1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Спаривание фермионов и сверхпроводимостьоператоров, которые определяют мультипольные моменты и радиационныепереходы в ядрах и процессы типа спиновой релаксации и поглощениясвета в макроскопических сверхпроводниках.Общий одночастичный оператор, не меняющий число частиц, можетбыть записан как (11.37):∑︁^=′ ^† ^ ′ ,(16.102)′где сумма берётся по всем одночастичным орбитам. Чтобы найти егодействие на спаренную систему, мы производим каноническое преобразование (16.55) к квазичастицам.
Результирующий оператор содержит членыΔ с разными правилами отбора по сеньорити Δ.Сначала рассмотрим вклады ∼ ^†^, сохраняющие число квазичастиц,Δ = 0. Имеется два члена этого типа:(︁)︁∑︁0 =′ ′ ^†^′ + ′ ^˜ ^†˜′ .(16.103)′Второй член в (16.103) можно привести к нормальной форме^ ˜ ^† = ′ − ^† ^ ˜ .˜′ ˜′(16.104)Таким образом, мы извлекаем неоператорный член (диагональное среднеезначение)∑︁¯= ,(16.105)который определяется числами заполнения = 2 . Два операторныхчлена с Δ = 0 комбинируются в оператор, ответственный за процессрассеяния квазичастицы полем :(︁∑︁^0 =′ ′ ^†^′ − ′ ^†˜′ ^˜ ).(16.106)′Во втором члене (16.106) мы можем сделать замену переменных суммиро˜ → ′ , ˜′ → , сделав операторы такими же, как и в первом члене.вания, В -инвариантной системе амплитуды , не меняются при обращениивремени.
Окончательный ответ зависит от свойств поля по отношению кобращению времени.16.11. Амплитуды переходов445Для -чётного поля ′ = ˜′ ˜ матричный элемент ′ рассеянияквазичастиц ^†^′ равен(+)′ = ′ ( ′ − ′ ).(16.107)В -нечётном случае ′ = −˜′ ˜ матричный элемент содержит другойфактор когерентности(−)′ = ′ ( ′ + ′ ).(16.108)На диагональный матричный элемент -нечётного мультипольного момента спаривание не влияет:(−) = (2 + 2 ) = .(16.109)Например, магнитный момент квазичастицы на данной ядерной орбитесохраняет Шмидтовское значение, как мы видели в схеме сеньорити (16.23).Амплитуда рождения двух квазичастиц тем же полем (разрыв пары)даётся членом Δ = 2:∑︁2 = −′ ′ ^†^˜′ .(16.110)′Есть две возможности произвести две квазичастицы ^†˜′ ^† : = , ′ = ′и = ˜′ , ˜′ = . Опять для -чётного поля мы получаем матричныйэлемент(+)′ = ′ ( ′ + ′ ).(16.111)В -нечётном случае амплитуда равна(−)′ = ′ ( ′ − ′ ).(16.112)(−)Теперь рождение диагональной пары = ′ запрещено, = 0.
Этопара с квантовыми числами конденсата, и поэтому она -чётна, а поле нечётно. Эти результаты незаменимы при вычислении отклика спареннойсистемы на любые внешние поля.Дополнительная литература: [68], [82], [97, 98] [100, 101], [103], [105],[106], [109]Оказывается, что не волновая функция,а нечто иное, называемое матрицей плотности, может быть более полезным. Такчто при небольшом усложнении уравнений (не сильном усложнении) я обращаюсь к матрице плотности.Р.Ф.
Фейнман, [110]Глава 17Матрица плотности17.1. Смешанные состояния и матрица плотностиДо сих пор мы работали главным образом с чистыми квантовымисостояниями, описываемыми вектором состояния |Ψ⟩. Это понятие соответствует специально приготовленной, например, как собственное состояниенекоторого эрмитова оператора, изолированной квантовой системе, когдаможно пренебречь её взаимодействием с окружением.
Последнее возникаеттолько в роли измерительной аппаратуры. Однако это лишь идеализацияреальной ситуации. Например, мы несколько раз упоминали системы степловым возбуждением. В этом случае предполагается, что система находится в тепловом равновесии с нагревателем, термостатом, которыйподдерживает определенный уровень возбуждения системы. Другим важным обстоятельством является конечная точность аппаратуры, создающейначальное состояние.Фактически описание системы как части большого комплекса являетсяболее общим, чем в терминах чистого квантового состояния. Такое описаниестановится неизбежным во всех случаях, когда мы имеем дело с частьюдинамических переменных и усредняем по ненаблюдаемым степеням свободы. Тогда, вместо чистого состояния, мы должны работать со смешаннымиквантовыми состояниями, описываемыми матрицей плотности ^, а неволновой функцией.
