1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 78
Текст из файла (страница 78)
нужен такженелокальный в пространстве отклик, когда поле в одной точке наводитток в других местах, поэтому зависит от координат (пространственнаядисперсия) или, в Фурье-представлении, от волнового вектора.В равновесии среднее значение тока исчезаетTr(^j^∘ ) = 0,(17.129)17.9. Электропроводность473и только возмущение ^′ матрицы плотности даёт вклад в среднее значениетока{︁}︁⟨j(r, )⟩ = Tr ^j(r, )^′ .(17.130)Оператор ^′ должен быть найден из (17.124) для возмущения (17.125).^ ′ , ]^ для ^ ′ , зависящего только от координат, определяетсяКоммутатор [кинетической энергией:∫︁∑︁ ′′^^^^⃗ · r)[, ()] = [, ()] = − 3 (ℰ()[^p2 , (r − ^r )]. (17.131)2Коммутатор под интегралом приводит к]︁∑︁ [︁∑︁ ^ , (−~∇ )(r − ^r ) = ~∇rp[^p , (r − ^r )]+ .
(17.132)22+Сумма в (17.132) является локальным оператором плотности электрического тока, который отличается от вероятностного тока (I.7.50) присутствиемэлектрических зарядов :∑︁ ^j(r) =[^p , (r − ^r )]+ .(17.133)2Окончательно, интегрируя по частям, мы переносим градиент на вектор rи получаем∫︁(︁)︁^ ^ ′ ()] = ~ 3 ℰ()⃗ · ^j(r) .[,(17.134)Это выражение имеет ясный смысл мощности, выделяемой электрическимполем, которое производит работу над движущимися частицами в объемесистемы.Таким образом, мы получили возмущение (17.124) матрицы плотностислабым электрическим полем:^′ () = ^∘∫︁′−∞∫︁′′^ ′ [(/~)(− )+ ]∫︁(︁)︁⃗ ′ ) · ^j(r) −[ ′ +(/~)(′ −)]^ .3 ℰ(0(17.135)Собирая все результаты в (17.127), мы приходим к тензору проводимости(17.126):∫︁ ( ) =0⟨⟩∫︁′ ]′ ]^^[(/~)+3[−(/~)− ^ ^ (r).′(17.136)474Глава 17.
Матрица плотностиЗдесь усреднение означает след с невозмущённой матрицей плотности ^∘ .Результат включает оператор тока, взятый в картине Гейзенберга вкомплексном времени,^^[(/~) +] ^ [(/~) +] ≡ ( − ~).(17.137)Финальная формула Кубо теперь может быть написана как корреляционнаяфункция двух операторов тока⟨⟩∫︁ ∫︁′3 ^′^ ( ) = (0) (r, − ~ ) ,(17.138)0где первый оператор тока берется в произвольной точке, например, в началекоординат (система предполагается пространственно однородной).Формула Кубо упрощается при высокой температуре, → 0. Характерная разность времен , соответствующая заметной амплитуде отклика,является временем корреляции ; токи, разделенные временны́м интервалом Δ > , не коррелируют, и среднее значение их коррелятора исчезает.Физически это может быть время между столкновениями частиц.
Привысокой температуре ~ = ~/ становится много меньше, чем . Пренебрегая ′ в экспоненте, получаем интеграл равным = 1/ , и результатстановится⟨⟩∫︁1 ^3 ^ ( ) = (0) (r, ) .(17.139)Формулы Кубо (17.138, 17.139) являются типичным примером выводакинетических коэффициентов для слабых отклонений от статистическогоравновесия. В левой части тензор проводимости говорит о сопротивлениии омических потерях в среде. Правая часть – это корреляционная функциятоков, относящаяся к флуктуациям, которые исчезают, когда система релаксирует к равновесию. Таким образом, мы имеем здесь частную формуфлуктуационно-диссипативной теоремы [71]. Флуктуационные и диссипативные явления должны быть связаны в равновесии, поскольку любаяфлуктуация внешнего (наведённая внешним полем) или внутреннего происхождения должна затухать (с диссипацией энергии), чтобы гарантироватьистинное термодинамическое равновесие.Дополнительная литература: [71], [111], [112], [113]Наука — это попытка привести хаотическое многообразие нашего чувственногоопыта в соответствие с логически последовательной системой мышления.А.
Эйнштейн. «Физика и реальность»Глава 18Квантовый хаос18.1. Классический и квантовый хаосС недавних пор стало известно, что проявление хаотической динамики вклассических системах является скорее правилом, чем исключением [114].Хаос возникает из-за высокой чувствительности решений детерминистических уравнений движения к малым вариациям начальных условий.Решения стабильны лишь в простейших случаях — таких, как гармонический осциллятор или задача Кеплера. Неизбежные возмущения могутизменить характер движения от регулярного к хаотическому.Интегрируемое движение в системах с степенями свободы характеризуется существованием интегралов движения , являющихся однозначными функциями переменных (координат { } и импульсов { }, = 1, ..., )в инволюции.
