1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 66
Текст из файла (страница 66)
СверхтекучестьКак было установлено в знаменитых экспериментах Капицы и Алленаи Мизенера, 1940, жидкий 4 He является сверхтекучим при температурахниже 2, 2 K. Эта жидкость протекает без вязкости через капилляры и щели,непроницаемые даже для газов.Сверхтекучесть — одно из замечательных макроскопических квантовых явлений. Его понимание основывается на свойствах энергетическогоспектра элементарных возбуждений системы. Необходимое условие сверхтекучести было сформулировано Ландау (1941). На микроскопическомуровне трение и диссипация энергии в движущейся среде происходит черезрождение элементарных возбуждений, которые поглощают энергию глобального движения.
Но требуемые передачи энергии и импульса должныбыть взаимно согласованы, а это зависит от спектра возбуждений системы.Возьмём простейший случай однородно движущейся квантовой жидкости в лабораторной системе. Это движение ограничено стенками сосуда.Взаимодействие между стенками и системой имеет характер трения, еслирождение возбуждений (реальных, а не виртуальных) в жидкости за счёткинетической энергии разрешено законами сохранения. Тот же результат получится, если движущаяся жидкость обтекает макроскопическоепрепятствие.Удобно рассматривать систему отсчёта, в которой жидкость покоится,тогда как стенки или макроскопические тела движутся относительно неё400Глава 15.
Бозонысо скоростью u. Движущийся объект имеет макроскопическую энергию и импульс P. В элементарном акте взаимодействия стенки или препятствиепотеряют энергию Δ и импульс ΔP. В нашей системе с дискретнымквантовым спектром этот процесс создаст элементарное возбуждение симпульсом p и энергией (p). В соответствии с законами сохранения,(p) = Δ,p = P.(15.41)Поскольку для макроскопического объекта Δ = (u · P), необходимоеусловие для обмена энергией–импульсом есть(p) = (u · p).(15.42)Условие (15.42) определяет угол между импульсом новорожденного возбуждения и относительной скоростью.
Но оно может быть выполненотолько если (p) < , т.е. не при всяком спектре возбуждений. Должновыполняться очевидное ограничение, что относительная скорость должнапревышать критическую скорость (см. рис. 15.2):(︂)︂() > , = min.(15.43)Если этот критерий Ландау выполнен, то относительное движение будетзатухать. При скоростях меньше критического значения обмен энергией иимпульсом, связанный с рождением элементарного возбуждения, запрещён.Тогда система является сверхтекучей.В идеальном (невзаимодействующем) Бозе-газе в основном состоянии всечастицы находятся в конденсате. Элементарное возбуждение, создаваемоеоператором ^†p ^0 , переводит частицу из конденсата в состояние p ̸= 0 и требует энергию (p) = p2 /2.
В соответствии с (15.43) критическая скоростьравна нулю. Это значит, что коллективное движение такого газа как целогоневозможно — сколь угодно слабое взаимодействие со стенками будет возбуждать отдельные частицы из конденсата, разрушая макроскопическоедвижение.Ситуация меняется в неидеальном Бозе-газе.
Даже слабое взаимодействие между частицами радикально меняет спектр, потому что идеальныйБозе-газ неустойчив из-за макроскопического усиления матричных элементов, связанных с конденсатом. Фононный спектр (15.35) удовлетворяеткритерию Ландау (15.43) с критической скоростью, равной скорости звука, = . Для течения с меньшей скоростью мы можем ожидать сверхтекуче-15.6. Канонические преобразования401сти. Из-за ротонного минимума в эмпирическом спектре гелия (рис.
15.2)критическая скорость меньше : легче родить элементарное возбуждение, соответствующее этому минимуму. В действительности критическаяскорость ещё меньше; вероятно, она определяется рождением маленькихвихревых колец.15.6. Канонические преобразованияВернёмся к выводу фононного спектра в Бозе-газе. Как мы обсуждали,операторы ^p и ^†−p дают альтернативные пути связи основного состояния ивозбуждённого состояния с одним элементарным возбуждением фононноготипа.
Пока число таких возбуждений много меньше 0 , они независимы и могут рассматриваться как новые квазичастицы, подчиняющиесястатистике Бозе.Это можно формализовать, введя квазичастичные операторы для ̸= 0как линейные комбинации операторов ^p и их эрмитово сопряжённых,совпадающие с исходными операторами ^p и их сопряжёнными при = 0,уравнение (15.26),^p = p ^p + p ^† ,(15.44)−p^† = * ^† + * ^−p ,pp pp(15.45)Это преобразование Боголюбова [89] приводит к новым бозонам, если сохраняются коммутационные соотношения[^p , ^†p′ ] = pp′|p |2 − |p |2 = 1;(15.46)в изотропной среде коэффициенты преобразования не зависят от направления импульса p = , p = .
Все операторы автоматически коммутируют, так же, как и операторы † . Таким образом, мы имеем каноническоепреобразование от старых бозонных операторов к новым; детерминантпреобразования равен 1.Линейное преобразование (15.44–15.45) при условии (15.46) можно обратить:^p = *^p − ^†−p , ^†p = ^†p − *^−p ,(15.47)Этот формализм близок к тому, что мы использовали в разд.
