1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Фаза волновой функции всегда связана сдвижением, однако в -инвариантной ситуации столь же возможно и обращенное по времени движение, и мы можем образовывать вещественные -инвариантные комбинации — такие, как стоячие волны. В отсутствие -инвариантности такой возможности нет, и в общем виде гамильтониан(рассмотренный в (18.4) и (18.5)) содержит и вещественную симметричную^ ′ , и мнимую антисимметричную ^ ′′ части. Соответствующая матрицаимеет ( + 1)/2 параметров для действительной части и ( − 1)/2(недиагональных) параметров для мнимой, всего 2 параметров.В этой ситуации группой допустимых преобразований является группа^( ) унитарных матриц :^^† = 1.(18.56)Если потребовать инвариантности распределения P (H) по отношению кунитарным преобразованиям, то для воспроизведения выкладок, подобных18.6.
Классы универсальности493(18.27), нужно (для случая = 2) четыре независимых параметра — двавещественных диагональных элемента и комплексный элемент смешивания.В результате мы придем формально к тому же распределению (18.33), но сдругой нормировкой — из-за другого числа параметров в евклидовой мере(18.39). Это определит гауссов унитарный ансамбль (ГУА).При преобразовании к собственным значениям и 2 − угловым переменным, 2 × 2 -мерный якобиан J, аналогично (18.41), будетиметь безразмерных столбцов (при дифференцировании по собственным значениям), а остальные ( − 1) столбцов будут иметь размерностьэнергии. Следовательно, является полиномом по степени ( − 1).Этот полином, очевидно, симметричен по отношению к перестановке всехсобственных значений. Как и раньше, якобиан обращается в нуль в точкахвырождения, в которых хотя бы два собственных значения совпадают, = , и обратное преобразование не определено.
Поскольку число паруровней равно ( − 1)/2, якобиан степени ( − 1) должен содержатьквадраты относительных расстояний − . Подобные рассуждения вслучае ГОА (18.48) дали линейный закон расталкивания, здесь же мыприходим к квадратичному:∑︀∏︁22GUE (1 , ..., ) = const| − |2 −(/ ) .(18.57),<Результаты для ГОА и ГУА подтверждают простые выводы, ранее сформулированные при обсуждении пересечения уровней в разд. 10.5.Задача 18.5Для случая = 2 получить ГУА-распределение для расстояний междуближайшими уровнями.Решение.Интегрирование способом, аналогичным примененному в задаче 18.3,даёт22 () = 32 2 −(4/) .(18.58)Наконец, упомянем используемый не столь часто гауссов симплектический ансамбль (ГСА).
Он возникает в особом случае, когда имеетсясимметрия по отношению к обращению времени , но 2 = −1, и полныйугловой момент может принимать только полуцелые значения (нечетноечисло фермионов). Из разделов (II.5.5) и (II.5.6) мы знаем, что энергии494Глава 18. Квантовый хаоссопряжённых по обращению времени орбит вырождены, но в отсутствиевращательной симметрии они принадлежат одному и тому же классу,в отличие от вращательно инвариантных систем, где партнеры характеризуются различными значениями ± точного интеграла движения и должны относиться к разным классам. Тем самым, у нас возникаютматрицы, которые в любом допустимом базисе содержат вырожденныедублеты сопряженных по обращению времени состояний.
Преобразования,сохраняющие эту структуру, образуют симплектическую группу и могутбыть представлены с помощью кватернионов (мы здесь делать этого небудем). Такая ситуация может быть реализована в конденсированных средах в присутствии электрического поля (магнитное поле нарушило бы -инвариантность). Другой пример можно найти в деформированных ядрах с нечётным числом нуклонов и отсутствием аксиальной симметрии, врезультате чего проекции углового момента на любую связанную с ядромось не сохраняются.В случае ГСА мы имеем дело с дублетами вырожденных состояний.Взаимодействие между дублетами может смешивать их без нарушениявращательной инвариантности.
Например, матричные элементы для взаимодействия между дублетом (1, 1̃) и дублетом (2, 2̃) должны удовлетворятьсоотношениям12 = 2̃1̃ = 1̃*2̃ ,*12̃ = 21̃ = 1̃2.(18.59)Для каждой пары дублетов мы поэтому имеем две пары комплексно сопряженных матричных элементов или четыре вещественных параметра;полное число параметров для дублетов, включая двукратно вырожденных энергий, равно + 4 ( − 1)/2 = 2 2 − .
Размерность якобианаравна числу столбцов 2 ( − 1), отвечающих производным по «угловым»параметрам, так что каждая пара разностей энергий входит в четвертойстепени, и совместное распределение собственных значений принимает вид:∑︀∏︁22GSE (1 , ..., ) = const| − |4 −(/ ) .(18.60)(<)Для всех канонических гауссовых ансамблей (ГОА, ГУА и ГСА) мы можемзаписать результат сходным образом с законом расталкивания | − | , ,где = 1, 2 и 4 соответственно (нормировочная константа зависит от и).Мы пришли к выводу, что глобальная симметрия определяет классыуниверсальности. Ожидается, что в реальных системах при достаточно18.7. Полукруговой закон495высокой плотности уровней локальная спектральная статистика будет соответствовать одному из таких классов. При небольших возмущениях системаможет постепенно трансформироваться из одного класса в другой: включаямагнитное поле, мы можем плавно перейти от ГОА к ГУА.
