1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 41
Текст из файла (страница 41)
4.55. а = 1/(йгг) (й = й1, ~2, ...) — существенно особые точки; л = О— точка, предельная для существенно особых точек; л = со — существенно особаи точка. 238 Ошеешы и решения 4.56. л ш г ((с = О, ж1, ж2, ...) — существенно особые точки; з = (2Ь+ Цл = 0 — точка, предельнан для существенно особых точек; з = оо — правильная точка. 4.57. з = 1/(/сл) (/г = ж1, ж2, ...) — существенно особые точки; з = 0— точка, предельная для существенно особых точек; з = оо — существенно особая точка.
2 4.58. л = (/с = О, ж1, ж2, ...) — существенно особые точки; з = (2Л ж 1)я = 0 — точка, предельная для существенно особых точек; з = оо — правильная точка. 4.59. Для одной ветви пранильная точка, для другой — полюс 1-го порядка. 4.60. Длн одаой ветви полюс 1-го порядка, для остальных пяти ветвей правильная точка. 4.61. Для одной ветви правильная точка, для другой — полюс 2-го порндка.
4.62. Для одной ветви правильнан точка, для другой — существенно особая точка. 4.63. Для обеих ветвей полюс 1-го порядка. 4,64. з = (1 -> 1/()сл)) — правильная точка для одной петви и полюс 1-го порядка для другой; з = 1 — правильная точка для одной ветви и неизолированная особая точка, предельная для полюсов, для другой ветви. 4.65.
Каждая из заданных точек — правильная для одной ветви и полюс 1-го порядка для другой. 4.66. Правильная точка для одной ветни и существенно особая точка для другой. 4.67. 1) Для нсех ветвей полюс 1-го порядка; 2) для одного бесконечного множества ветвей правильная точка, для остального бесконечного множества ветвей полюс 1-го порядка. 4.68.
Для одного бесконечного множества ветвей правильная точка, для остального бесконечного множества ветвей существенно особая точка. 4.69. 1) Точка з = оо — полюс порядка к = гпах (я, т), если и ф т; если же я = т, то з = оо — либо полюс порядка Й ( (п, либо правильная точка; 2) полюс порядка я — пз, если я ) т, и правильная точка, если н ( нн если в ( яз, то з = оо — нуль порядка т — н; 3) полюс порядка н+ яь 4.71. Примеры: 1) з-; 2) 1/з'+з; 3) 1/з" — 1. 4. 72.
1) — (а ~ О) или аз + б (а ~ 0); з — а 2) (а ЗЕ О) или аз+ а>з+ ... +а„з" (а„ф О); 3) —, + С; (з — а)" зз 'Ц ~ + (а ~Оа~~~О); 3" 5) аа + а~г -~- ... -~- а„з" (сзь зе си при к ф 1 и па крайней мере од(а — а1)(з — ол)...(з — а„) ее + аул+,.. Е а„л" но из чисел а отлично от нуля) или " " (а„за О, (л — а~)(л — оз)...(л — а -а) аь ~ пч ври й;а!). 4.74. 1) за — устранимая особая точка; 2) хо — полюс порядка п, если 1о(л) однолистна в окрестности точки зм и полюс порядка пт, если х(х) т-листка в окрестности этой точки; 3) за — существенно особая точка. 4.75.
1) Точка з," — полюс порпдка и, если 7' — прямолинейный отрезок, и правильная точка кратности п, если ч' — дуга окружности, т. е. /(х) — /(зо) = (з — зл)" У(х), где 1с(з) аналитична в окРестности точки з," и у(зе ) ,-а О. Если лс = оо, то это условие записывается в виде /(з) — /(оо) = з "х(з), где 1о(л) аналитична на оо н у(оо) ~ 0; 2) хс— существенно особая точка. 4.77. 1) — 1; 2) 0; 3) 0; 4) О. 4.78.
1) Существенна особая точка х = оо; исключительное значение 0 (и со); с* -+ О, если х -+ — оо (е* -+ оо, если х — > -Ьоо); 2) существенно особая точка л = 0; исключительное значение 0 (и со); ем' -+ О, если х -~ О, вапример, вдоль пути р = О, х ( 0 (ем* -+ оо при х -+ 0 вдоль пути р = О, х > 0); 3) существенно особвя точка л = 0; исключительных значений нет (не считая со); сов(1/з) — э со при х = О, р -+ О; 4) существенна особая точка з = сю; исключительные значения 1 и — 1. 4.79. тев [/(з)],=а~ = -1/2; сев [/(л)! =о = 1; тев [/(з)], ~ = О.