I.12.8 длясжатых состояний гармонического осциллятора в присутствии источника,который рождает кванты парами. Здесь, как видно на рис. 15.1, роль такогоисточника играет конденсат. Пары, рождённые при столкновении двух ча-402Глава 15. Бозоныстиц конденсата, состоят из двух различных бозонов p и −p, сопряжённыхдруг другу в смысле обращения времени.Задача 15.2Найдите оператор, соответствующий нормальной моде, p () ∝ − ,покажите, что ~ = , уравнение (15.32), и найдите коэффициенты канонического преобразования.Решение.Соотношение между коэффициентами имеет вид + 0 (0 + ) − 0 .==0 + + 0 (0 + )(15.48)С условием нормировки (15.46) мы получаем2 = + 0 (0 + ) + ,22 = + 0 (0 + ) − .2(15.49)Взяв длинноволновой предел и используя явные выражения для спектра (15.32,15.33), мы видим, что при ≪ амплитуды и возрастаютдо одного и того же значения (их разность (15.46) мала по сравнению скаждым из них):2 ≈ 2 ≈, 0 < ≪ .(15.50)2Этот результат показывает, что отношение (15.40), которое равно − / всоответствии с (15.47), действительно стремится к −1 в пределе ≪ ,как и должно быть для голдстоуновской моды, см.
уравнение (15.39).Задача 15.3Выведите все результаты альтернативным путём в формулировке, независящей от времени: введите неизвестный химический потенциал так,^ →^′ = ^ −^ ; проведите каноническое преобразование и выразитечто полный гамильтониан через новые операторы ^p и ^†p ; выделите членыс четырьмя, двумя и одним конденсатнымоператором; замените конден√сатные операторы на -число 0 ; тогда члены с двумя конденсатнымиоператорами дают квадратичную форму относительно операторов с p ≠ 0;эта форма диагонализуется как в разд. I.12.7 выбором амплитуд , ; коэффициент при диагональном члене †p^p определяет энергию элементарного15.6.
Канонические преобразования403возбуждения, которая совпадает с (15.32) после правильного выбора химического потенциала (15.20), гарантирующего отсутствие энергетическойщели в спектре элементарных возбуждений, p → 0 при → 0.Поскольку амплитуды нормальных мод ^p и ^†p являются Бозе-операторами с определённой частотой, основное состояние системы в этом приближении является вакуумным состоянием |Ψ0 ⟩ относительно этих квантов.Операторы ^p обращают в нуль вакуумное состояние^p |Ψ0 ⟩ = 0,p ̸= 0,(15.51)тогда как операторы рождения создают кванты нормальных мод^† |Ψ0 ⟩ = |p⟩.p(15.52)Теперь мы находим плотность надконденсатных частиц (15.17)p = ⟨Ψ0 |^†p ^p |Ψ0 ⟩.(15.53)С помощью канонического преобразования (15.47) и вакуумных правил(15.51) мы получаемp = 2 ≈,(15.54)2где последнее выражение верно при ≪ .
Уравнение (15.54) даёт хвостмакроскопической плотности конденсата при малых, но ненулевых импульсах.Задача 15.4Найдите числа заполнения при больших импульсах ≫ .Решение.(︂p ≈)︂4, ≫ .(15.55)Поскольку при ≫ числа заполнения быстро падают, мы можемоценить полную плотность надконденсатных частиц как∫︁3 1 (︁ )︁3>0 ≈=.(15.56)38 2~< (2~) 2404Глава 15. БозоныВесь этот подход работает, если большинство частиц всё ещё находятся вконденсате.
Уравнения (15.56) и (15.35) показывают, что√︂(︂)︂>010 0 3/20 3= 2=,(15.57)208 0~где — длина рассеяния (15.6). Мы видим, что √малым параметром приближения слабо неидеального Бозе-газа является 0 3 ∼ (/0 )3/2 .Задача 15.5Найдите аномальное среднее значение (15.18).Решение.Δ = − = −.2(15.58)В длинноволновом пределе Δ ≈ (−/2).15.7.
Фононы как волны плотностиДополнительный взгляд на ситуацию даётся описанием в терминах координатных переменных.Оператор рождения элементарного возбуждения (15.45) в длинноволновом пределе (15.50), когда и приближённо равны, имеет вид^† ≈ (^† + ^−p ).pp(15.59)Сопоставим это с оператором флуктуаций плотности (11.41). В многочастичном представлении этот оператор использовался для вывода правиласумм (разд. I.7.9). В импульсном представлении вторичного квантованиямы имеем вместо (I.7.145) выражение (14.89) для бесспиновых бозонов∑︁ †^p =^p+p′ ^p′ .(15.60)p′В области малых импульсов слабо неидеального Бозе-газа операторы сp = 0 соответствуютмакроскопическим числам заполнения, и их можно√заменить на 0 . Тогда флуктуация плотности связана с возбуждениемчастиц из конденсата, и после этой подстановки уравнение (15.60) сводитсяк)︁√︀ (︁^p ⇒ 0 ^p + ^†−p .(15.61)15.7.
Фононы как волны плотности405Здесь два члена происходят от p′ = 0 и p′ = −p в сумме (15.60) соответственно. Поэтому элементарное возбуждение Бозе-газа, создаваемоеоператором (15.59), является в фононной длинноволновой области ничеминым, как флуктуацией плотности, распространяющейся как волна с определённым импульсом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
