1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1) Диаметрально протиаоположные точки на одной параллели; 2) точки, взаимно симметричные относительно начального меридиана (т. е, с отличающимися по знаку долготами); 3) точки, взаимна симметричные относительно плоскости экватора (т. е. с одинаковой долготой и с широтами, отличающимися знаком). 1 "19 з1 з2 = — 1. 1.50. При повороте сферы на 180' вокруг диаметра, параллельного действительной оси х-плоскости. 1.51.
1) Восточное полушарие; 2) западное полушарие; 3) полушарие -я/2 < а < я/2; (о — долгота); 4) полушарие х/2 < (22) < я; 5) южное полушарие; 6) северное полушарие. 1.52. Семейство окружностей, касающихся друг друга в "северном по- люсе" (полюс проекций); прямой, проходящей через начало координат, со- ответствует большая окружность, а прямой, ей параллельной и отстоящей от начала координат на расстояние И, — окружность, лежащая в плоскости, наклоненной под углом агс$822 к меридиональной плоскости.
1.53. Прямым соответствуют окружности, проходящие через "север- ный" полюс. глаза Х 207 1.66. )гг», а) =; )г!», оо) = ,/1 -/- )»)гг/! + )ар г/! + )»)7~ , — », ) з/! -~- )»г~з 1.57. Окружность Аполлония ~ — ~ =, в частности, пря.—.~~ =,! р,р' мая )» — »1) = ~» — »г~, если )»1) = )»БЬ и окружность )» — »1! = ф+ )»1)з, если гя = со. 1 69 1 е»гг — и з/2с 74 /2с- 1 г/2ез !4 г/2е-з 174 1.60. хг; г — 1)1 1.61.
ез, 1; е', — 3; ез,4 — 2л; е з,2л — 4; а,гз — л,еслизз)0, о — 47 и х+ гг, если гр ( О; 1, -аг, если )зз) ( л, и л, если (Зз) = гг; 2яп —; 2 а -г- г9 -г- л о+ 47 — Зл , если а+13( л, и , если о -Л 13 > л. 2 2 (и -г- !)х их !и -г- 1)х их яп СОЗ вЂ” Зг П 2 2 2) 2 2 3) яп2их 4) яп пх Бги— Б!п— 2Б!пх ' япх 2 2 !и -г- ! )х их (и+ !)х их яп, соз— СОЗ Б1П— 5) , если и — нечетное число; соз— соз— 2 2 если и -- четное число. и+! и -~- ! Бса 6 яп — гз 1.63. 1) соз (а+ — ); 2) 2 яп )а+ — ). яп— яп— 2 2 1.67. 1) яп» = яп гх -г-гу) = япхсЬу -г- гсозхзЬ у, гг - .
г„— гг *гг,~. ~-,~й „3*; .згизт —: —, 3) гб» =, ',, )464 = соз 2х -г- сь 2у спз 2х + сЬ 2у с.г.-.г* - ° г- °, гг.~-,ггг +.Рг,: гг .г. = г* - Бг г, гг4 =,Бг' -+ .*г! * ° гя б) »Ь» = сЛ2х+соз29 ' сЛ2»+соз2у яп4 — гБЛ2 $-з- !51 1.66. 1) соз2сЬ1 — зяп2БЬ1; 2) гБЬ2; 3) „; 4) 2(созг 2+ БЬ !) !7 БЬ4 — гяп2 40-';91 сЛ 4 — соз 2 41 1.69. 1ше' = О, если 11п» = йл; Кее* = О, если 1гп» = 1274+ 1)гг/2; 1ш соз» = О, если Ке» = йл или 1ш» = О; Ке соз» = », если Ке» = !2й+ +1)гг/2; 1пг зш» = О, если Ке» = 121+1)гг/2 или 1ш» = О, Ве яп» = О, если Ке» = йл; 1шзб» = О, если 1ш» = О; Ке!6» = О, если Ке» = йл/2; 1пг сЬ» = О, если 1пг» = йл или Ве» = О; Ке сЬ» = О, если 1пг» = 12)г + 1) л/2; 1пзсзЬ» = О, если 1ш» = 7гл/2; ВесзЬ» = О, если Ве» = О, Везде )г — целое число !й = О, я1, х2, ...).
