1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 43
Текст из файла (страница 43)
5.25. Сходится равномерно на всяком отреэке (2кп+е,2(й+1)н — е) . действительной оси (Ь = О, 1, 2, ...). 5.26. Нет. 5.33.х, = х = -оо. 5.34. х, = -со,х» = 1. 5.35. х, = -оо, х, = +со. 5.36. х, = О,:о = +со. 5.37. х, = О, х = 1. 5.36. х = х = — 1. 5.39. х, = х« =+оо.
5.42. х = О; расходитсн во всех точках границы. 5.43. х, = х = — 2; расходится во всех точках границы. 5.44. х, = х, = О; сходится (неабсолютно) в точках л = (2)о+ 1)л! (Ь = О, х1, х2, ...), а в остальных точках границы расходится. 5.45. х, = х, = О; сходится абсолютно во всех точках границы. Глава Н1 249 5.46. х, = х, = О; сходится неэбсолютно во всех точках границы.
5.54. Интегрвл сходится рваномерно во всякой полосе О < а ( Кез ( ( А < оо. 5.55. Интеграл сходится равномерно во всякой полуплоскости Кез > > а > О. 5.56. Интеграл сходится равномерно во всякой полосе а ( Кех < 2 — а, где а> О. 5.57. Интеграл сходится равномерно во всякой полосе а < В.ел < 1 — а, где а > О. 5.58, 5.59.
Интегрэл сходится равномерно а любом замкнутом интервале действительной оси, не содержащем начала координвт. 5.60. Интеграл сходится равномерно в полуплоскости 11п з > О с удаленным полукругом (з~ < г, где г — сколь угодно малое положительное число. 5.61. Интеграл сходится равномерно в интервалах О < а ( (л ~ (В ( 1 и 1 ( т ( з < оо. 5.62. Пример: 1(1) = е' при и <1 < и+е " ( п = 1,2,...) и 1'(1) = О для всех остальных 1. 5.63.
х, = х = О, 5.64. х, = х, = — оо. 5.65. х; = ха = +ос. 5.66. х, = — оо; х, = 1. 5.67. х, = — со; х„= ч-со. 5.68. х, = — 1; х, =+оо. 5.69. х, = О; х, = 1. 5.70. Рвсходится во всех точках грэницы. 5.71. Сходится абсолютна. 5.72. В точке з = О расходится, в остальных точках границы сходится неабсолютно. 5.73. Во всех точках границы сходится неабсолютно. Глава Н1 6.9. Решение.
Вычисляя интегралы, входящие в очевидные неравенства уз л/2 л)2 э1п'"+' х с(х < / жп " х 4х < / зш " ' х 4х, получвем (2п)!! 1 л )' (2п)!! ~ 1 (2я — 1)!! 3 2п .~- 1 2 1(зп — 1)!! 1 2п Ллл доквзэтельства формулы Валлисе остэется установить, что разность между крайними членами в этой системе неравенств стремится к нулю при п — 1 О. 6.12.
1) Ие сохранится; 2) сохрвнится. 6.14. 1) Расходится; 2) расходится (к нулю); 3) сходится; 4) сходится. 6.15. Сходится неабсолютно. 6.16. Расходится. 6.17. Сходится, если р > 1/2, причем сходится абсолютно, если р > 1; ресходитсн, если р < 1/2. 6.18. Сходится абсолютно, если р > 1; расходится, если р < 1.
250 Ответы и решения причем суммирование в правой части (1) распространено на те индексы и (большие единицы), которые не делятся ни на одно из чисел Рг, рг, ..., р,„. Легко доказать, что при Бее > 1+ 5 (д > 0) сумма ряда в правой части (1) стремится к нулю при т — ! оо и, следовательно, Де) П(1 — р ') = 1. е=! 2) Так как из признака абсолютной сходимости (см. задачу 6.13) следует, что произведение П(1 — Р ') при Бее > 1 ч-5 сходится, то функция =! Де) не имеет нулей при Бее > 1.
6.37. Решение. Из доказанного в предыдущей задаче следует, что при любом 5 > 0 П(1 — Р ) = 'П -ОМ! и Д1+5)' . Отсюда легко заключить, что Вгш П(1 — Р„"б !) = О. Так как (1 — р„') < (1 — р„! !), то ясно, что проб-гЕЯЯ =! изведение П(1 — Р„) расходится (к нулю), а следовательно, и ряд ) р„' г =! =1 также расходится. „г гггс! ее я! 6.57..