Представим систему, состоящую из двух частей: собственно изучаемая система и ее окружение. Вторая часть, в частности,может быть набором переменных той же самой системы, который нам неинтересен или недоступен для эксперимента, как это обычно имеет место всистемах многих тел. Предполагая, что большая система как целое можетсчитаться замкнутой и описываться волновой функцией |Ψ⟩, мы вводимполный набор функций |; ⟩, где чистые состояния |⟩ относятся к на-448Глава 17. Матрица плотностишей подсистеме, в то время как |⟩ характеризуют возможные состоянияокружения.Таким образом, произвольное состояние полной системы может бытьпредставлено суперпозицией базисных состояний∑︁|Ψ⟩ =; |; ⟩.(17.1)Амплитуды ; могут зависеть от времени; они нормированы согласно∑︁|; |2 = 1.(17.2)Пусть ^ — произвольный оператор, действующий только на переменныенашей подсистемы.
Результаты его измерения описываются средними зна^чениями ⟨Ψ||Ψ⟩.Матричные элементы ^ диагональны по квантовымчислам окружения^ ⟩ = ′ ′ .⟨ ′ ; ′ ||;(17.3)Поэтому среднее значение ^ принимает вид∑︁∑︁∑︁^^ ⟩ =⟨Ψ||Ψ⟩=*′ ; ′ ; ⟨ ′ ; ′ ||; ′ ; *′ ; .′ ′ ′ (17.4)Определим матрицу плотности ′ , действующую в гильбертовомпространстве исследуемой подсистемы, как результат взятия следа попеременным окружения∑︁(17.5)′ =; *′ ; ≡ ′ ,где черта сверху означает «усреднение» по состояниям окружения. Матрица^ с элементами (17.5) определяет средние значения всех наблюдаемыхвеличин:∑︁∑︁^^).⟨Ψ||Ψ⟩=′ ′ =()′ ′ ≡ Tr (^(17.6)′ ′След Tr здесь и ниже относится только к состояниям нашей подсистемы.Следуя нормировке (17.2), матрица плотности тоже нормирована:Tr ^ = ⟨Ψ|Ψ⟩ = 1.(17.7)17.2.
Свойства матрицы плотности449Функция распределения () различных значений оператора ^ выражается как() = Tr {(^ − )^}.(17.8)Таким образом, матрица плотности предсказывает вероятности всех экспериментальных результатов в условиях неполной информации, когдасистема находится в смешанном состоянии, и её переменные запутаны сокружением.17.2. Свойства матрицы плотностиДля чистого состояния (нет связи со средой) знание матрицы плотностиэквивалентно знанию волновой функции. Если система находится в чистомсостоянии |⟩ и мы используем произвольный базис |⟩ в разложении (17.1)с коэффициентами , матрица плотности (17.5) этого состояния () равна()′′ = *′ = ⟨|⟩⟨| ⟩.(17.9)Это просто проекционный оператор, который выделяет из произвольногосостояния |Ψ⟩ компоненту вдоль заданного вектора |⟩:∑︁ ()∑︁⟨| ′ ⟩⟨ ′ |Ψ⟩ = ⟨|⟩⟨|Ψ⟩.
(17.10)⟨|^() |Ψ⟩ =′ ⟨ ′ |Ψ⟩ = ⟨|⟩′′Таким образом, для чистого состояния |⟩ оператор матрицы плотности —это проектор^() = |⟩⟨|.(17.11)Его матрица может быть представлена как простое произведение (17.9).Задача 17.1Доказать, что матрица плотности чистого состояния, уравнение (17.9),удовлетворяет определению (I.6.126) проекционного оператора(^() )2 = ^() .(17.12)Это означает, что собственные значения матрицы плотности чистого состояния равны единице для вектора этого состояния и нулю для любогоортогонального вектора.В общем случае смешанного состояния оператор матрицы плотностиэрмитов∑︁** =;; = ^† = ^.(17.13)450Глава 17. Матрица плотностиСледовательно, собственные значения ^ вещественны.
