1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 33
Текст из файла (страница 33)
10.118. В верхней полуплоскости 1птз > 0; источник (а;о). 10.119. В круге ф < Н; источник (а;о). 10.120. В полуполосе (х( < а, р > О с источником (гй;о) (6 > 0). 10.121. В прямоугольнике ф < а, (у( < Ь с источником (О;о). 10.122. 1) Дать интерпретацию функции Грина р(з,а) плоской области Р в терминах теории распространения тепла. 2) Считая известной функцию Грина области Р, найти распределение температуры в этой области, если известно, что в Р имеется источник (а;о) и на граничных контурах Гд (й = 1,2,...,п) температура имеет постоянные значения иа.
Записать ответ с помощью гармонических мер ыл(л) граничных контуров. 10.123. Найти распределение температуры внутри кругового кольца гз < ф < гэ, если известно, что внутри кольца имеется источник (а;о) и на граничных окружностях температура имеет постоянные значения; иь — на окружности Ц = г1 и из — на окружности ф = гг. Указание. См. аналогичные задачи 10.63 и 10.116. ГЛАВА Х1 ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В этой главе используются обозначения, введенные н 1 5 гл.
1 для формальных производных по Коши. Соответствующие обозначения применяются и к дифференциалам: гар = — ох + — оу. ди дУ дз дд З 1. Квазикоиформиые отображения Характеристиками эллипса называют отношение р его полуосей (р > 1) и если р ~ 1 угол В (О < В < я), образуемый большой осью эллипса с осью Ох.
11.1. Показать, что уравнение эллипса с центром в начале координат, малой полуосью А и характеристиками р и В можно записать в виде тх — 2,Эху+ оу = РЬг, где о =рсоагВ+ -зш В, д= ~р — -~сов ВатВ, ~ = раш В+ — созгд, р ' р Р или в виде )х+ рл! = Х, где р — 1 гна 2Р" р= — — е ', Л= —. р+1 ' Р+1' Величины а, д, т из задачи 11.1 также называются характеристиками эллипса. Они связаны соотношением от — Д~ = 1.
Величина р называется комплексной характеристикой эллипса. Заметим, что (р(<1. Вслучаекруга Р=О, р=1, а=ч=1, В=О. 11.2. Локазать следующие соотношения между различными характеристиками эллипса: г 2) 2В = агд и+ к ( — а. < агин < л); В д Коозиконформнеде отобронеенин 195 182В =— 2,3 а 7 у- + ед — дт ддт 2Д (1 — (р(г)а = 1+ 2)гд) сов 2О+ !12~2, 4) (1 — (р(2)~3 = 2(1д(вдп2О, 1 — ),и)г) у = 1 — 2~гд~ сов 2О+ )12)г 5) — (а, У<Р; ф < — 11Р— -!. 1 1/ 11 Доказать следующие соотношения между характеристиками двух эллипсов: 6) ~рг — рд! ~ (~аг — ад~+ ~Д2 — Вд! + !уг — Ъ! ьйп!Ог — Од 1, !аг — а | < !Рг — рд~+ 1 фг дд) ~~ )рг рд(+ 1+ + Р-'Рд ~ в1п )Ог — Вд (, — Од(; ~ дг — Ъ! <!Рг -рд!+ 8) (гдг — ддд) ( ((гдг) — (1дд)( + 2д/)р~рДвдп ~Вг — Вд(; "' 3 ~ "' "' + Д(р, - оцр, - ц.и рв, - од ) и — и ) ~рг-Рд! 1 — Рйрг! Рг + рд Указание.
Для доказательства неравенств 6) — 8) полезны неравенства вида ~тг сов Лг — тд сов Л1! < )тгедд' — тдедхд( ( )тг — тд! + +2 дтгтдвдп)Лг — Лд(, Цаг+ 1Ьг( — )ад +1Ьдй < )ог — ад(+ ~Ьг — Ьд~. Отображение (преобразование) до =,1(г) = и(х, у) + до(х, у) называется оффиннььдс если и = адх+ Ьду+од, о = агх+ Ьгу+сг. (1) Якобиан этого отображения дз = Ь . Если Ь = О, то отображеад Ьд аг Ьг ние является вырожденным. 11.3. Доказать следующие свойства аффинных отображений. 1) Аффинное отображение можно представить в виде ш = Ах + Ву + С.