4.80. тев [/(з)],=; = — 1/4; тев [/(х)],=; = 1/4; гев [/(л)], ~ О. 4.81. гев [/(з)],=-~ = ( — 1)"+,; сев[/(х)],=„= ( ( ) (2п)! (и — 1) Ф(п,— 1). ' 4.82. гев[/(з)].=е =1; сев[/(х)]*=~з = — 1/2; сев[/(х)], =О. 4.83. тев [/(з)]*=о = 0; тев [/(х)],=~ = 1; тев фх)],=, = -1. 4.84 сев[/(л)], ~ = 2вш2; сев[/(з)], ~ = — 2в1п2. 4.85. гев [/(з)]*=о = 1/9, гев [/(л)],=з, = — 1/64(ми 3 — асов 3); сев [/(х)] =-з = — 1/54(вшЗ+1совЗ); алев[/(з)].=~ = 1/27(в1п3 — 3). 4.86.
гев [/(х)], Иьеи лз — — — 1 (/с = О, х1, х2, ...). 4.87. сев[/(з)]„л = ( — 1)ь (1с = О, х1,х2,...). 4.88. гев [/(л)]. ь = 0 (х = О, х1, ш2, ...). 4.89. гев[/(з)],=ь = -1 (я = О,х1,ш2,...). 4.90. 1) гев [/(з)],=з = сев [/(х)]*= = О; 2) сев [/(х)]*=г = -тев [5(з)],=~ = — 143/24. 4.91. тев [/(л)]*=а = -сев [/(х)],= 1 =о 4.92. сев [/(з)]*=а = гев[/(л)].= ь = О. 4.93. сев[/(х)],= ~ = -сев[/(л)],= = — сов1. 240 Ответы и ресиениа 494. г'в[Пл)]с=-з = — гевУ(з)] = = — я!н2 У 4г 4г" ы + с- (2п — 1)!(2п)! с (2п)!(2п+ 1)!1 4.95.
гев [У(з)]*=с = 1/2! гев [1(з)], гл„ссл = —, ()с = т1, т2, ...). 1 2Ьг! 4.96. гея[У(з)] =с = О, если п ( О, а также если п > 0 нечетное; гея[1(з)]„с =, если и = 0 или п > Π— четное; гея[1(г)],=„= (- )ти (и+ 1)! ' = -сея[У(з)]с=с 4.97. гея [1(з)],ы~дл ! — — ( — 1)лы —, (й = ~1, ~2, ...); тел [1(з)],.=с, = лс! 2 (-1)' 4 98. сея[1(г)]с лг г = (-1)л2кглг (!с = 1,2, ...). 4.99. тел [1(г)], с = О, если и нечетное; 2гл(2гл ц гев[г(г)],=с = (-1)л+' Вгл, если п = 21 (к = 0,1,2,...), где (2!с)! Всл — числа Бернулли (см. задачу 3.100); гея[с(г)] с с = — (1 = 0,~1,х2,...). =(лыса) (Л+ !/2)"х 4.100.
1; -1. 4.101. О; 2. 4.102. -2е'л"", если ~/1 = 1 и Ьн1 = 2!схс'; О для ветвей, определнемых значением ~/Т = -1. 4.103. т(а — Ь)~/8. 4.104. 1) а — Г! (длн всех ветвей); 2) е — ея (длл всех ветвей). 1 1 4.105. 1) 2)слс+ — — — + ..., если 1 и 1 = 2!схс; 2 3! 4 5! 1 ! 1 2) — — + — — + ... (длн всех ветвей). 2! 3 4! 5 6! 4.100. ген [!(з)]с=с = Ьг, если Агс180 = Ьг! гея [1(г)],=; =— (2л+ !)сг 2 (21 4 1)х если Агсгйсо = 2 4.107. гея [1(з)], с = О, если п > О, гев [1(з)]с=с = Ьн —, если и = — 1, и д' тел [У(г)]*=с = — (а" ' — Р"+'), если п < — 2; гея [1(з)],=. = — (а" ив а+1 и+ ! — )1"~'), если п > О; тел[1(з)],=~ = — 2)схс, если п = — 1 и Еп1 = 2)снс, и гев [У(з)],= = О, если п < — 2.
4.108. — 2ссс!. 4.109. 1) А!с(а)! 2) с-сУ( ) + + + ц " (л — ц! 4,110. 1) п; 2) — п. 4.111. 1) пср(а)! 2) пяс(а). Глава /Ьг 241 4.112. —. 4.113. АВ. 4.114. ~з ( — 1)" Згг(а)' ' ' ' из» » г 4.115. -лг/з/2. 4.116. — 2ггг. 4.11Т, — лг/121. 4.118.
зч'. 4.119. — 2лг/9. 4.120. 1. 4.121. О, 4.122. 2»п~/(и+ 1)!, если и > — 1, и О, если и < -1. 4.123. 32лг. 4.124. О. 4.125. д(б) азд'(аз) 4.12Т. О, если г < 1; я1, если г > 1 (знак зависит от выбора ветпи подынтегральной функции). /е 4.128. — т/1+ чг2. 4.129.. 4.130.. 4.131. 4 л(!ба) 1 4е згаз — 1 4.132. 2ла, 4.133 (2а+ 6)л (аг — Ьз)з/з [а(а + 6))з/з 2л 2гг 4.134., если [а[ < 1;, если [а[ > 1; О (главное значение), аг' аг — 1 если [а[ = 1, а ф и1 (при а = *1 главное значение не сугцествует).
