1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Построение, подобное предыдущему. 8.103. Риманова поверхность для ш(з) бесконечнолистна, с одной л.т.в. над каждой из точек з = !ся (!с = О, ш1, ж2, ...). В качестве листов можно 270 Ответы и решения взять л-плоскости с разрезами, идушими из точек "= ня в со (например, по вертикальным полупрямым). Два листа склеиваются сразу по всем разрезам, по одной стороне, как при построении поверхности логарифмической функции.
В ао — трансцендентная особенность, предельная для л.т.в. 8.104. 1) В каждой связной части римановой поверхности функции Л = цг(з) над з-плоскостью, которой соответствует связная часть риманаоой поверхности обратной функции з = уг (с,) над с7с, ю(з) представлнет единую аналитическую функцию; 2) в кажлой снязной части римановой поверхности функции Ь = гр(з), расположенной над С. (зта область СС, перенесенная в з-плоскость), ю(з) представляет единую аналитическую функцию. 3) То же, что в п.
2). В указанном в условии задачи частном случае гл(з) всегда представляет одну аналитическую функцию. 8.105. ю(з) состоит из двух аналитических фувкций юз. 8.100. ю(з) состоит из двух аналитических функций юз г~. 8.107. ю(з) состоит из р аналитических функций юле 'О" (ю = е р = н.о.д. (т, и); Л = О, 1, ...,р — 1; тг = т/р, пг = и/р).
8.108. ю(з) состоит из и целых функций юле г" (ю = е 'г", )г = 0,1, ... ..., гг — 1). 8.109. ю(з) — одна и-звачная функция с а.т.в. (п — 1)-го порядка над з = дх (к = О, ю1, ...). На ао она имеет неизолированную особую точку, предельную для а.т в. 8.110. ю = и 1.п з ф 2яйс (1 = О, 1,, и — 1) — п различных аналитических функций. 8.111. ю(е) состоит из функций з+ 2яг/г (й = О, ю1,,).
8.112. Одна бесконечнозначная функцин с л.т.в. над з = О, ю1оа. 8.113. ю(е) — - одна бесконечнозначная аналитическая функция с одной л.т.в, над зл = 2хгй (к = О, ю1,. ). На сю она имеет неизолированную особую точку, предельную лля л.т.в. Риманова поверхность функпии ю(е) односвязная и получается склеиванием бесконечного числа листов ю-плоскостей с разрезами (попарно без обших точек), идушими из зл в оо (два листа склеиваютсн одновременно по всем разрезам, но только по определенной их стороне). 8.114. Риманова поверхность та же, что в задаче 8.113, только с л.т.в над л = кх (й = О, ю1, ...).
8.115. Риманова поверхность та гке. что в задаче 8 113, только с л.т.в. над з = я)г/2 (1 = О,ю1, ...). 8.116. ю(з) состоит из функций ~з+ 2йх (к = О, ю1, ...). 8.117. аг(з) состоит из функций з -Л Ьг (1 = О, ю1, ...). 8.118. 1) Пусть гг — — тг/иг, га = тз/пм г = гггг = ги/и — несократимые дроби и р =н.о.д. (тг, пг), а =н.о.д. (тз, пг).
Тогда (з"')'з состоит из р различных и-зиачных аналитических функций, равных ю з', ю = е л' = 0,1, ..., р — 1, а (з"')"' состоит из 0 функций юг'з', ьч = е й = О, 1, ..., а — 1. Олив из них, а именно л", всегда принадлежит к обоим случаям. В частности, (зы~)~~~ = *а, (зз7з)з~'" = л/1х. 2) Пусть гг = тг/иы гг = тз/пм г = гг + ге - -т/и — иесократимые дроби и р = н.о.д. (пг, пг). Тогда л" зсм состоит из р различных и-значных Глава )lШ 271 аналитических функций, равных ы л', ы = е' нц "гг, рг = н.о,д.
(тгпг+ +тги(,р), пг = иг/р, пг = пг/!г, Й = О, 1, ...„р1 1. 3) Пусть р =н.а.д. (ими ) и гз' =н.к. (пинг) = игпг/р. Тогда ш(з) состоит из р различных Х-значных аналитических функций. 8 119. Пусть Х =н к. (т п), р = н о д. (т п), 9 = н а д. ((т+ п)/2, тп/2) и 1/т+ 1/п = р/и. Тогда ш(з) — единая М-значнэя аналитическая функция, имеющая )г/и а.т.в. (и — 1)-го порндка над г = О, 1г/)тгг а.т.в. (т — !)-га парлдка над г = 1 и М/9 -- а.т.в. (гг — 1)-го порядка над л = оо.
8.120. Одна пт-значная аналитическая функция, имеющая одну а.т.в. (п — 1)-га порядка над г = 1, тг а.т.в. (т — 1)-го порядка нэд г = 0 и одну а.т.в (тп — 1)-го, порядка над г = со. 8.121. Лве различные четырехзначные функции, отличающиеся знакам, с такой же риманавой поверхностыа, как у функции ',Й.