1.70. 1) Ке» = — -г- —; 2) 1пг» = — + —. 4 2 4 2 293 Ответы и решения 1.Т1. 1) !п4+ 2)сггс, (2й+ 1)лс, зс; 2) (2й+ -/слс, —; 3) (2й ш -)слс; 11 . лс / 11 г' 31. ! Г 31. 4) — !п13+ (2йл — агсгб-)14, — !п13+ [(2й+ 1)л — эхо!8 — ~ г, 2/ ' 2 2] 1.72. Множество значений 2 Вп з составляет лишь часть множества значений !п (х') (см. (1, гл. 111, п. 19]).
1.73. 1) 4з-! 2) — 2сг; 3) О; 4) 4гг. 1.74. 1) соз(2йь/2 л) + г'е(п(2йт/2 л); 2) 2~(сов(2й+ 1)лх/2+ сзш (2й+ 1)лг/2]; 3) е'" (соа(п2+сяп!п2); 4) е "', 5) еп" Ог!; 6) ег ""/с'; ч'2 7) бг""гнгги '[соз (!п5 — агсгб — ) + !а!п (!пб — агсгб — )]; 8) — 5е'"'сс гцы ьс ! ![соз (!п5 — асс!8 — ) + сяп (!п5 — агссб — )].
Везде й — целое число (Гс = О, ш1, ш2, ...) 1.76. Множества значений аг" и (а )' совпадают между собой, но не совпадают, вообще говоря, с множеством значений (а ); общий случай, когда показатель степени 2 заменен произвольным комплексным показателем,З, рассмотрен в [1, гл. П1, и. 20]. 1.80. 1) !шАгссозх = 1шАгсзшх = О, если — действительное число и ]х] ( 1; 1ш Асс!8 х = О, если х — действительное число; 2) Ве Ага)г х = О, если х -- чисто мнимое число и ]х] ( 1.
1.81. 1) — +2йз, — +2йл; 2) 2йсгя —; 3) 2йляс!п(2+т/3); б б 3 4) 2йл — с(и(х/2 — 1), (2й+ 1)л — с!п(ь/2+ 1); 5) — ![асс!8 — + (21+ 1)л~ 4- — !п 5; 2! 2 4 6) !п(ь/5 ш 2) + (2й я — )ггг; 7) — !п5-!- [-зхсг82 4- (й я -)л]г. Всюду й — целое число (й.= О, ш1,*2, ...). 1.82. 1) з = — +2йл — г!п(т/2~1); 2) з = — +2йл — с!п Зй ьг7 4 ' 4 чг2 л ъ'3 — 1 Зл Л+1 3) х = — + 2йл — с'!п 4 ч2 4 и з — „. — — + 2йгг — г!п ъ'2 4) з = 2Ьп'; 5) х = — !п2+ (2й+1)лГ; 6) х = (2!с + — )лс и х = — !п 3+ (2й — — ) лс1 2г / ~ 2! Всюду й — целое число. 1.83. 1) з = йгг(1 ~ с); 2) х = йз.(1 4- г) и з =; 3) х = (2й -1-1)л (4й+ 1)л 1 -1- с ' 2(1 -1- 2с) (4й — 1)л их= , Всюду й — целое число. 2(1 — 2с) 1.96.
Сходится абсолютно. 1.96. Сходится абсолютна. 1.97. Расходитсн. 1.98. Сходится неабсолютно. 1.99. Сходится неабсолютно при ег ф 2йл (й = О, й1, ш2, ...), расходится ири 37 = 2йл. 1.100. Сходится абсолютно. 1.101. Расходится. Глава 1 209 1.102. Сходится абсолютно. 1.103. Расходится. 1.104. Сходитсн абсолютна. 1.105. 1)»=Он»=2; 2)» = О, » = 1/гл, » = 1/и — (га и и — любые целые числа); 3) все точки плоскости; 4) все точки круга (»! ( 1. 1.107. 2) Когда 1нп»„равен О или сю. 1.109. Отрезок прямой: х = 1, — 2 ( у ( О. 1.110.
Парабола у = х, 1.111. Пважды пробегаемая правая половина параболы у = х 1.112. Левая полуокружность радиуса а с центром в точке» = О. 1.113. Ветвь гиперболы у = 1/х, лежащая в третьем квадранте. 1.114. 1) Верхняя полуокружвость радиуса 1 с центром в точке» = О; 2) четверть окружности радиуса 1 с центром в тачке» = О, лежащая в первом квадранте.