Диагональные матричные элементы ^ в любом базисе неотрицательны:∑︁ =|; |2 > 0.(17.14)Из (17.7) и инвариантности следа∑︁ = 1(17.15)числа располагаются между 0 и 1, достигая крайних значений длячистого состояния; в противоположность чистому состоянию (17.12), вобщем случае Tr ^2 6 1.Явное представление матрицы плотности (17.5) зависит от выбора базиса.Матрицу плотности можно диагонализовать, её собственный базис |⟩ иногда называют пойнтер-базисом или каноническим базисом.
В собственномбазисе∑︁′ = ′ , 0 6 6 1, = 1.(17.16)В этом базисе оператор плотности является суммой проекционных операторов для базисных векторов |⟩:∑︁^ = |⟩⟨|.(17.17)Используя этот базис, мы можем наглядно интерпретировать собственныезначения как вероятности собственных состояний |⟩ в ансамбле, образованном окружением. Эта интерпретация подтверждается вычислениемсреднего значения любой величины:∑︁^ = Tr (^^) =^⟨⟩ ⟨||⟩.(17.18)Здесь мы имеем двойное усреднение, сначала по чистому квантовому состоянию |⟩ канонического базиса, а затем по статистическому ансамблю,заселённому в соответствии с вероятностями .В качестве примера возьмем одночастичную матрицу плотности.
В координатном представлении (r, r′ ) нижние индексы ′ в определении (17.5)становятся непрерывными координатами, и среднее значение оператора ^17.2. Свойства матрицы плотности451равно^ = Tr(^^ =⟨⟩)∫︁^3 3 ′ (r, r′ )⟨r′ ||r⟩.(17.19)^Для оператора (r),который является функцией координат, его координатные матричные элементы (r)(r − r′ ), и уравнение (17.19) содержиттолько диагональную часть (r, r) матрицы плотности, которая играетроль плотности вероятности (r):∫︁^ = 3 (r, r)(r).⟨⟩(17.20)В чистом состоянии (r) мы имели бы (r) = |(r)|2 .Задача 17.2Найти связь между одночастичными матрицами плотности в импульсноми координатном представлениях и плотностью вероятности для зависящих^от импульса операторов (p).Решение.Используя преобразование (I.6.37), находим∫︁′ ′⟨p|^|p′ ⟩ ≡ (p, p′ ) = 3 3 ′ (/~)(p ·r −p·r) (r, r′ ).Обратное преобразование:∫︁ 3 3 ′ −(/~)(p′ ·r′ −p·r)′(r, r ) =(p, p′ ).(2~)6(17.21)(17.22)^Для любого оператора (p),зависящего от импульса,^ p)|p′ ⟩ = (p)(2~)3 (p − p′ ),⟨p|(^(17.23)и среднее значение равно^ =⟨⟩∫︁3 (p, p)(p),(2~)3т.
e. импульсная плотность вероятности равна∫︁′(p) = (p, p) = 3 3 ′ (/~)p·(r −r) (r, r′ ),(17.24)∫︁3 (p) = 1.(2~)3(17.25)452Глава 17. Матрица плотностиЗадача 17.3Доказать, что в любом базисе матричные элементы ^ удовлетворяютнеравенству > | |2 ,(17.26)т. e. все миноры матрицы плотности положительно определены.Решение.Доказательство, которое можно найти в учебниках по алгебре, проводитсяследующим образом. При = и размерности 2 равенство очевидно.Возьмем ≠ и размерность пространства > 3. Для любого эрмитова^ и любой матрицы плотности среднее значение ⟨^ 2 ⟩ > 0.оператора Поэтому∑︁∑︁^ 2 ⟩ = Tr(^^ 2) =⟨ = * > 0.(17.27)^ произволен, и мы можем выбрать оператор, который имеет толькоЗдесь ненулевые матричные элементы = * ≡ и = * ≡ дляпереходов от |⟩ и |⟩ к некоторому состоянию |⟩, где ̸= , .
Соберем всененулевые вклады в сумме (17.27): ||2 + ||2 + * + * + (||2 + |2 ) > 0.(17.28)Поскольку это должно удовлетворяться для любых , и , сумма первых четырех членов в (17.28) должна быть > 0, т. e. билинейная формаэлементов в -подпространстве неотрицательна, и её детерминант > 0, всоответствии с (17.26).Недиагональные элементы матрицы плотности связаны с явлениямиинтерференции. Будем повторять измерение величины ^ в смешанномсостоянии, описываемом матрицей плотности ′ . Каждое измерение порождает одно из собственных состояний |⟩ этого оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
