1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8.31. Над з = 1 два алгебраических элемента: х = 1+ Сс, в = вС!/2(1— — с/2)'/с = вс!/2(1 — с/4+ ...), )с( < 2; над х = 5 один алгебраический эле- мент: э = 5 + Сс, ю = (с/2)(1 — Сс/32 + ...), )С! < 2, и два правильных элемен- та! л = 5 + с, в = в21(1 + сс/32 + ...), (с( < 4; над х = оо один алгебраический элемент; з = С ', в = 1/С вЂ” С + ..., О < (С( < ф/5. 8.32.
Нэд з = 1 два алгебраических элемента: з = 1+ С', ю = в(1 + + с)с/2 = М1+ с/2 — ...), )Ц < 1. 8.33. Над г = 1 три алгебраических элемента: з = 1-г С~; в = ва(1+ +С/3+ ...), ф < 1, где ач =1, всл = енс !/з. Над «= 2 один алгебраический элемент; х = 2 + Сс, ю = — (С/!з/22)(1 — сс/12 + ...), ф < 1 и три правильных элемента: а = 2 + С ю = в!!/2(1+ С/12+ ...), ф < 1. Над з = со один алгебраический элемент: х = С с, ю = 1/!+ С!/3+ ..., О < <)с~ < Ф/ 8.34. Над э = оо два алгебраических элемента: х = С ', в = в-(1 — аС) (1 — ЬС) = в — ~1 — — С+ .../, 0 < )С! < псш 1 с/! с/с 1 / а + Ь /1 11 с СХ 2 "'/' /а/ /ь/ 8.35.
з = 0 — существенно особан точка, двузначная: з = Сс, в = = е'/' = 1+ 1/С + 1/(г!Сс) +, О < Щ < о . 8.36. Над з = 0 алгебраический элемент; з = Сс, ю = зшС/Сс = 1/С!в — 1/(3! С) + С/5! — ..., 0 < Щ < оо. 8.37. Над з = 0 алгебраический элемент: з = С!. ю = ссб с = 1/С вЂ” С/3 + ..., 0<(С(<э. 8.38. Над з = 0 алгебраический элемент: з = С, ю = С(1 — С'/12+ ...), !с! <,/я. 8.39. Над л = 1 — одна трансцендентная точка ветвления 1-го порядка; над з = со одна а.т.в.
1-го порядка. Глава У!11 259 8.40. Над л = О и л = со — по одной а.т.в. 1-гп пврядка; над л = 1— одна правильная точка и одна существенно особая точка однозначного характера. 8.41. Над л = О и л = оо — по одной а.т.в. 1-го порядка; над каждой из точек л = (1+ 1/(ля)) (Й = ш1, ш2, ...) по одной правильной точке и по одному полюсу 1-го порядка; над л = 1 — одна правильная точка и одна неизолированная особая точка однозначного характера (предельная для полюсов). 8.42. Над л = Π— одна а.т.в. 1-го порядка; над каждой из точек л = й~л' (1с = ш1, ш2, ...) по два полюсе 1-го порядка; над л = со адил неизолированная точка ветвлении (пределызая для полюсов).
8.43. Над каждой из точек л = О, л = 2 — по шесть а.т.в. 1-го порядка; иад л = 1 две а.т.в. 2-го порядка и шесть правильных точек; над з = со две а.т.в. 5-го порядка. 8.44. Над каждой из точек л = 1, л = -1 — бесконечное множество полюсов 1-го порядка; над л = О и л = са по одной л.т.в.
8.4б. Над х = 1 — бесконечное множество правильных точек и бесконечное множество полюсов 1-го порядка; над л = О и з = оо по одной л.т.в. 8.46. ш = 1/4, ш = оо — а.т.в. 1-го порядка. 8.47. ш = ш2 — а.т.в. 1-порядка; ш = со — а.т.в. 2-го порядка. 8.48. ш = 1/4, ш = оз — а.т.в. 1-го порядка. 8.40. ш = О, ш = со — а.т.в. 1-го порядка. 8.80. ш = е~' /2 (а = сова) — а.т.в. 1-го порядка. 8.81. ш = оо — а.т.в, (и — 1)-го порядка. Каждому нулю производной ш'(л) порядка 7с соответствует а.т.в.
функции л(ш) того же порядка. 8.52. Нулям производной ш'(л) соответствуют а.т.в. такие же, как в предыдущем случае. Полюсам функции ш(л), порядок которых больше еди- Рпс. 72 17' Отеежы и решения 260 ницы, соответствуют а.т.в. порядка на единицу меньше порядка полюса. Если на ос функция ю(з) =юе+ с ь/з" + ... (/с > 1), то з = со соответствует а.т.в. (/с — 1)-го порядка над ю = юе. 8.53. Поверхность для з(ю) та же, что для (/ю; ее точки ветвления лежат над ю = О, ю = со и соответствуют з = -н, з = оо.
Листам ю-плоскости с разрезами О < и < оо, о = О соответствуют углы 2н/я с вершиной в точке з = -я. При и -з оо эти углы превращаются в горизонтальные полосы шириной 2з., функция ю(з) — в е', поверхность для л(ю) — в поверхность для Ьпю. 8.54. Поверхность для з(ю) та же, что длн (/ю. Листам ю-плоскости с разрезами — со < и < О, о = О соответствуют круговые двуугольники с углеми 2х/н в точках з = а, з = 6 (рис.
72, где я = 3)"). 8.55. Поверхность для з(ю) получаетсн склеиванием двух листов ю-плоскости с разрезами ]и] < 1, о = О, соответствующих областям ]з] < < 1 н ]з] > 1. Точки ветвления лежат над ю = ш1 и соответствуют л = = ю1. Полярной сетке ]з] = г. агбз = ~р соответствуют эллипсы и гиперпг л „з болы с фокусами ж1; + =1; — — =1. (1/2(г + 1/г)]з (1/2(г — 1/г)]з ' созе и зшз И 8.58. ю(з) = з = з + 2з + Ззз + ... — известная экстремальная з (1 — з)з функция в теории однолистных конформных отображений (см.
