1), 2) В?гсщкость эллипса + „=1 (рис. 65, 1), 2)); (К.~-1/Ь)г (К-1/К)з 4) 3) р о "-%~ Рис. 65 3), 4) вся плоскость с разрезом по отрезку ( — 1,1) (рис. 65, 3), 4)); 5), 6) вся плоскость с разрезами вдоль лучей ( — оо, — 1] и (1, оо), лежагпих на действительной оси; Глава П 221 7) нижняя полуплоскостгб 8) верхняя полуплоскостгб 9) верхнян полуплоскостгя 4из 41г 10) верхняя половина внутренности эллипса + , = 1; (Я+1/Я)з (Я-1/Я)э 4ие 4из 11) нижняя половина внутренности эллипса „+, =1; (я+ !/я)э (я-1/я)а 4из 4 из 12) правая половина внутренности эллипса (Я !/Я)э (Я 1/Я)2 , + — =1 17 11 с разрезом вдоль отрезна, [1, — ~Я+ — )~; из е2 13) область между нетвями гиперболы — — — = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
