1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 46
Текст из файла (страница 46)
238). 8.66. « = Агссозю = 1/! !и (ю + ь/юз — 1). Поверхность для «(ю) бесконечнолистна, с двумя л.т.в. над ю = оо и а.т.в. 1-га порядка нед ю = ю1, соответствующими « = Ья (Ь = О, ю1, ю2,,); получается склеиванием бесконечного числа ш-плоскостей с разрезами 1 < (к~ < оо, о = О, (2') я й (2) Рис. 78 которым соответствуют вертикальные полосы Йя < х < (Й+ 1)т (рис. 78). 8.67. « = Агсзщ ш = я/2 — Агссозю. Поверхность длн «(ю) та же, что для Агссоз ш. 1 ! — ш 8.68.
« = Агс!8 ю = — Ьп —. Поверхность для «(ш) бесконечнолистна, 2г !.1-ю с двумя л.т.в. кад ю = юй получается склеиванием бесконечного числа ш-плоскостей с разрезом и = О, )и) < 1, соответствующих вертикальным полосам йя < х < (!г+1)я (рис. 79). 8.69. « = Агсс«бш = я/2 — А«с!8 ю. Поверхность для «(ю) та же, что для Агс!8ш. 8.70. « = АгсЬш =1п(ш+ т/шз — 1); сЬ« = сов!«. Поверхность для «(ш) тв же, что для Агссозш. 8.71.
« = АгвЬш =!п(ш+ з/ш«+ 1); лЬ« = — !в!п!«. Поверхность для «(ю) получается из предыдущей поворотом на я/2 вокруг нвчвлв координат. Ответы и решения 8.72. л = АггЬ иг = 1/2 1 и ((1 + ш)/(1 — ш)); 1Ь з = -г г8 ге. Поверхность для л(ш) получвется из поверхности для Агсгб ш поворотом нв я/2 вокруг начала координат. 8 73. з=АгссЬш=1/2Ьп((ш+ 1)/(ш — 1)); сгЬл=гсгбгю Поверхность для л(ш) та же, что для АггЬ ш 8.74. Поверхность для л(ш) строится тзк: не ш-плоскости проводим Оя Рис.
79 горизонтальные разрезы — сю < и < 1, о = (2й+)я, (й = О, ш1,ш2, ...) и вдоль каждого из них приклеиввем по экземпляру ш-плоскости с таким же (одним) разрезом. Построение поверхности для з(ш) основано не Ош (4) у=2и о П Лl (2) А(-1.игг) (3) А(-1ч-и«) о е) А (кг) (з), (г) (Ц у=а (1) о=О Рис. ВО том, что ш(л) отобрвжеет каждую полосу 2ггя < у < (2й+ 1)я нв полосу 2)гл < о < (2)г+ 2)я, несущую ш-плоскость, приклеенную по рвзрезу — 1 < < и < оо, о = (2й+ 1)я (см. рис.
80); знак + означает, что области нужно склеить). Глава 1111 255 8.75. 1) Пусть Š— риманова поверхность, на которую функция ю = = П(с,) отображает с,-плоскость. Для построения римановой поверхности функции з(ю) нужна склеить бесконечно много экземпляров поверхности Г с разрезом по дуге, соединяющей на Р точки ю(0) и ю(со) (подобно построению риманоной поверхности функции Вп ю). Полученная риманова поверхность имеет две л.т.в. в концах дуги склеивания и бесконечно много а.т.в., принадлежащих поверхностям Е. 2) Для построения римановой поверхности функции э(ю) склеиваем бесконечно много экземпляров поверхности Е попеременно адоль разрезов, идущих из точек ю(Ы) к точке ю(оо) (подобно построению римановой поверхности функции Агсэгп ю). Полученнан риманова поверхность имеет дне л.т.в, иад ю(со) и дополнительно к а.т.н.
и. 1) имеет еше бесконечно много а.т.в. 1-го порядка в точках ю(ю1) (если ю(+1) или ю( — 1) являетсн а.т.н. порядка )с поверхности Р, то для г(и) она будет а.т.в. поридка 26+ 1). Исследование функции э(ю) можно свести и к предыдущему случаю заменой эг = гз. 8.76. Все римановы поверхности для ю(э) двулистны и имеют э.т.в. 1-го порядка над точками: 1) э=а, г=Ь; 2) э=а,э=б,з=с, э=ос; 3) э = аь и э = со, если и нечетное. Для построения поверхностей берем два листа г-плоскости с разрезами, идущими из указанных вьппе точек в со, и склеиваем их по одинаковым разрезам.
8.77. Все римановы поверхности для ю(э) трехлистны и имеют а.т.в. 2-го порядка над точками: 1)э=а,э=со; 2)э=а,х=б,э=ос; 3)э=а,л=б,э=с; 4) э = аь и з = со, если и не кратно 3. Для построения поверхностей берем три листа г-плоскости с разрезами, идущими из указанных точек а оо, на которых определяем три однозначные нетви ю, юю, югю (ю = е "Ыг). При обходе точек ветвления ю(э) приобретает множитель ю за счет одного из подкоренных множителей, поэтому юю аг Рис. 81 порядок склеивании листов по всем разрезам одинаковый, циклический (см. схему на рис.
