1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Спаривание фермионов и сверхпроводимостькак видно из (16.47,16.48) и (16.45) с учётом правил ^ = −^ ˜˜ и приотождествлении конденсатов в обоих членах (16.45). Поэтому основноесостояние конденсата является вакуумным состоянием для квазичастиц.Легко найти обратное преобразование к (16.46) и (16.48):^ = ^ − ^†˜ ,^† = ^† − ^˜ .(16.55)С учётом (16.54) среднее значение оператора числа фермионов (11.16) восновном состоянии |0⟩ оказывается равным = ⟨0|^ |0⟩ = 2 ⟨0|^˜ ^†˜ |0⟩ = 2 .(16.56)В вырожденной модели (16.47) средние числа заполнения для основногосостояния однородны во всём пространстве: =.Ω(16.57)Таким образом, амплитуды и характеризуют распределение частиц восновном состоянии√√ = , = 1 − .(16.58)За исключением амплитуд (16.47), которые в этом специфическом случаене зависят от одночастичных квантовых чисел, существенные результатыдля произвольной невырожденной схемы одночастичных уровней оченьпохожи.
Любой оператор для исходной фермионной системы может бытьпереведён на язык квазичастиц с помощью канонического преобразования,что позволяет вычислять все матричные элементы физических величин.Цена, которую необходимо заплатить за это упрощение, — несохранениечисла частиц.16.6. Теория БКШ. Пробная волновая функцияВооружившись точными результатами в вырожденной модели, мы можемразработать более общий подход, применимый в реалистических ситуациях.Это было впервые сделано в статьях БКШ [100,101] о микроскопической теории сверхпроводимости. Хотя этот метод является приближённым, можнопоказать, что он даёт точные результаты в пределе больших макроскопических систем. В конечных системах, таких как ядра, как мы уже упоминали,в некоторых случаях точность этого подхода недостаточна.16.6.
Теория БКШ. Пробная волновая функция429Рассмотрим общий гамильтониан спаривания для Ферми-системы. Онсостоит из независимых частиц с энергиями и спаривательного взаимодействия с матричными элементами, задаваемыми уравнением (16.25).Схема одночастичных уровней произвольна, но сила спаривания предполагается малой по сравнению с энергией Ферми (это может быть невернодля высокотемпературных сверхпроводников).
Спаривание эффективно внекотором слое около поверхности Ферми Σ . Плотность одночастичныхуровней на Σ (разд. 13.1) играет важную роль в конечных результатах.Одночастичные орбиты подразделяются на Крамерсовские дублеты˜ вырожденные в силу предполагаемой -инвариантности. Мы приме(, ),ним вариационный метод.
Построим пробную волновую функцию основного состояния, учитывающую существование конденсата пар, и найдём еёпараметры путём минимизации энергии основного состояния 0 .Спаривательное взаимодействие перемещает пару из одного дублета состояний в другой. Для разорванной пары взаимодействие гораздо слабее, имы пренебрежём им, как делали раньше. Неспаренная частица вредна длявсех прочих пар из-за эффекта блокировки. Поэтому мы предположим, чтов основном состоянии для чётного числа частиц нет дублетов состояний,занятых только одной частицей.
В этом приближении пары всегда движутся по доступному пространству как единое целое. Волновая функцияосновного состояния — это суперпозиция компонент с разными числамизаполнения дублетных состояний. Мы возьмём средние числа заполненияв качестве вариационных параметров. Соответствующие амплитуды — этопараметры и , уравнение (16.58).
В соответствии с -инвариантностью,числа заполнения обеих компонент дублета одинаковы. Для каждого дублета = ˜ даёт амплитуду вероятности найти обе компоненты дублетазанятыми, тогда как = ˜ даёт амплитуду вероятности того, что обаэтих состояния пусты. Сумма вероятностей равна 1, уравнение (16.49),поскольку мы пренебрегли вероятностями частичного заполнения толькоодного из дублетных состояний.Приближённая волновая функция может быть записана как произведениепо всем дублетам:}︁∏︁{︁|0⟩ =(16.59) − ^† |vac⟩.Здесь оператор^† = ^† ^†˜(16.60)430Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимостьаналогичен (16.3) для данного дублета и, в отличие от (16.3), каждый дублетпредставлен только одним множителем в бесконечном произведении (16.60),где |vac⟩ означает абсолютный вакуум, вообще без частиц.Очевидный недостаток изящно выглядящей волновой функции (16.60) —она не сохраняет число частиц.
В бесконечном произведении (16.59) естьдаже ненулевая амплитуда, происходящая от перемножения всех множителей , соответствующая пустому состоянию |vac⟩; произведение всехмножителей даёт бесконечно много частиц; присутствуют также всепромежуточные случаи. Однако это обычная ситуация в статистическоймеханике макроскопических систем, где невозможно следить за точнымсохранением гигантского числа частиц.Соответствующий рецепт статистической механики рекомендует использовать большой канонический ансамбль, где система считается открытой и¯ .
