1612043385-b1752c358db31cd6885398a78ad357a0 (538281), страница 50
Текст из файла (страница 50)
1), нижний — к и, 2)). Линии поля — кривые 3-го ог пу порядка х х = С вЂ” эквипотенциальные линии, у ж =С— хг .!. уг хг -! уг аг линии тока; Ът = 1~ —,е"", Ъ' = 1. Точки х=- хВ для п. 1) и х = ЫЛ тдлн и. 2) критические (рис. 110 и 111). Глава Х 291 :,;:::;;.:::='-'=" "'-'-"=' ~~~~~ГГ/Г/Г~~~~~~~ '.: .':.':.'.::::;.:.- --.: Ф;~~~~~~~; ГГГ " =*' "-- --"--- '"~~~~~/Ф~~~~~~~~Ф критическан точка (рис 113). 10.9. В точках ха, ха( — источники: (ха,2я), (хат';-2я); т" + Рнс, 112 -~- Са~т сов 2сз+ а' = 0 ()С) > 2) эквипотенпиальные линии (к яим принадлежат также прямые р = хх); т' ж Са т'я1п2ы — а = 0 — винни тока (к ним принадлежат также оси ко- 4атз ординат); (Г =...
'(г = О, точка з = 0 — критическан (рис. 114). в' — а' Ряс. 113 Ряс, 114 10.10. В тачках х1, 0 и на оо — источники: (х1, Я), (О; -ф, (оо; — 13); г'+ 1/тз = С+ 2 сов 2Р (С > 0) — — эквипотенциальные линии (при больших значениях С линии близки к окружностям т = /С и г = 1/ъ/С); т = С 4- сбР— линии тока (к ним принадлежат также оси координат и С вЂ” спч з+ ! окружность т = 1), Ъ' = — ~, Ъ' = О. Точки х( — критические Ы~ ( з — ц!' (рис. 115).
10.11. В точках х1, Π— источники: (хц 2л), (О; — 4в); Сг~ — 2тз соя 21в— — 1 = 0 (С > — 1) — эквипотенциальные линии (при С = Π— гипербола ' — *' = Ч2); = 'ВЙРТ:Ътг — ( зг с - О— Ртветы и решение 292 ниската Бернулли), к которым принадлежат также оси координат Р' = 2 , К, = О (рис. 116). г(х~ + 1) 10.12.
В точках ш1 ш 1/Л вЂ” источники обильности 2х, в точке л = О— источник обнльности -4х, на со — источник обильности -4х; г' + + 1/г" = С вЂ” 2гоз4ы (С > О) — зквипотенциальные линии (при С < 4 Рис. 115 Рис. 116 Рнс. 117 линии распадаются на четыре компоненты, при С > 4 — на две; при боль- 4У ших значениях С зто "почти" окружности г = уС и г = — /; 162у = Фс! ' = С вЂ” — линии тока (к ним принедлежат также оси координат, биссекг4+ 1 — '1 4 трисы координатных углов и окружность г = 1); (' = 2 ~ 1,Р =О. 1 «(лл -|- 1) 1 ' Точки ш1, Ы вЂ” критические (рис.
117). Глава Х 293 10.13. В точке » — источник (О; Я), в точке » = оо — диполь и источник (со; — 14); у = е " ы~ — х» (в полярных координатах: атсоэр + С вЂ” Яу/2а + — )пт = С~ — эквипотенциальные линии; г = — линии тоаз1п~р С ка; линии тока имеют горизонтальные асимптоты: у,, -4 —, у, ~, — Ф а С вЂ” Я/2 Яе'т -4, 1» = а -1- — ', Ъ;„, = а; критическая точка» = — — (рис. 118). а 2тт' 2та 10.14.
В точке г = Π— вихрь (О; Г), на со — диполь и нихрь (со; -Г); С - ГрД2х) т — эквипотенциальные линии; х = е "" Ыу — у асозу ( — =)- Г1вт Г ц„,,„ атз1п1» — — = С) — линии тока; (г = а+ — е' т ', К = а; кри2л,т 2гт Ге тическая точка г = — (рис. 119). 2ха 10.15.