81). 8.78. Риманова поверхность для ю(л) и-листка, с а.т.в, (и — 1)-го порядка над э = а, э = Ь, э = с, э = сю. Поверхность получаетсн склеиванием и листов з-плоскости с разрезами, идущими из точек л = а, э = 6, э = с а оо. Склеивание циклическое, одноаременное по всем разрезам. Листы соответствуют однозначным ветвям функции юью (ю = е' 'г", )с = О, 1, ..., и — 1) . 8.79. Римаиова поверхность длн ю(э) шестилистна, с а.т.в.
5-го порядка над э = оо, двумя а.т.в. 2-го порядка над каждой из точек э = а, э = 6 и тремя а.т.в. 1-го порядка над э = с. Поверхность получается склеиванием шести листов х-плоскости с разрезом по кривой, идущей из а в Ь, из Ь в с и из с в оо. Эти листы соответствуют однозначным ветвям; юг + юг, ююг+ юг, ю юг+юг, юг — юг,ююг — юг,ю юг — юг, гдею=е '1, а юг, юг— г г г !/г Ответы и решения 266 г — а однозначные ветви г и згга — с. Обход вокруг а циклически соеди- няет листы Ц, 2), 3) и 4), 5), 6), вокруг 5 — листы Ц, 3), 2) и 4), 6), 5) (соединение дважды по полулистам), вонруг с — полулисты Ц, 2), 4), 5) Ц а юге! 1-ю2 Ь ! ею!~-юг с югюг-юг 2) югюгч-юг ! !2ю!.!.юг юг'сг ь™2 8) а юг+юг Ь ыю2+юг с юю! — юг 4) а мю! — ю2 с ю2ю! 1-ю2 !'! Ю! гс2 енс! — юг """! с'2 ! ЧС,-Ю2 5) югю! "!'г югю! — юг юг-юг Ь в!ю! — юг с ююгрюг Рис.
82 [показано на рис. 82); 2), 3), 5), б): 3), Ц, 6), 4),. вокруг оо — циклически листы Ц, 6), 2); 4), 3), 5) (см. схему на рис. 82). 8.80. Риманова поверхность для ю[г) шестилистна, с двумя а.т.в. 2-го парилка над = О, одной а.т.в. 1-го порндка над г = 1 и а.т.в. з-го порядка над г = сю. Для ее построенин нужно склеить два экземпляра поверхности функции чзгг, каждый из которых имеет на одном из листов разрез по лучу р = О, 1 < з < со.
8.81. Риманона поверхность ддя ю(г) двулистна, с а.т.в. 1-го порядка над точками г =- лв (й = О, ш1, ж2, ...); над г = оо поверхность имеет трансцендентную особенность — предел а.т.в. Для построении поверхности берем два листа г-плоскости с разрезами, идушими из а.т.в, в оо [например, по лучам параллельным мнимой оси), и склеиваем листы по одинаковым разрезам. 8.82 ). Г, н Е,„ получаются каждая склеиванием двух плоскостей с разрезами [ — 1, 1] (рис.
83). 2) Н ответах к задачам 8.82-8.87 через Гю обозначены поверхности для г!ю), т. е. поверхности нвд ю-плоскостью, в через Р, — поверхности функции ю12) над з-плоскостью. Гяаеа 'г111 267 8 .83.Г. получаетсн склеиванием двух л-плоскостей с разрезами ( вЂ С ( х ( О, р = 0), à — двух ш-плоскостей с разрезами [-4/2,4/2[ [рис. 84). 8.84. Р. и Е получаются каждая склеиванием трех плоскостей, имею— 1 О 1 -1 О 1 ОО О Рис.
84 Рис. 85 о 1 Я 32 (34) в, Рнс. 85 щих в циклическом порядке разрезы по двум из отрезков [О, ~/4], [О, ы~/4[, [О,ыз~/4[, где ы = ез Мз [рис. 85). 8.85. Г, получается склеиванием двух з-плосностей с разрезами [О, 3/2), Е' — - приклеиванием к ш-плоскости с разрсзами ти [13у/3/2, -Р1со[, 7и [ — 43ъ'3/2, — гоо[ двух других щ-плоскостей с разрезом 7и соответственно уз (рис. 86). 8.86. Г„. получаетсн склеиванием двух л-плоскостей с разрезами [ — 1, Ц, Р' — склеиванием трех щ-плоскостей, имеющих соответственно один разрез [ — 1Ь, ЬЬ[, два разреза [ — а,а), [0,1Ь) и два разреза [ — а,а), [О, -4Ь), где у/5 — 1 ° ч'5 -~- 1 т а = у/ъ'5 — 2, Ь = ~'Я+2.