6.58.. 6.59.— е!пг гга е!и гге 5 6.61. —,'„(1+ — '1. 6.62. —,. Зае ~ епее/ 52 1)ббгтгь-геен 6.63. (Збг)! Вгь 8.64. — —. 8.67. р = 2 Шпгго 6.69. р = 1, а = 3. 6.70. 6.71. р = 3, а = 2. 6.72. (Вгь — число Бернулли; см. задачу 3.100). О. 6.68. р = п, а = о. р=1,о =3. р = 2, а = т/5. 6.73. р = 1, т = 1. 1 6.76. р = —, а т 1. 2' 8.74. р = 1, а = 1.
6.75. р = 1, а т т/2. 6.19. Сходится абсолютно. 6.21. (з) < 1. 6.22. (х( < 2. 6.23. ф < оо. 8.24. (л( > 1. 6.25. )з! < 1/е. 6.26. 1з( < оо. 6.27. Ц < оо. 6.28. )л) < сю. 6.29. )з( < оо. 1 1 6.36. Решение. 1) Вычитая из ряда Де) = 1+ — + — + ... ряд для 2г Зв 1 2 'Де), получим (1 — 2 ')Де) = 1+ — + — + — + ...; в правой части зтоЗг 5* 7 1 го равенства отсутствуют те члена! —, для которых я делитсн на 2.
Анап' 1 1 логично (1 — 2 ')(1 — е ')Де) = 1+ — + — + ..., причем в правой части 5' 7' 1 отсутствуют члены —, для которых и делится на 2 или на 3. Вообще (1-Р!'Н1-Р ')" (1-Р 'К(е) =1+,'~ —,, (1) Глава 'г1 251 1 лз" 1 6.77. р = —, о = 1. Решение. ~ — = — (соз!/л+соз4т/л), 2~ (2г. и)! СЮ ™ г" 1 ФО л откуда ~ = — !1 соз !4/л + соз 4 фл) . Аналогично, (2з, и)! (2з . и)! =е — (сова (/л+ созаз (/с+ созе я+ созсл"!ул), где а = К вЂ” 1, откуда 4 и сова !з/з, и т. д. (2з и')! 4 6.78. р = со. 6.79. Решение. Достаточно, как нетрудно видеть, рассмотреть 1 г,Р значения з > О.
Тогда (~ е*' б!)/' е* < 1; с другой стороны, если 0 < < а<1,то 1 1 1 ( ( с*' В!) /е"* = / е™ ш Ж 3 (' е*!' " б! -+ оо при з -г со. о о Следовательно, р = 1, и = 1. 6.81. р = шах(рьрз). 6.82. 1) р' = р, а* < а~ + ог, '2) р* = р, о' = шах(око ). 6.83.1) р" <р,о'<2с02) р*<р,а' <н. 6.84.
Решен ие. Если з = ге*г, то при любом заданном г величине г 1 — —,~ достигает наибольшего значения при у = х-; оно равно 1-!- —,. Лз! 2 ' Л-'„ С другой сторояы, при любом е > 0 (е < о) и и > п,(е) имеем — < Л„< !! + с < — и, следовательно, а — с з 1+' "" <1+ — "" <1+"""'. (*) пг Лз пз з!и!лтг е т" — с А так как Ц (1+ — ) = = (см. задвчу 6.48 аз 1хтг 2хтг 1 или 6.53), то из неравенств (е), ввиду произвольности е и решения звде- чи 6.80, следует, что порндок р функции /(з) равен 1, а тип а пе мень- ше типа функции ез"* и не больше типа функции е Л", т. е.
ла < и < х!). 6.88. Решение. Пусть М(г) р, о — максимум )/(л)! ( на окружности ф = г, порядок и тип функции /(з), а М~(г), р~ и п~ — соответствующие характеристики для функции /'(з). Из равенства /(з) = ~/'(!) б!+/(О) о следует М(г) < гМ~(г)//(0)/ и, следовательно, р < рь Твк как /'(л) = 1 г /(()<К , где в качестве Г можно взять окружность с центром в 2л!/ (0 — л)з' г точке л радиуса б (б > Π— любое), то М~(г) < М(г+ о)/и', т. е. р~ < р, и, твким образом, р~ = р.
Отсюда и из приведенных выше нерввенств за- Ответы и решения 252 ! лава НП Т.2, 1) Г~(«) = (» — а)", Г («) ел О; 2) Г~(») «а О, Г («) = — 1/(« — а)"; 1 3) Г" (») = , Г («) = О. Во всех трех случаях интеграл типа (» — а)" Коши обращается в интеграл Коши. 73.
Ц Гг() =у( ) — ~ д,( ' ),Г-() =-~дь( ' ); 2) Г~(«) = ~ дь( )+д(»), Г («) = — у(»)+~ д«( )+ 1 +д(«). д«( 1 — главная часть разложения функции у(«) в окрест(« — а! ) ности полюса а«; д(«) — главная часть разложения у(«) в окрестности бесконечно удаленной точки, в которую включается свободный член.