Выразить коэффициенты А, В и С через коэффициенты преобразо- 13' рл. Х1. Обобсцекие аналитических функций 196 ванин (1) и показать, что Ь = )А(9 — (В)з. 2) Если бс ф О, то существует обратное отображение г = Асю+ Всю+ Сы Выразить его коэффициенты через коэффициенты преобразования (1) и показать, что сзс = )Ас~з — )Вс)з = 1/с3. 3) Если с1 ф О, то отображение сохраняет параллельность прямых и преобразует эллипсы в эллипсы. Эллипсы с комплексной характеристикой р = В/А, если с3 > О и д = А/В, если с3 ( О преобразуются в окружности. Окружности преобразуютсн в окружности только при ортогональных преобразованиях ю = Аг + С или ю = Вб+ С.
4) Если с1> О, то отображение сохраняет направление обхода; если сз ( О, то отображение меняет направление обхода на обратное. 5) Если сх = О, но не все коэффициенты аы Ьы аз, Ьз равны нулю, то отображение можно представить в виде ю = 2~А~с'с +Р1Цг~соа (д+ — ) +С, 2 где ср = вгдг, а = агбА,,З = агдВ. Указать геометрический смысл этого отображения. Характеристиками аффинного отображения называются характеристики (р,О), (сс,(1,т) и комплексная характеристика и эллипсов, преобразуемых в круги (см. задачу 11.3, 3)). Характеристиками непрерывно дифференцируемого отображения ю = и(х, у) + со(х, у) с якобианом Г > О называются характеристики р(г), 0(г); сс(г), /з(з), у(г) и комплексная характеристика р(г) аффинного отображения с1и = и, с1х + и„с1у, сЬ = о, дх + о„с1у или йю = ю, с(г + юг Нб.
При таком преобразовании бесконечно малому кругу сси + ссо = сгр соответствует бесконечно малый эллипс тс(хз — 2/дс1хс(у+ ссйуз =- рс16~ (Ый — малая полуось), или, в другой записи, (с(г + рс(г! = — сй. 2р р+1 11.4. Доказать, что для невырожденного аффинного отображения имеют место соотношения т -д а 1 агс -ь а' асЬ, + агьг Ь', + 6, '1Ь! Э1. Кваэиконфармные отобран(ения 197 11.5. Доказать, что для характеристик непрерывно дифференцируемого отображения с положительным якобианом справедливы соотношения: Д о рбь' и', +э~$ ахах+ еххх ив+ив бР' 11 2) иг + и„+ ег + их =,1(Р+ - ); бш 7 .
Иш! !ш!+1шх! 3) р = шах — 7 эшп — ~ = бх / Нх ! йш ! — )шхп' 4) р= — = — — с'; Р— 1 зев. шх Р+1 5) ~/- ( — ( рт. 0днолистное непрерывно дифференцируемое отображение ш = = и+хе с положительным якобианом называется кеаэиконфармным отображением с харакглеристиками р(з), 0(з) или о(з), р(х), 7(г) или р(з), если оно переводит бесконечно малые эллипсы с этими характеристиками в бесконечно малые круги. 11.6.
Доказать, что квазиконформное отображение удовлетворяет системе уравнений ои, + ди„= иш Би + уив — — — и„ или, в комплексной форме записи, уравнению Указание. Уравнению рЬ+ рйз( = сопэа соответствует уравнение фш! = сопзц Примечание. Указанные в задаче уравнения называются уравнениями Белхтрами.
Характеристика р называется коэффициентом Бельтрами. 11.7. Показать, что однолистное непрерывно днфференцируемос отображение ш = и+ 1э с положительным якобианом, которое переводит бесконечно малые круги в бесконечно малые эллипсы с характеристиками р(г), 0(з) или о(з), Б(з), 7(з) или р(г), удовлетворяет системе уравнений и, +,9и„ = оию -Би, + и„ = -ое„ нли, в комплексной форме записи, уравнению Р 1 гэв шт=иш;, и= — и= — е'. р+1 Примечание. Если указанную систему записать в виде рих + чи~ = эш Чи» + риэ = ох Ге. Х1.
Обобщение аналитических функций 198 (здесь р = 1/а, д = Д/се), то приходим к (р,д)-аналитическим функциям по терминологии Г. Н. Положего (см. его книгу "Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного", 19бб). 11.8. Доказать, что уравнение Бельтрами ве = р(2)в, инвариантно относительно аналитических преобразований функции в, а уравнение ве = Р(2)ве инвариантно относительно конформных преобразований переменной г.
