1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Следовательно,решение задачи минимизации — это2 = =′ )︁1 (︁1− ,22 = 1 − =′ )︁1 (︁1+ .2(16.74)Однако это всего лишь формальное решение, поскольку величина Δ ,входящая в , зависит от чисел заполнения по определению (16.69).16.8. Энергетическая щельНеизвестную величину Δ обычно называют энергетической щелью,потому что, как мы увидим, её величина определяет минимальную энергиювозбуждения вблизи Σ , где невозмущённая энергия ′ = − мала.
Чтобынайти Δ , мы должны подставить параметры (16.74) в (16.69), что приводитк нелинейному уравнению для Δ .Комбинация, входящая в уравнение (16.69), — это =√︀Δ (1 − ) =.2(16.75)Она исчезает в нормальном пределе (без спаривания), когда все числазаполнения равны 1 или 0. Уравнения (16.75) и (16.69) приводят к интегральному уравнению для Δ :Δ = −∑︁′′Δ ′.2′(16.76)Это уравнение играет фундаментальную роль в теории сверхпроводимостиБКШ. Тривиальное решение Δ = 0 (нормальный Ферми-газ) всегда возможно. Чтобы найти нетривиальное решение — если оно существует — мыпримем некоторые свойства потенциала спаривания, которые определяютсуществование и симметрию Δ .В однородной макроскопической системе пары характеризуются полнымимпульсом P, сохраняющимся в процессах рассеяния, и относительнымимпульсом p. Полный импульс каждой пары должен быть равен нулю в434Глава 16.
Спаривание фермионов и сверхпроводимостьосновном состоянии без тока. Абсолютные величины p и p′ близки к , ирассеяние описывается углом между начальным относительным импульсом как функцию этого угла можноp′ и конечным p. Матричный элемент pp′разложить по полиномам Лежандра. Конденсат формируется парами в состоянии относительного движения (парциальной волне), соответствующеммаксимальному притяжению. Обычно это происходит в -волне, и потомув синглетном по спину состоянии.
В сверхтекучем 3 He, где спариваниепроисходит в триплетном по спину -состоянии, есть несколько термодинамических фаз, отличающихся связью между спином и орбитальныммоментом [103].Для -волнового спаривания матричные элементы взаимодействия независят от угла рассеяния, и их можно заменить на эффективную константу.Ситуация в ядрах качественно похожа, хотя матричные элементы различныдля разных комбинаций и ′ . Простое приближение (16.26) эффективнойконстантой в некотором слое около Σ (и нулём вне этого слоя) можетдать разумную оценку:(16.77)′ ≈ − ′ ,где обрезающие множители ′ ограничивают пространство спариваниявнутренностью энергетического слоя − 6 ′ 6 + вблизи Σ . В этомприближении∑︁ Δ′Δ = ′ ,(16.78)2′′так что Δ — константа внутри слоя,Δ = Δ.(16.79)Нетривиальное значение Δ удовлетворяет уравнению1=∑︁ 1 ,2(16.80)где Δ входит в знаменатель через , уравнение (16.71).Чтобы решить уравнение (16.80), заменим суммирование по слою интегрированием по одночастичным энергиям с плотностью уровней ′ () ≈ ′на Σ .
Эта плотность уровней считает вырожденные дублеты, и потомуотличается от (13.11) множителем 1/2. Тонкий аспект этой заменысостоит в том, что в дискретном спектре уравнение (16.80) может не иметьрешений, что означало бы Δ = 0. Взаимодействие должно быть достаточносильным, чтобы обеспечить образование конденсата процессами рассеяния16.8. Энергетическая щель435пар, преодолевая интервалы между уровнями дискретного спектра.
Действительно, минимальное значение знаменателя в (16.80) — это |′ |. Тогдакритическая сила спаривания определяется соотношением [105]1 = ∑︁ .2|′ |(16.81)Нетривиальное решение с дискретным спектром отсутствует при < . Если перейти к непрерывному спектру, то интеграл в (16.81) имеетлогарифмическую особенность на Σ , где ′ → 0. Тогда → 0, и конденсатпоявляется при сколь угодно слабом взаимодействии. Это значит, что вмакроскопической Ферми-системе нормальное состояние нестабильно поотношению к силам притяжения, вызывающим образование конденсатапар (эффект Купера).В конечной системе замена суммы интегралом оправдана только тогда,когда сила спаривания сверхкритична, в противном случае корреляцииспаривания будут потеряны.