(4, гл. Х111, 2 1]). Она отображает единичный круг ]з] < 1 на ю-плоскость с разрезом — оо < и < — 1/4, о = О. Поверхность з(ю) получается склеиванием двух таких листов. 8.57. Поверхность для «(ю) получаетсн последовательным склеиванием 2я листов ю-плоскости с разрезами 1 < ]и] < оо, с = О. Она имеет 2н точек ветвления 1-го порядка над ю = ю1 и 2 точки ветвления (и — 1)-го порядка О 1 Гг Рас.
73 над ю = оо. Основное отображение показано на рис. 73. Функция ю(з) автоморфна (инвариантна) относительно группы линейных преобразований, порождаемой преобразованиями Т = юз(ю = с~юг"), я = 1/з. Этим преобразованиям соответствуют преобразования поверхности для з(ю) в себя, ) Нз рисунках к задачам етой главы соответствующие друг другу точки обозначены одинакоеымн буквами. Лля бесконечно удаленных точек использованы, кек правило, обозначения О и й' Глава Р111 при которых листы циклически переходят друг в друга с сохРанением проекций точек на «е-плоскость. 8.58.
Поверхность длп «(«и) 2и-листна, с точкой ветвления (2и — 1)-го порядка над и = О, соответствующей « = оо, и с 2и точками ветвления 1-га порядка, из которых и расположены над и = -со и соответствуют л $/ точкам «л = е '/"м~ (ы = е "'/", л = О, 1,2, ..., и — 1), а и — над точке/2и — 11 ми вь — — ~ ! «ь и соответствуют точкам «ь —— ~ ы . Основное 2и ! ® й (2) о В О (1) «~ (2) й Ркс. 74 О чд11 А /АР /М е-2 5А О 1 Ркс. 75 вано на рис. 75. Кругу )«( ( 1 соответствует внутренность зпициклоиды (для и = 2 — кардиоиды). 8.60. Поверхность для «(«е) (и + 1)-листна, с точкой ветвления (и— -1)-го порядка над ш = оо, соответствующей « = со, и и+ 1 тачками ветвленин 1-го порядка, расположенными над «еь = «ь(1+ 1!и) и соответствующими «ь =ы~ (ы = е~ы/("ы~, /« = О, 1, ..., и).
Основное отображение показано отображение показана на рис. 74. Остальное получается продолжением по принципу симметрии. 8.59. Поверхность для «(«е) и-листна, с точкой ветвления (и — 1)-го порядка над ж = оо, соответствующей « = со, и и — 1 точками ветвления 1-го порядка, расположенными нед жь = «ь(1 — 1/и) и соответствующими «ь = = ы" (и = еьи/М и, й = О, 1, ..., и — 2) . )(ля построения поверхности нужно к ее нулевому листу (ю-плоскость с и — 1 лучевыми разрезами, выходящими из жь) приклеить вдоль каждого разреза, крест-накрест, по одному листу (ю-плоскость с одним лучевым разрезом).
Основное отображение пока- Ответы и решения 262 на рис. 76. Области («~ < 1 соответствует внешность гипоциклоиды (для и = = 1 — отрезка). 6.61. Поверхность для «(ш) и-листна, с точкой ветвления (и — 1)-го порядке над в = оо, соответствующей « = са, и и — 1 точками ветвления 1-го порядка, расположенными над юь = ( — 1)"/2" ' и соответствующими «ь = Я ма (2) д ,ХГ 2Я (1) «а(2) Й (4), (3) Рнс.
76 = саз(лп/и) (й = 1, 2, ..., и — 1), Для построения поверхности нужно к нулевому ее листу (м — плоскость с разрезом — са < и < — 1/2" ', о = О ) приклеить последовательно и — 2 листа с днумя разрезами 1/2" ' < ~и~ < сю, а = О, затем к последнему из них приклеить еще лист, имеющий разрез — аа < < и < -1/2" ', в=О, если и — четное число, и разрез 1/2" ' < и < ао, в = О, если и — нечетное число. При отображении ш(«) эллипсы и гиперболы с фокусами ж1 переходят в зллипсы и гиперболы с фокусами ж1/2" '. Изменение полуосей получается из соотношений « = сопят, ш = сапам На рис. 77 Рис.
77 показано разбиение «-плоскости на области, соответствующие полуплоскости о > О и и < О (первые заштрихованы) для и =5. 2бз Глава 71П 8.62. ш = О, ю = со — л.т.в., ю = 1 — полюс 1-го порядка для одной из ветвей функции «(ш). 8.63. Функция «(ю) имеет па одной а.т.в. 1-го порядка нал ш = е ' и вм по две л.т.в. нвд ш = О и ю = со. Ее римвнова поверхность получвется путем склеивания двух зкземпляроа римановой поверхности функции Ьп ю вдоль рвзреза, проведенного нв них над дугой, соединяющей на ш-плоскости точ- кпп ки ш = е~ 8.64.Функция «(ш) имеет над ю = ю /2 бесконечное множество а.т.в. 1-го порядка и над ю = со две л.т.в. 8.65. Функция «(ю) имеет по одной а.т.в.
1-го порядка над точками юл = ап«е/«л («« — корни уревнения !8« = «; они все действительные), две л.т.в. над ю = оо и косвенно критическую особенность над ш = О, предельную для указанных а т.в, (см«Нева или ни а Р. Однозначные аналитические функции.— М.: Госте«издат, 1941.— и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