1.115. 1) Циклоида: х = а(1 — гйп Г), у = а(1 — соэ»); 2) перван (считая от начала координат) дуга удлиненной (а < Ь), укороченной (а > Ь) или обыкновенной (а = Ь) циклоиды: х = ໠— Ьыпй у = а — Ьсоэй 1.116. 1) Образами прямых х = С являются при С ф О параболы и = = С" — а»/(4С»), при С = О полуось и = О, и ( О; образами прнмых у = С являются при С ф О параболы и = о»/(4С ) — С", при С = О полуось о = О, и ) О; образом прямой у = х является полуось и = О, х ) О; образами окружностей )») = Л нвляются окружности ~ н~) = /1; образами лучей атб» = = а — лучи агб ю = 2а; взаимно однозначна отображаются прямые х = С, у = С при С ~ О и лучи агб» = и, 2) прообразами прнмых и = С являются гиперболы х — у = С (при С = Π— пара прямых), прообразами прямых е = С вЂ” гиперболы ху = С/2 (при С = Π— пара прямых).
1.117. 1) Образами прямых х = С являются окружности и» + и» вЂ” и/С = = О, при С = Π— ось и = О; образами прнмых у = С являются окружности и + о + и/С = О, при С = Π— ось о = О; образами окружностей )»( = = й нвляются окружности ~ж) = 1/В; образамн лучей агй» = а являются лучи агй» = — сц образом окружности (» — !( = 1 нвляется прямая и = 1/2; 2) прообразами прнмых и = С являются окружности х + у' — х/С = О, при С = Π— ось х = О; прообразами прямых у = С лвллютсл окружности ха+ у»+ — = О, при С = О -- ось у = О, у С 1.118. Функция га = » + 1/» отображает окружности ф = /2 ~ 1 на зли» „» липсы ° + = 1, а окружность (»( = 1 на отрезок о = (о+ 1/ДР (й 1/о)» = О, — 2 ( и ( 2; функция щ = » — 1/» отображает окружности (»( = Я ~ 1 „» Э яа эллипсы + (й — 1/й]» (й + 1/Я)» = 1, а окружность ф ж 1 на отре- заки=О,-2(и(2.
14 Л.И. Вольовыский и др. 210 Ответи и решения 1.119. Прообразом семейства и= С является семейство х(х + у + 1) = Ркс. 59 = С(х + у ); прообразам семейстна и = С вЂ” семейство у(х + уз — 1) = = С(х'+ уз) (ряс. 59). 1.120. В луч, идущий по отрицательной части действительной оси из точки ш = -1/4 в точку ш = со. 1.121. 1) Окружности р = е~, лучи д = С, спираль р = е~; 2) линии у = е* + 26я.
1.122. 1) Семейство прямых х = С преобразуется в семейство и = — 4а~(и — а + 1/4) ( параболы с фокусом в точке ш = — 1/4, а = С+ 1/2), в которое входит также луч, идущий из тачки и = — 1/4 по отрицательной части действительной оси (а = 0); семейство у = С преобразуется в семейство софокусных парабол оз = 4С (и+С + 1/4) в которое входит также луч, идущий из точки ш — — — 1/4 по действительной оси а положительную сторону; 2) семейство х = С преобразуется в семейство окружностей Аполлония относительно тачек ш = — 1 и ш = 1 (включающее и мнимую ось); уравнение семейство окружностей Аполлония; (и — а) + оз = а — 1; (а( > 1 (а = с162С); семейство у = С преобразуется в пучок дуг окружностей с концами н точках ш = — 1 и ш = 1, включающий и соответствующие части действительной оси; уравнение пучка окружностей: из+ (и+ Ь)з = 1+ Ь (6 = сей 2С); 3) семейство х = С преобразуется в семейство спиралей р =е л д"а ~, причем оси х = Осоответствует отрезок9= 0, О < р(1; се- 21! Глава 1 агг!!с!!-сз мейство у = С преобразуется в семейство спиралей р = е ! !, причем оси у = 0 соответствует луч у = О, 1 < р < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