Последнее означает, что они сохраняются одновременно, т. е.для них скобки Пуассона (I.7.93) обращаются в нуль: { , } = 0. Этодает возможность [1] перейти с помощью канонического преобразования кпеременным действие-угол, к парам сохраняющихся импульсов и сопряженных им циклических координат (углов) таких, что преобразованныйгамильтониан оказывается от этих углов независящим: = (). Уравнения движения Гамильтона (1.91) в этих новых переменных приобретаютвид:˙ = −= 0, ˙ =≡ ().(18.1)Движение для каждой из разделяющихся переменных в конечной системеявляется периодическим, и последнее уравнение определяет соответствующие частоты: () = (0) + .(18.2)476Глава 18. Квантовый хаосПри несоизмеримых (иррациональных) отношениях частот движение квазипериодично.
Для траекторий со слегка различающимися частотами накапливающаяся разница фаз (18.2) растет во времени линейно.Рис. 18.1. Регулярное движение (одна траектория) в прямоугольном (a) и круглом (b) биллиардах, и хаотическое движение (300 отражений) вбиллиарде-стадионе (c) (иллюстрация предоставлена К. Левенкопфом(C.
Lewenkopf ))Обычно существование интегралов движения связано с наличием симметрии в системе. Если симметрии разрушены, система становится неинтегрируемой, и единственной характеристикой траектории остаются ееначальные условия. Однако из-за высокой чувствительности к малым изменениям начальных условий близкие в фазовом пространстве траекториирасходятся со временем экспоненциально — расстояние между ними растет как ∼ exp(Λ), где Λ — так называемый показатель Ляпунова. В этойситуации даже небольшие ошибки округления в определении начальныхусловий приводят спустя некоторое время к совершенно различным траекториям.
Несмотря на полное знание описывающих движение простыхдинамических законов предсказуемость движения оказывается утраченной.В прямоугольном биллиарде (рис. 18.1, a) с зеркальным отражением отстенок импульс сохраняется по абсолютной величине; добавление со всехсторон идентичных копий биллиарда позволяет «распутать» траекториютак, что она превращается в прямую линию. В круглом биллиарде (рис.18.1, b) сохраняется угловой момент. В случае же биллиарда в форме стадиона (c) граничные условия несовместимы с сохранением и импульса,18.1.
Классический и квантовый хаос477и момента импульса. В результате одиночная траектория покрывает всефазовое пространство и в пределе больших времен остается возможнымлишь статистическое описание.Точного аналога подобного классического хаоса в квантовой механикенет, поскольку само квантовое описание является вероятностным изначально. Задание с произвольной точностью начальных условий в фазовомпространстве невозможно из-за соотношения неопределённостей. Волновойпакет, отвечающий начальной волновой функции, подвержен квантовомурасплыванию, которое спустя некоторое время скроет классическое разбегание траекторий. Это объясняет причину, по которой многие авторыпредпочитают говорить лишь о квантовых проявлениях классического хаоса [115], т.
е. об особенностях поведения квантовых систем, отражающихналичие хаоса в динамике их классических аналогов.Можно показать, что динамика, порождаемая уравнением Шредингера^ индля замкнутой системы с не зависящим от времени гамильтонианом ,тегрируема, по крайней мере в области дискретного спектра, в частности —для частицы в биллиарде, независимо∑︀ от формы его границ. Амплитуды () волновой функции |Ψ()⟩ = ()|⟩ в произвольном полном ортонормированном базисе состояний |⟩ удовлетворяют системе связанныхлинейных уравнений∑︁~˙ = .(18.3)Амплитуды и матричные элементы в общем случае комплексны, иможно выделить их действительные и мнимые части = + ,′′′ = + ,(18.4)′ и ′′ действительны, причем для эрмитового гамильтониагде , , на′′′′′′= , = −.(18.5)В результате шредингеровская динамика (18.3) приобретает классическуюгамильтонову формуℋ˙ =,ℋ˙ = −(18.6)с эффективным классическим гамильтонианомℋ=]︁1 ∑︁[︁ ′′′ ( + ) + ( − ) ,2~(18.7)478Глава 18.
Квантовый хаоскоторый описывает динамику связанных классических осцилляторов. Вбазисе стационарных состояний квантового гамильтониана → антисимметричная часть ′′ исчезает, и эффективный гамильтониан (18.7)оказывается очевидно интегрируемымℋ⇒1 ∑︁ (2 + 2 ),2(18.8)описывая набор независимых осцилляторов. Классически движение такойсистемы регулярно и квазипериодично.На проблему квантового хаоса возможен взгляд и с другой стороны: отклассической квантовая эволюция отклоняется лишь на временах > ⋆ .Математически это может быть сформулировано как существование двухразличных предельных переходов.
С одной стороны, сначала полагая ~ → 0,мы через квазиклассическую область попадаем в область классическоймеханики. Там мы можем долго, до ≫ ⋆ , двигаться вдоль классических траекторий. С другой стороны, точная квантовая эволюция вплотьдо ≫ ⋆ с последующим переходом в конце к классическому пределу~ → 0 приведет к другому результату — т. е. эти два предельных перехода не коммутируют.
Отсюда ясно, что классический хаос оказываетсялишь (кратко)временным этапом эволюции квантовой системы. Конечно, в реальности время ⋆ может оказаться и астрономически большим.Наше доказательство регулярности шредингеровской динамики уязвимопри применении к очень большим системам, в пределе базиса бесконечной размерности: в этом случае квазипериодическое движение огромногочисла мод с несоизмеримыми частотами может оказаться неотличимымот хаотического из-за все более растущей примеси удаленных состояний ссильно осциллирующими волновыми функциями в процессе долговременной эволюции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