Нужное среднеечисло частиц флуктуирует вокруг среднего значения значение обеспечивается введением химического потенциала , как мы этоделали для бозонов в присутствии конденсата в разд. 15.2: гамильтониан^ заменяется на^′ = ^ − ^.(16.61)Все собственные состояния зависят от значения , которое потом выбирает^ по основному состоянию равнося таким образом, что среднее значение нужному среднему числу частиц^ ⟩ = ¯.⟨(16.62)Это уравнение задаёт необходимое значение .В равновеснойрас√ макроскопической системе флуктуации числа частиц√¯ ∼ 1/ . Этотут как Δ ∼ , и их относительная роль мала, Δ/то же самое, что и раньше, когда мы пренебрегали различием конденсатов.В ядерных задачах может быть желательно улучшить приближение, убравфиктивные флуктуации числа частиц.
Здесь мы будем действовать, как встатистической механике, вводя химический потенциал (16.61).Гамильтониан, обобщающий (16.27), может быть записан через одночастичные энергии и матричные элементы (16.25) как∑︁∑︁ ^† ^^′ =2′ ^ +(16.63)′ ′ ,′где суммы теперь берутся по дублетам. Здесь одночастичные энергиисдвинуты на химический потенциал, ′ = − . Практически спаривание16.7. Минимизация энергии431сконцентрировано вблизи Σ , так что химический потенциал совпадаетсо своим невозмущённым значением , уравнение (13.9). Наша пробнаяволновая функция предполагает ненулевое заполнение ( ) выше Σ иприсутствие дырок ( ) ниже Σ .
Это дало бы более высокую энергиюдля невзаимодействующих частиц. Но этот проигрыш будет более чемскомпенсирован выигрышем в энергии взаимодействия.16.7. Минимизация энергииВычислим среднее значение0 = ⟨0| ′ |0⟩(16.64)сдвинутого гамильтониана (16.63) по пробному состоянию (16.59). Истиннаяэнергия системы в этом приближении отличается от этого значения на⟨ ⟩.В члене независимых частиц оператор ^ просто заменяется на своё среднее значение 2 . В члене взаимодействия рассмотрим элемент с переходом′ → для ̸= ′ . Он даёт ненулевой вклад в (16.64), если в начальномсостоянии (правая часть матричного элемента (16.64)) дублет ′ заполнен(амплитуда ′ ), а дублет пуст (амплитуда ). С другой стороны, вконечном состоянии (левая сторона матричного элемента) дублет ′ должен быть пуст (амплитуда ′ ), тогда как дублет заполнен рассеяннойпарой (амплитуда ).
Множители произведения (16.59), не участвующиев рассматриваемом процессе, проносятся без изменений и дают 1 в силунормировки (16.49).Мы приходим к полной энергии в виде суммы энергий независимыхчастиц и вкладов всех возможных процессов рассеяния пар∑︁∑︁0 =2′ 2 +(16.65)′ ′ ′ .′∑︀ 4Диагональные члены взаимодействия с ′ = дают — однократную сумму вместо двойной суммы в (16.65).
Поэтому их вклад меньше намножитель ∼ Ω и может быть опущен.Чтобы произвести минимизацию по и , связанным условием нормировки (16.49), мы выражаем их через числа заполнения, как в (16.58):∑︁∑︁√︀0 =2′ + (1 − )′ (1 − ′ ).(16.66)′′432Глава 16.
Спаривание фермионов и сверхпроводимостьВсе независимы, поскольку о сохранении числа частиц (в среднем)заботится химический потенциал.Варьирование энергии (16.66) даёт систему уравнений0=0(16.67)для каждого . Индексы и ′ в (16.66) эквивалентны, и каждый из нихможет совпадать с внешним в (16.67). Мы оставляем только один вклади умножаем результат на 2. Дифференцирование приводит к∑︁√︀1 − 22′ + 2 √︀′ (1 − ′ ) = 0.′2 (1 − ) ′Введём обозначение∑︁∑︁√︀Δ = −′ (1 − ′ ) = −′′ ′ ′ .′(16.68)(16.69)′Знак минус выбран потому, что нас интересует случай притяжения, когдаматричные элементы в основном отрицательны. Условия минимума (16.68)принимают вид√︀2′ (1 − ) = Δ (1 − 2 ).(16.70)Стоит ввести ещё одно обозначение:√︁2 = + ′2 +Δ .(16.71)Тогда после простой алгебры мы получаем решение квадратного уравнения (16.70) для чисел заполнения =′ )︁1 (︁1± .2(16.72)Величина Δ , уравнение (16.69), аккумулирует эффекты спаривания.Без спаривательного взаимодействия → |′ |, так что → ∘ =′ )︁1 (︁1 ± ′ .2| |(16.73)Одночастичные энергии ′ положительны выше и отрицательны ниже .Поэтому мы должны выбрать знак минус в (16.73), чтобы гарантировать16.8.
Энергетическая щель433правильные числа заполнения, равные 1 ниже и 0 выше . Конечно, этопросто определение энергии Ферми, = .В присутствии сил спаривания величина отлична от |′ | в слое ∼ Δоколо Σ , где Δ ≪ — среднее значение Δ . Вне этого слоя можнопренебречь Δ и вернуться к невозмущённым числам заполнения (16.73).Поэтому мы опять должны выбрать нижний знак в (16.72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