Мы определиликлассы, исходя из симметрии гамильтониана. Можно построить классы,обсуждая и другие физические величины. Важным примером являетсяматрица рассеяния [125]. Ввиду унитарности -матрицы ее собственныезначения — комплексные числа на окружности единичного радиуса. Статистика таких спектров определяется циркулярными ансамблями. Для cистемс гамильтоновой динамикой есть прямая связь этих результатов с гауссовыми каноническими ансамблями.
Однако -матрицу можно обсуждать ив теориях, где гамильтониан даже и не определен явным образом.18.7. Полукруговой законДля того чтобы пояснить основную идею более сложных приемов, используемых в теории случайных матриц, рассмотрим теперь задачу о среднейплотности уровней для ГОА большой размерности → ∞. Сама по себезадача чистого ГОА имеет лишь академический интерес, поскольку глобальное поведение уровней в реальных системах отличается от ожидаемогов ансамблях случайных матриц (см. следующий раздел), но мы используемэту возможность для демонстрации принципов простейших диаграммныхметодов.Рассмотрим ансамбль систем, описываемых гамильтонианами^ =^ 0 + ^ ,(18.61)^ 0 и ^ — большие × эрмитовы матрицы, ^ 0 — постоянный опегде ратор с определенными собственными значениями , в то время как ^содержит случайные параметры.
Физические результаты получаются усреднением по ансамблю этих параметров. Для определенности мы предполагаем здесь, что ^ принадлежит ГОА, и его вещественные некоррелированныематричные элементы 12 с нулевым средним значением распределены понормальному закону и удовлетворяют (18.35) при подстановке → . Изэтого определения следует(︂)︂2122( )12 =1+12 , Tr 2 =( + 1).(18.62)44496Глава 18.
Квантовый хаосВ пределе → ∞ усредненный след в (18.62) пропорционален (сравнитес квадратом следа в (18.36)). Практически те же результаты получаются дляГУА, корреляционная функция двух матричных элементов для которогоравна2* = ,12 34 = 12 43(18.63)14 234и вместо (18.62) имеем( 2 )12 =212 ,4Tr 2 =2,4(18.64)так что в пределе больших эти величины совпадают.Рис.
18.5. Диаграммное представление: а — матричный элемент 12 ; б — корреляционная функция двух матричных элементов Для представления усреднения более сложных выражений мы используемпростые диаграммы (рис. 18.5). Пусть толстый прямоугольный блок (рис.* . Свертки (18.62)18.5, ) соответствует матричному элементу 12 = 21или (18.63) показаны штриховыми линиями (рис. 18.5, ), связывающимивершины, которые, в соответствии с дельта-символами Кронекера, должнысовпадать; второй (скрещённый) граф для ГУА отсутствует.^Оператор Грина ()определяется как решение уравнения^^ = 1.^()(− )(18.65)Возьмем в качестве численного параметра (с размерностью энергии)комплексное число; тогда решение уравнения (18.65)^()=1^−(18.66)^ имеющегоявляется хорошо определенным для эрмитова гамильтониана ,только вещественный спектр, так что выражение (18.66) сингулярностейне имеет.
Когда комплексная точка приближается к оси вещественных18.7. Полукруговой закон497энергий, скажем, сверху, → + 0, из тождества (6.26) следует^ + 0) = P.v.(1^−^− ( − ).(18.67)Мы построим диаграммную технику для вычисления усредненных по ансамблю матричных элементов функции Грина 12 ().Общая в таких случаях процедура начинается с нулевого приближениядля функции Грина1^ ∘ () =,(18.68)^0−так что^ −1 () = ^ ∘ −1 () − ^ .(18.69)^ имеет полюса, мыВыбирая точку вне вещественного спектра, где можем произвести формальное разложение по степеням ^^=^∘ + ^ ∘ ^ ^∘ + ^ ∘ ^ ^ ∘ ^ ^ ∘ + ...(18.70)и усреднить его почленно. Это усреднение устранит все члены нечетных^ (2) :степеней ^ , оставив лишь четные ^=^∘ + ^ (2) + ^ (4) + ...(18.71)Для понимания механизма усреднения рассмотрим член второго порядка:^ (2) = ^ ∘ ^ ^ ∘ ^ ^ ∘.(18.72)Среднее для матричного элемента (18.72) в соответствии с законом распределения для ГОА (18.35) принимает вид(2)12 =∑︁∘13 ∘45 ∘62 34 56 =34562 ∑︁ ∘ ∘ ∘13 45 62 (36 45 + 35 46 ).
(18.73)43456^ ∘ , так чтоСуммирование (по 4 и 5 ) в первом члене приводит к следу (2)12 =]︁∑︁2 ∑︁ ∘ [︁^ ∘ )∘32 +13 (Tr∘43 ∘42 ,43(18.74)4или, через произведения операторов,(2)12 =2^ ∘ )(^ ∘^ ∘ )12 + (^ ∘^∘ ^ ∘ )12 ].[(Tr 4(18.75)498Глава 18. Квантовый хаосЗдесь метка означает матричное транспонирование.Рис. 18.6. Усреднение второго (a) и четвертого (b,c) порядковГлядя на возникающие диаграммы (рис. 18.6, , тонкой линией обозначены матричные элементы невозмущенной функции Грина), мы видим, чтовторой граф соответствует одной непрерывной линии 1 -3 (=5 )-4 (=6 )-2,составленной из чередующихся тонких и штриховых участков. В отличиеот него первый граф содержит помимо линии от входа до выхода 1 -3 (=6 )-2отдельную часть 4 -5 из тонкой линии, замкнутой штриховой линией, чтоозначает совпадение концов и взятие следа. Вдали от сингулярностей следсодержит членов одного порядка величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