Каждая из этих функций имеет па одной ветви, для которой точка г = 1 является полюсом перного порядка. 8.122. Бесконечнозначная функция с одной в.т.в. (и — ! Рго порядка над з = 1 и и л.т.в. над каждой из точек з = О, з = сю. Для пострае- Я;! Я (2~~~(!) (з), о) (1) Р .Вн ния панерхности нугкно скдсить п новерхностей для Ьп з с разрезом [ 1, со) на одном из листов у каждой. Линии р" з!пггд = 1я (9 = О,ж1,х2, ) разбинают ш-плоскость нэ области, соответствующие полуплоскостям р ) 0 (рис. 89, для п = 2, 0 = шг -- осномогательная плоскость).
8.123. Беснонечнозначная функция с одной л.т.а. над г = 1 и бесконечным числом только л т.в. над л = 0 и з = со. Риманова поверхность получается склеиванием бесконечного числа поаерхностей длн Ьп з с разрезам (1,са) на одном из листов. Поверхность имеет над з = О, з = оо толька л.т.в., притом бесконечно много, и над з = 1 — обыкновенные точки и одну л т в, Линии е" з!по = (2к+ 1)я и о = 2йя (я = О, ж1, щ2, ...) разбивают нг-плоскость не области, соответствующие каждан г-плоскости с резрезом — со < х ( О, у = 0 и дополнительным разрезом 1 ( х < со, 9 = 0 лля областей, в границу которых входят прямые о = 2лл (рис. 90, ь = е вспомогательная плоскость).
8.124. Бесконечнозначная функция с тай же римановой поверхностью, чта у Ьп Ьпг. 8.123. Риманова поверхность бесконечнолистна, имеет э.т.в. (и — 1)- го порядка над з = О, только а.т.в. 1-го паряцкэ нед з = ж! и 2и л,т.в. над з = оо. Лля построения иоверхности нужно склеить п поверхностей Глава *и'111 + йх (й = О, х1, х2, ...) разбивают ю-плоскость на области, соответствую- щие каждая х-плоскости с разрезом — оо < х < О, у = 0 и дополнительными двумя разрезами: 0 ( х ( 1/е, у = 0 и е ( х < со, у = 0 — для облас- тей, в границу которых входят прямые и = я/2+ йя (рис. 92; С = сйп ш— вспомогательная плоскость), 8.127.
Бесконечнозначная функция. Ее риманова поверхность получа- ется склеиванием бесконечного числа экземпляров римановой поверхнос- ти функции (/з — 1, снабженных на одном из листов разрезом вдоль луча 1 ( х < со, у = О. Склеивание производится как при построении римановой поверхности логарифмической функции. 8.128. Бесконечнозяачная функция с одними лишь а.т.в. 1-го порндка над з = 0 и з = оо и двумл л т в. над з = 1. 8.129. Бесконечкозначная функция с двумя л.т.в. над з = -1 и беско- нечным числом только а.т.в.
1-го порядка над з = 0 и з = сс. 8.130. Если а = —, то ю = — Ьпз+ — й (й = О, 1, ..., гп — 1) — т разгп гп 2тг' и а и личных аналитических функций; если а иррационально, то ю = аЬпз+ + 2я1й (й = О, х1, ...) — бесконечно много различных функций. 8.131. Две различные бесконечнозначныс аналитические функции с той же римановой поверхностью, что у Ьп з, 8.132. Две различные аналитические функции, равные соответственно 2Ьггз и 21п( — з). 8.133. ю = я/2+ 2яй, й = О, х1, ..., ю = я/2+ 2Агссозз; ш = — Зя/2+ + 2Агссоэ з. 8.134. ш = х/2 + хй (й = О, *1, ...). 8.135.
ю = г(я/2+ хй) (й = О, х1, ...). 8.136. ю — бесконечнозначная функцил с той же римановой поверх- ностью, что ЬпЬпз (см. задачу 8.123). Если С = реса = Ьпл = 1пг+ ир (~р = Агбз), то ю = е'юг = сю" е'е" - 'а Ь Для /е(з) = е вмиг (О ( 0 ( 2я) указанные в задаче множества предельных значений представляют соот- ветственно: 1) и 2) окружность ~ш! = е 3) окружности (ю! = е Г' при р -++ос и (ш! = е '"Гз при ~р -+ — со; 4) кольцо е "Г' < (ю! < е "Г-'. Для других групп ветвей добавляется множитель е ~ (й = х1, х2, ...).
8.137. Во всех пунктах ю(з) представляет одну аналитическую функ- цию, если ~а) ( 1; если )а~ 3 1, то в и. 1) и 3) функция распадаетсл на и, в в и. 2) и 4) — на бесконечное число ра зли ч н ы х аналитических функций. 8.138. Если ~а( < 1, то в обоих случаях ю(з) представлнет собой одну аналитическую функцию; если )а~ ) 1, то в п. 1) будет я, а в и. 2) бесконечно много различных аналитических функций.
8.139. 1) Пусть з = геге и С = ре*е = 1.п х. Тогда ю(з) состоит из мно- гозначных аналитических функций, равных соответственно т(з)ег "л (~~ ' л+г'б з +ь), — а б < Зя/2 (й = О, х1, ...). Все они имеют по одной л.т.в. над з = О, в окрест- ности которой область неопределенности — кольцо (в частности, для й = 0 кольцо д(0)е з М ( (ш! ( д(0)е "~~). 181/2 Л.И. Волкоеыский и лр. Ответы и решения 2) Пусть з — 1 = ге!" и !, = реш = 1п(з — 1). Тогда ш(з) состоит из однозначных аналитических функций, равных соответственно „! !*"' '""!ь ! = Р +!„+и !', ю= 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