г » + 1а((» — 2)/(» — 3)) ! »! — 4 » + 1 1 2» 3 7.3. Г" («) = с!3 « — — —,, в частности, Гч(О) = О, Г+(гг) = — —, «« — гг! 2«' 3 1 2« Г+( — гг) = — '; Г («) = — —— 2«г ' «! гг« ' 7.6. Г~(») = , Г («) =— 2(» + !) 2(» — !) 1 й" (а — «Ь ) 7.7. Гг(«) = — ) " ", Г (») = — — ~ " "; предельные 2 й" 2 «=О «=! значения: ОЭ Г+(Кем) = — ~ (а„— «Ь„)его '.=« = — +-уФ * ) ае 1 *Е 4 2 Г (Рсег~) = — -~ (а„+«Ь )ег" 2 ае 1 в = — — — у(Ге' ) 4 2 + — ) ( — Ь„соапд+а ыппВ); 2 е ! + — 'г '(-Ь„соа пВ+ а„вш пВ).
2 н=! ключаем, что а! = а, другой возможный способ доказательства основан на теореме, приведенной на с.. В.ВВ. р = 1, о = 1/е. 6.89. р = а, а = оо. 6.90. р = а, гт = О. 6.91. р = О. 6.92. р = О. 6.93. р = 1, гг = 1, 6.94. р = 1, а = 2. 6.95. р = 1; Цр) = сову, 6.96. р = 1; Ь(у) = соз р, если сову > 0; И(!р) = О, если сову < О.
6.9Т. р = 1; Ь(гр) = ! жп у). 6.98. р = 1; Ь(у) = ! жп у). 6.99. р = 1; Ц!р) = ! соа у!. 6.100. р = гк Цу) = сов пу. 6.101. р = 1/2; Ь(у) = ( вгп(у/2)1 6.102. 1) Ь (у) = Ь(у), если Ь(!р) > О; )г*(у) = О, если Цу) < О, Ь" (у) < О, если Ь(гр) = 0; 2) всегда Ь'(у) = Ь(у). 6.103. Пример /(») = е' — Р(«), л/2 < у < Зл/2.
Глава УП 253 7.0. 1) Если точка х лежит в круге 4„!гк [х — йя[ < и/2, то 11(х) = /(х— — йн), 1х(х) = (-1)~/(х — йя). В частности, если [х[ < я/2, то Г!(х) = Гх(х) = = /(х). Если точка х лежит вне всех замкнутых ф„то 7!(х) = 74(х) = О. 2) Пусть 4„!ь — круг [х — йя[ < х. Тогда 1!(х) = /(х — йх) + /[х— — (й — 1)я[, 1 (х) = ( — 1)~[/(х — йх) — /(х — (й — 1)х)), если х В б)ь-ьЯЫ Гг(х) /(х йл) + У[х (й + 1)л[ Хз(х) ( 1)ь[/(х йя) /(х (й 4 1)я)) если х б !ее4хьгг; 1ь(х) = /(х — Угя), 7з(х) = ( — 1)ь/(х — йя), если х лежит внутри области 44ь — !сь !!.)ь — (4ь!4ьы, П(х) = О, Гх(х) = О, если х лежит внутри дополнения ко всем 1,!ы 7.0.
Р(х) = — !и ); Яа(~) = —,!п ~ —, Г(~) = — !и 2х! х+1 ' 21п 1+( 2 2гге !+Ь ( — 1 < ь < 1); Р(ш!) = ш —, Р (0) = ш —, Г(0) = О. 4' 2' 1 х-!-Я 7.10. Р(х) = — Ьп — — однозначная ветвь в х-плоскости с раз2хе х Я !" Я !х"!-Я ревом вдоль С, определяемая значением Ьп1 = 0; Ьп — = 1и [ — ~ + — Я [ — Я + (ьс агя (~ — х), где !1с агб(!, — х) — приращение жй (ь — х) вдоль с; 2~п !С вЂ” Я! 4' 2т! !ь — Я 4 Г~(!Я) = —, Г ((Я) = — —, Р(!К) = —; Е (0) = —— 4 4' 4' хЯ 1 (+Я 7.11. Г(х) = — 1п — (однозначная ветвь в х-плоскости с разрезом 2ле ь" — Я вдоль С, определяемая значением 1 и 1 = 0; для [х[ > Я она совпадает с ! !(4- Я! 1 аналогичной ветвью из задачи 7.10); Р "(ь) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