л(а -~-1) л(аз 4 1) гг 1 — а ге 4.135., если [а[ < 1;,, если [а[ > 1, — (главное 1 — аг аз(аз — 1) 2 аз(аг — 1) значение), если [а[ = 1, а ф я1 (при а = и1 главное значение не супгествует). 2л 4 136. —,, если и > О; О, если и < О. 4.137. л4ьббп о (при а = О главное значение интеграла равно О). 4.138. — 2лгзгбп1пга. 4.140. — л/27. 4.141.
и/(4а). 1 3 Ь...(2» — 3) гг л 4 142. "' —, если и > 1; —, если и = 1. 2 4 б...(2» — 2) 2' ' 2' 4.143.. 4.144. —. 4.145.. 4.146.— а6(а+ Ь) 2 из!п(л/и) и згп(гг/и) ( — 1)з г л л 4.148.. 4.149. 1) — (сов 1 — 3 яп 1); 2) — (3 сов 1+ яп 1). (2г5 — з)ь Зез ' Зез 4.150. — (2 сов 2+ яп2). 4.151.. 4.152. — е 'Ь.
2е" 2Ь 2 4 154. ггг, если Ь > 0; О, если Ь = О; — ггг, если Ь < О. 4.155. л(2яп2 — Зяпб). 4.156. — ( соз1 — — „~. гг / 11 ' 6(, ез/ 4 157. — згп [Ь[ -1- е ~Нот/~ ~ яп ~ — + ~/3 со» -~ 'з~ (2[ 2 4.158. — [е ~Н вЂ” яп[Ь[]. 4.159. лг е 'з — — 11. 4.160. — (1 — е Ь). 4 2/' ' 264 4.161.
— [2 — (2+ аЬ)е 'ь[. 4.162. л(Ь вЂ” а). 4.163. —. 4.164. —. 464 2 б 1б Л.И. Иолковысккй н др. 242 Ошеетм и решения 4.165. 1) ) (; 2) /; для того чтобы убедиться в ав ав справедливости ответе для — 1 < р < О, достаточно заметить, что интеграл прн этих значениях р сходится, а функция, стоящая в ответе, аналитическая.
4.166. -Г!Л-Е! соя —. 4.16Т. — Гн гОп —. р рЕ 2р р гр/ 2р 4.168. — Гн соя — (1при р = 1 интеграл равен -Е!. р — 1 1р/ 2р 2/ 4.170.. 4.172. я!и рл 2 соя(ггр/2) гг(1 — р) !Л 4.173. ~при р = 1 интеграл равен -Е!. 4 сов(ггр/2) в 2) 4.174. — —, если Л р'- О, и —, если Л = О. я!и рЛ Р11 ягпрл я!пЛ ' я! и ргг 4.176.
О. 4.177. л/4. 4.178. лсс8яр. 4.179. лсвбргг. 4.180.. 4.181. — (2вг~ соя — — 1). 22 ля!прл я1прл 4 4.182. ~22(1 — — ) — 1]. 4.183. —.11 — ~ — ) ]. 4.184.— рл ап ' л Г' . ргг рл Л лъ'4 4.185. — ~ягп — сов — — 1)!. 4.186. вгпрл (1+ а)вгг я!прл '1 2 2 Е ъ'3 4.187. Если а не принадлежит интервалу ( — 1, 1), то Е =— где в/ав — 1 > 0 при а > 1 (в плоскости с разрезом по отрезку ( — 1, Ц величина в/ав — 1 однозначна); при а = ~е'и Е = ~ ец "Е 212ягпо при а = ву Е =, г58п у; при — 1 < а < 1 Е = 0 (главное значение). ъ/!+у 4.188.
Если Ь не принадлежит интервалу (0,1), то Е = — Ьв '(Ь— я! и ргг — 1) в, где (Ь вЂ” 1) ">О, Ьл '>О при Ь>1; если 0<Ь<1, тоЕ= = — лЬП '(1 — Ь) 'ся8рл (главное значение). 4.189.. 4.190. — (па. 4.191. — (гг + 4!ива). пил(гг/о) 2а ва л Е3 Згг Л 4.192. ( — !и а — 1 — — Е!. 2ав г/2а 2 4 4.193. — 1г. 4.194. — !и 2. 4.195. — !и'— 4 2 1+а 4.197. 1) + — (1при а = 1 Е = — Е!; 2) 1 ! Е 11, 11 1 1 — а !па 1 2 2а(!пва 4-лв/4) 1-!-ав 2п 4.198. ! Е ~~( цв 21+ ! 2о+1 !2а а !пяа+(1+1/2)вля !+ав) в=в 2 — 1 4.199.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