С сильным спариванием в непрерывном приближении интегрирование сводится к∫︁+1=− ′ (′ ) √≈ ′′222 +Δ′∫︁01′ √′2 + Δ2и может быть легко произведено:√︀2 + 2 + Δ2′≈ ′ ln ,1 = lnΔΔ(16.82)(16.83)где мы предположили, что Δ ≪ . Наконец, модель даёт решение дляпараметра щели(︁1 )︁Δ ≈ 2 exp − ′ .(16.84)Результат является неаналитической функцией силы при → 0 (существенная особенность не позволяет разлагать в ряд Тэйлора), и он неможет быть выведен в теории возмущений даже при малом (ещё односвидетельство нестабильности нормального моря Ферми относительно притягивающих взаимодействий). Однако нужно помнить, что это заключениесправедливо только для макроскопических систем, тогда как для конечныхсистем весь метод не работает в случае слабого взаимодействия.Возвращаясь к параметрам (16.74) волновой функции, мы получаемпростую картину одночастичных чисел заполнения для постоянной (или436472Глава 16.
Спаривание фермионов и сверхпроводимость22 Fermion Pairing and Superconductivityvk2kFkРис. 16.1. Средниечислазаполнениядля нормального(пунктирнаяFigure22.1Mean occupationnumbersФерми-газаfor the normalFermi gas (dashed liлиния)trivialи дляBCSнетривиальногорешенияsolution (solidline). БКШ (сплошная линия)медленно меняющейся, как функция ) энергетической щели Δ. ЧислаProblem 22.6заполнения, вместо резкого разрыва в нормальном Ферми-газе, плавноуменьшаются от единицы существенно ниже Σ до нуля существенно вышеΣ . Ширина переходной области энергий порядка Δ, т.е. меньше шириныShow that the results of the variational approach can be obtained wслоя взаимодействия ∼ 2 (эта ширина ∼ (2Δ/ ) в импульсной шкалена рис.
16.1). canonical transformation method assuming the structure of theerators given by (22.46) and (22.48). Express the Hamiltonian inЗадача 16.6operatorsbO andbO † using the подходаinverse можноtransformationWithПокажите, чторезультатывариационногополучить(22.55).сmutationrelations,bring the transformedHamiltonianпомощью методаканоническогопреобразования,предполагая,что ква- to the n†OOзичастичные операторыопределеныкакв(16.46)и(16.48).Выразитеrespect to b and b . The interaction terms, bilinear in operators,^ и ^O† †, используягамильтониан через новыеO операторыобратное преобtype corresponds tb bO † ).
The secondstructure, b † bO and ( bO bO Cразование (16.55). С помощью коммутационных соотношений приведитеdiagrams”of creatingand annihilatingtwo quasiparticles.Theirпреобразованныйгамильтонианк нормальнойформе по отношениюк ^make a systemunstable. поThechoice of theparametersи ^† . Члены взаимодействия,билинейныеоператорам,имеютдва типа u, v of the^^+ ^†^† ).
Второйструктур, ^†^ и (formationтипсоответствует«опаснымдиаграммам»that nullifies the dangerous terms determines the staсоздания или уничтожениядвухквазичастиц.присутствиебы Hamilton(compare Vol.1 Section12.7).ИхShowthat for сделалоthe pairingсистему нестабильной. Выбор параметров , канонического преобразоваparameters coincide with those found by the variational method.ния, обращающий в нуль опасные члены, определяет стабильное основноесостояние (сравните с разд. I.12.7). Покажите, что для гамильтонианаWe can straightforwardly check that the quasiparticle operatorsспаривания получившиеся параметры совпадают с теми, которые былиgenerateметодом.model have exactly the same properties in the realistic caнайдены вариационнымthe appropriateпроверить,amplitudesv .
Indeed, let usact by the quasipaМы можем непосредственночтоu,квазичастичныеоператоры,††Oerator b λ , модели,(22.46),имеютonto thegroundstate(22.59).The term u λ aO λнайденные в вырожденнойточнотакие жесвойствав реалистическом случае,они определеныс соответствующимиамплитудамиin еслиthe emptyorbital jλ)which had the amplitudeu λ . The termthe time conjugate partner from the condensate pair where it was16.9. Спектр возбуждений437, .