Жидкость обтекает окружность радиуса Я; Ъ", — а, циркуля- ъ. \ д \ Рнс. 119 Рис. 118 1 ция Г; критические точки определяются равенством»и = — (Г1 х 4яа 'Тб ' 'л' -— Гт е Г 1 л„~*,~ й„ лежат на окружности ф = Л; если Г = 4таЯ, то критические точки сливаются в одну; если Г > 4яай, то )ги) ) й (вторая критическая точке лежит в этом случее внутри окружности Ц = й). См., например (3, гл. Н1, и, 49). 10.16. ю(г) = т'е *'г+ ~ )п(» — ал). На оо —. диполь Гг -1- 1Щ» 2ге с моментом 2ят'е " и вихреисточник с обильностью Я~ = ~ Щ и ьа интенсивностью Г = — ~ Гь.
ьы 10.17. 1) Нет; 2) да; 3) да (например, течение щ = — + — )пг 1 Г г 2 ге имеет линии тока, выходящие из начала координат). Ответи и решения 294 10.18. При однолистном конформаом отображении вихреисточник переходит и вихреисточник той же обильвости и интенсивности. Мультиполь переходит в набор мультиполей до того же порядка включительно. диполь переходит в диполь со следующим законом изменения момента: 1) (а;р) -г (а;рог); 2) (сю;р) -+ (а;рс г); 3) (ол р) -» (оо; р/с г), 4) (сс;р) — г (оо; р/сг). 10.19.
При я-листном конформном отображении вихреисточник переходит в вихреисточник с обильностью и интенсивностью, уменьшенными н и раз. 10.20. Закон изменения вихреисточника (а' — точка, симметричная точке а): (а; ц, Г) -4 (а'; Я,-Г) — — в случае линии тока, (а, (/,Г) -г -+ (а"; -Я, Г) — в случае аквипотенциальной линии. Закон изменения диполн более сложный. В случае прямолинейной линии така: (а; р) -» (а'; р'), где векторы р, р, проведенные соответственно через а и а*, симметричны относительно линии тока.
В случае круговой линии тока )з) = Я г (а; р) 4 -г (а*, :-Л р/а'), если а Ф О, и (а р) -г (со р/гс~), если а = О. В случае и ря молинейной и круговой экнипотенциальных линий при тех же обозначениях соответственно: (ар) -» (а; -р ); (ар) — » (а; л р/а ), (О; р) -» (о"; -р/11з). 10.21. 1) Во всех случаях особенности течения должны быть расположены симметрично относительно окружности ф = гг (см. задачу 10.20). В частности, оси диполей, расположенных на этой окружности, должны быть касательными к ней. Сумма обильностей должна равняться нулю, для чего 1 1/» -~- — ~ 4,), = О, где ге» вЂ” обильности источников внутри ф = П и 2 »Г( — обильности источников на )з) = В. Вихрей на )з) = Я не должно быть; 2) Особенности течения должны быть расположены симметрично относительно окружности )з) = Я.
В частности, оси дилолей, расположенных на )л) = Л., должны быть к ней ортогональны. Сумма интенсивностей долж- 1 на равняться нулю, для чего ~ Г» + — ~ Г', = О, где Г» -- интенсивности 2 ~ вихрей внутри )л) = й и Г', — интенсивности вихрей на )л) = В; источников на ф = й не должно быль. Г з — а 10.22.
1) иг = )ге+ с (с — постоянная); 2) ш = — 1п — +с; 2ггг г — а 3) в = — 1п((л — а)(л — а)) + с (нв оо источник обильности -2О); 2з р 1 р 1 4) ш= — — + — — +с; 2лг — а 2лг — а " (Г»4 д» вЂ” Г» -г- »ГО» 1 р 1 б) ш = ~ ~ 1и (з — а») + ' 1п(л — а»)~ + — — + 2ггг 2ггг' 2л з — а »=г р 1 + — — + 1'г+ с (на оо источник обильности — ~ Я»); 2гг г — а »=1 б) Течение возможно только при Г = О, 1щр = О; тогда и = — + Р 2 гл ж — 1пл+ с.