Отображение и три ииплоскос- 2 ' 2 ти с разрезами показаны на рис. 87 (рис, не в масштабе). 8.87. а) и нечетное. Е', п-листна, имеет о а.т.в. [и — 1)-го порядка нвд точками х =ы~ [ы = е Я", Ь = 1,2, ...,и), Е„, 2п-листка, имеет иа в,т.в. 1-го порндка, по и иад точками ш = я" "~/Т/4 [О = ез '~", и = О, 1,2, ..., я — 1), Ответы и решения 288 О 1 3 Рнс. 86 й С С вЂ” 1 О 1 © В й" В © ф~~ф ЯБВ Рас.
87 соответствующих точкам Р. над з = ц', и и а.т.в. 1-го порядка вад ш = со, соответствующих а.т.в. Е'., над з = ш~. Отображение показано на рис. 88 (для исследования использована замена С = з", В' = щ"). Функция ш(з) отображает круг )з! < 1 на о а\ ф ш-плоскость с и лучевыми А(е") разрезами, выходящими из точек ц" ~/1/4.
н В~ ) С " А б) п четное. Если и=2т, то В("./Х\ С ш(з) распадается на две функ- 14) г ции: ш~,г = ш . Для пост- С .~. зз роения Г„ берем и "полулистов" ф ( 1 и и "полулистов" Рис. 88 )з) ) 1. Обозначим их соответственно через Не и Нь", а граничные дуги, определяемые точками ш~,— через 7ы Приклеиваем к Н~~, вдоль 7ь полулисты Н~~, идель там — полулисты Нз, вдоль 7ьез — полулисты Нзе и т.
д. циклически. Этим определнется Глава Ъг!П зба и порядок склеивания Р~ из 2и листов, представляющих кг-плоскости с п лучевыми разрезами, указанными выше. 8.88. ш = зз", з = 0 и з = сю — а.т.в. 2-го порядка. 8.89. ш = з"гг ' (пг!тг — несократимая дробь, равная и/т), з = 0 и з = оо — а.т.в. (пц — 1)-го порядка. 8.90. з = 0 и з = оо — а.т.в. 1-го порядка; з = 1 — существенно особая точка длн одной из двух ветвей функции. 8.91.
ш = 1 — з!3! + зс/5! — ... — целая функция; з = со — существенно особая тачка. 8.92. -" = 0 и - = сю — а.т.в. 1-го порядка; з = 1 — существенно особая точка для одной из двух ветвей функции, предельная для ее полюсов 1-го гг1 — алд гг порядка в точках зл = ( - — ), аь = — -!- ггй (Ь = О, ш1, ...). Согласно зала- Ь .ь) че 4 76, область неопределенности в точке з = 1 совпадает со всей плоскостью. 8.93. Если и = О, то з = 0 и з = оо — устранимые особые точки и ги щ 1; если и < О, то з = 0 и з = оо — л.
т. в., причем !пп и, = !пп ш = 1 с и з = 1 — существенна особая точка для одной из ветвей функции; если и = 1, то вг = -; если п > 1, то "= 0 и з = ос л.та., причем область неопределенности вг(з) в этих точках совпадает со всей расширенной иг-плоскостью. 8.94г 8.95. - = 0 и з = оо -- л т.в. с областью аеопределенности для ш(л), совпадающей с расширенной ш-плосгсостью. 8.96.
з = 1 и з = со — а.т.в., причем 1пп и = !пп иг = сю и з = 0— полюс 1-го порядка для всех нетвей ш(з), кроме одной. 8.97. з = 0 и з = оо — л. т. в. и !пп ш = )нп ш = оо. 0 — с 8.98. Точки ветвления те же, что для Агсз)аз (т. е бесконечное множество а.т.в. 1-го парндка над з = ж! и две л.т в.
над з = сю, !пп аг = 0; з = 0 — полюс 1-го порядка длл всех ветвей функций, кроме одной). 8.99. з = жг' — л.т.в !пп ш = сю; з = 0 — полюс 2-го порядка длл всех ветвей функции. 8.100. Поверхности ш(з) и з(га) те же, что длл логарифмической функции (л.т.в. над 0 и сю). Отображение легко получаетсн с помощью параметрического представления з = с,ш = е'~. 8.101. Риыанова поверхность для ш(з) бесконечнолистна, с одной л.т.в. над каждой из точек з = а, з = Ь и двуми л.т.в. над з = сю. Поверхность получается склеиванием бесконечнога числа листов з-плоскости с разрезалги, идущими из точек з = а, з = Ь в сю. Эти листы соответствуют однозначным ветвям функции ш + 2ясп (и = О, ж1, ш2, ...).
При обходе вокруг з = а и з = Ь эти ветви переходят последовательно друг в друга, чем определяется характер склеивания листов. 8.102. Риманова поверхность для ш(з) бесконечнолистна, с одной л.т,в. над каждой из точек с = а, з = Ь, а =с и тремя л.т.в. над з = со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