Действительно, подействуем оператором рождения квазичастицы^† , уравнение (16.46), на основное состояние (16.59). Член ^† помещаетчастицу в пустую орбиталь |), которая имела амплитуду . Член ^˜уничтожает -сопряжённого партнёра из конденсатной пары, которая присутствовала с амплитудой . Суперпозиция этих двух амплитуд даёт, всогласии с (16.44),}︁∏︁ {︁††^† |0⟩ = ^′′^−(16.85) ′ |vac⟩,′ ̸=что есть в точности состояние (16.44) с = 1.Задача 16.7Проверьте, что основное состояние (16.59) удовлетворяет вакуумномуусловию для квазичастиц (16.54).16.9.
Спектр возбужденийВеличина , введённая в процессе решения, уравнение (16.71), имеетважный физический смысл, оправдывающий это обозначение. Эта энергиясвязана с дополнительной валентной частицей, которая блокирует уровнипар и уменьшает общий выигрыш энергии при образовании конденсата.Добавим частицу на орбиту к спаренной чётной системе и вычислимэнергию получившегося состояния. При этом добавляется энергия занятой орбиты относительно энергии Ферми (′ ) и вместо энергии удаляемойпары 2′ 2 в (16.65). Но вблизи Σ одночастичная энергия ′ мала, добавочная частица попадает почти на поверхность Ферми. Однако есть другойэффект, связанный с блокировкой состояния пары, ставшего недоступнымдля рассеяния других пар.
Этот вклад оказывается конечным на Σ из-засуммирования по многим состояниям пар. Эффект происходит от второгочлена в (16.65), где мы должны теперь вычеркнуть вклады заблокированной орбиты из обеих сумм, по и по ′ , что даёт равные вклады. Врезультате полная энергия, связанная с добавочной частицей, равна∑︁ = ′ (1 − 22 ) − 2 (16.86)′ ′ ′ .′Сумма в (16.86) равна −Δ , уравнение (16.69).
Используя значенияпараметров (16.71,16.74) и (16.75), мы приходим к(︂)︂′(′ )2 + Δ2Δ′ = 1 − 1 +−2(−Δ ) = = .(16.87)2!438Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимостьVladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap. zelevinskyc22 — 2010/10/5Таким образом, величину можно назвать энергией квазичастицы. Именно эта энергия добавляется к системе при возбуждении, производимомоператором рождения квазичастицы (16.44). Теперь смысл термина энергетическая щель становится яснее. На Σ собственная энергия добавляемойчастицы стремится к нулю, но минимальная энергия возбуждения конечнаи равна Δ. Она происходит исключительно от блокирующего влияния474частицы22 Fermionandпары.Superconductivityдобавочнойна всеPairingдругиеEk∆0~10–4 EFkFkFРис.
16.2. СпектрFigureодночастичныхвозбужденийвблизиspectrumповерхностив си22.2 Single-particleexcitationnear Фермиthe Fermisurface in a paстеме соспариваниемroughestimate of the gap is given for a typical superconducting metal.В нормальной макроскопической системе спектр одночастичных возбужOtherwise, the single-particle spectrum would be linear in momдений вблизи Σ является линейной функцией импульса:(22.89) as for a massless particle. The excitations now have mix =as()− ≈ in(the− quasiparticle), > . canonical(16.88)natureembodiedtransformationTo excite an even system, we need to break one of the pairs. If theТо же верно и для дырочных возбуждений:the single-particle orbits λ and λ 0 after that, the associated excitatio = − () ≈ ( − ), < ;(16.89)Wλ λ 0 D E λ C E λ 0 .в обоих случаях — скорость на поверхности Ферми.
Этот спектр имеетдве ветви, для частиц и дырок, которые соединяются на Σ , где энергияObviously, such excitations start from a higher threshold equal toвозбуждения обращается в нуль (рис. 16.2). В системе со спариваниемthat поведениеsignals theсоappearanceof twoSuch a patternмы имеем плавноещелью Δ наΣ . quasiparticles.Подобно уравнениюsuperfluidityin macroscopicsystems.Indeed, вtheДирака, щель (16.71)играет рольмассы в спектревозбуждений,её Landauотсут- criterionствие одночастичныйспектрбылбылинейнымпоимпульсу(16.88,16.89),(21.43) determines the finite critical velocityкак для безмассовой частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