11.9. Пусть однолистное непрерывно дифференцируемое отображение в = и+ еи с положительным якобианом переводит бесконечно малые эллипсы с характеристиками р, В в бесконечно малые эллипсы с характеристиками р1, О1 (такое отображение называют кеаэиконформныл с двумя парами характеристик р, д; р1, В1 или с двумя тройками характеристик е2,,9, у; 121, Дм у1). Доказать, что отображение в = и + еи удовлетворяет системе уравнений ои, + (Д+/)1)ии — — геии, (Д вЂ” /21)и, + уии — — — е21и„ которую можно также записать в виде Ве — Я1Ве + Язюе где Р! (Р ) 299 Р(Р) ) 2991 (РР1 + 1)(Р + Р~) ' (РР + 1)(Р + Р1) Указа н не. Уравнение [оз+ )2Ю[ = сопят соответствует уравнению [е(в + р1 с(в[ = сопзс с известными р, р1. 11.10.
Пусть ~ = /(2) — квазиконформное отображение с характеристикой )2т: /2 =РЫЛ и в = дЯ вЂ” квазиконформное отображение с характеристикой ре.. дб = рад<. доказать, что их суперпозиция г'(2) = д[/(2)) зиконформное отображение с характеристикой рт + Ре/2//* )2Р = 1 + Рейт/,//* = д о / есть ква- Доказать также соотношения /= Рг — Ит /, ре = — ~ ру Не) )2У(г) =1 /2 1 — йу)2Р ' Примечание. Если считать известным )2Р, то величину апр 1п 1 — [Ье[ можно принять в качестве расстояния между )еу и )2Р.
Аналогично, ЧЕРез )2Р опРеделаетсв Расстояние между )2 И )29- . б 1. Кеаеинонформные отобранеения 199 11.11. Пусть р 1„0 1, — характеристики р, 0 квазиконформного отображения ео = 1(х). Показать, что Р=1н = Р д.~ 0.1ы = 0ы1е х - + агб~о 2 и что цля сложного квазиконформного отображения ео(х(1)] Р~1е ~< Рн1ере/е.
11.12. Показать, что для квазиконформных отображений и = 1(х), о = у и = х, о = 1(у) (продольное растяжение-сяеатие), (поперечное растяжение-сжатие), р = г, 0 = ~(~р) (угловое растяжение-сжатне) характеристика а для отображения р = 1(г), 0 = ео (радиальное растяжение — сжатие) характеристика р = пзах ~ —, — ) . У 'гГ 11.13. Построить квазиконформное отображение круга ф < В на себя, переводящее точку х = а ()а! < 11) в начало и оставляющее неподвижными точки окружности ф = В. Оценить характеристику р.
11.14. Построить квазиконформное отображение косой полуполосы х>0, хтбсе<у<х1яа+К ф' на прямоугольную полуполосу до и>0, 0<о<1е без растяжения на основании и с постоянным растяжением на боковой сто оне. Оценить ха- Р рактеристику р. 11.15*. Построить квазнконформное отображение двуугольника, состоящего из полуплоскости и кругового сегмента с центральным углом 2до (рис.
58), на полуплоскость с сохранением длин на границе. Оценить характеристику р. 11.16. Квазилинейное уравнение А — +2 — +С вЂ” = Ер,у,и,—,— ) д"и дои д и 1 ди ди1 дхе дхду ду' ~ ' ' ' дх' ду) эллиптического типа (АС вЂ” Вз > О) посредством однолистного отображения ~ = Цг) = ~+ еп требуется привести к каноническому виду дои д~и ( ди ди'1 — + — = Ез ~~,п,и, —, — ). д~' дч' ~ ' ' 'дб'дп! Гл. ХВ Обобщение аналитичесних функций 290 Показать, что отображение ~(х) Бельтрами А — +В— дх ду дП ,/АС вЂ” Вз ду ' удовлетворяет системе уравнений  — +С— дс дй дх ду дП чгАС вЂ” Вз дх и является квазиконформным отображением с характеристиками а,,), г, определяемыми из соотношений '~ д 1 С В А тггАС вЂ” Вз предположено, что А > 0). В 2. Обобщенные аналитические функции Функция ю = и+ вщ удовлетворяющая уравнению юд+ Аю + Вю = Г, где А, В и г' — функции от х, называется обобщенной аналитической функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