2гг Гласа Х 295 10.23. 1) ю = — )п —, +с; 2) ю = — — +— Г » — а р ! р* 2»!' О« — а» 2г㻠— а 2»«вЂ” а ф О [а' = —, р = — — руг, и ги = — + — х+ с, если а = О р а ' а» 2гг» 2л л 10 24. 1) ю = ~ — » !п[(« — ае)(Г»» — ааь»)) + с, если 2 !е» 2» »=! »=! 2) ю = ~ — (п [(» — аь)(Я вЂ” аьх)[+ ~ — ' !и (» — а,) + с, г»» г'г[ 2гг 2л л=! =! + с, если а" ( = —.') если —,'~ д', =О.
г=! 10.25. 1) ю = — )п — + с; 2ггг К! — а» р ! р* ! у , й« . 6« 2г㻠— а 2лх — а' ! а а! Л»!ге* д»!ге а ! 3) ю = )ге га«+ + г«4) о! = !ге ' «+ + — (п»+ с. » 2л! 10.26. ю = — )п Г (» — га)(а» -!- !) + с. 2»!' (» -!- га)(໠— !) 10.27. ю = — (и («» + а ) + с. 10.28. ю = — !и («! — !) + с. 2л 2» 10.20.
1) ю = — !и — -!-с; 2) ю = — !п (1+ — ! +с. О»! — ! ~'> г' 4 Д 2» «2 2л х! 10.30. ю = ~ [ !п(х — ал) + !п(х — аал)~ + — —— " (Г„ч-гО„ Г, -гЯ!. ! р 2»! 2л! 2л « — а »! р гг г — — — + )ге ' »+ с. Течение нозможно, если о = ю — [если 2 Г» г'- О, 2л» вЂ” а »=.! то на оо — вихрь с интенсивностью — 2~! Г»). л=! 10.31. ю = ~ ~ ~ ~ (и(« — аь)+ " " !п(Г»~ — агх)[+!ге * «вЂ” 2л! 2л! п»!ге а л + с. Течение возможно, если ~ Гь = О, а = О, и р = -2лГ»~!ге'". »=! 10.32. Пусть ! = 1(«) конформпо отображает Р на единичный круг [![ ( 1.
Тогда ю = Ф[у'(»)), где Ф()=~ ~Г"+'с)'! (1-! )+ ' *'~"! (1-! !)1+, 2л!' 2гг! !» = 1(а»), при непременном условии ~ 1,)» = О. ь=! 10.33. Пусть ! = 1(х) ковформно отображает Р на область [![ > ! с нормировкой 1(оо) = оо, т" (оо) > О. Тогда при условии ) 'Ц» = О Олгееглы и решения ю = Ф[/(ю)], где !ге-га !ге /'(оо) /'(со) С ь=г 1 (С вЂ” Со)+ Г" .— ° 2яг + '" + *~о !п(1 - ССС)~ + с, С, = /(ао).
2лг 10.34. В обозначениях задачи 10.33. в = Ф[/(ю)], где !ге Го 1 его Г Ф(С) =, С+, + — !пС+с. /'(оо) /'(со) С 2лС При Г = О в(ю) отображает внешность С на внешность отрезка [ — 21///'(оо), 2!///'(оо)] действительной оси ю-плоскости с нормировкой в(со) = оо, гог(гго) !/е — га 10 35. 1) в(ю) = — [(ею — Ьъ/Р— сю) соа а + г(Ью — аг/юс - сс) яп а] + а — Ь + сопаС (Ко = !/е'~, с = х/аС вЂ” Ь~); 2) в(ю) = — [(аю — Ьъ/л~ — сс) соло+ а — Ь -!- г(Ью — аъ/юг - с') агп а] + — ! и (ю + ъ/юс — сг) + салос .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
