1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Оператор рождения ^†k такого состояниядолжен быть суперпозицией локальных переворотов спинов с фазами,определяемыми квазиимпульсом∑︁−(k·a)^† = √1^(−), k (14.69)14.4. Спиновые волны375и временно́й зависимостью ∝ exp[(k)]. Обратное преобразование, в соответствии с (14.28), — это1 ∑︁ ^† (k·a)^(−)=√ . k k(14.70)Таким же образом, как в уравнениях (14.13,14.14), мы вводим∑︁∑︁∑︁k =(a − b)k·(a−b) =(b)−(k·b) ; 0 =(b).b(14.71)bКоординатная зависимость в виде бегущей волны воспроизводится вовсех членах, и мы получаем энергетический спектр~k = (0 − k ).(14.72)Легко видеть, что (в ферромагнитном случае) 0 > k , и энергия возбуждения (14.72) положительна.
Как мы и ожидали,lim k = 0,→0(14.73)что соответствует голдстоуновской моде, генерируемой оператором∑︀ (−)= (−) бесконечно малого глобального поворота всех спинов без изменения энергии.Задача 14.6Найдите спектр спиновых волн для периодической линейной цепочкиспинов с периодом и взаимодействием ближайших соседей, ,+1 =+1, = > 0.
Рассмотрите длинноволновой предел точного решения.Решение.Уравнение (14.72) даёт(︁)︁~ = 2 1 − cos() .(14.74)При ≪ 1 мы получаем закон дисперсии~ = 2 2 ,(14.75)начинающийся с нуля и подобный частице с эффективной массой ~2 /22 ,примерно на порядок тяжелее массы электрона.376Глава 14. Коллективные возбужденияВолновая функция спиновой волны может быть записана как ∑︁ −(k·a) (−)|k⟩ = ^†k |0⟩ = √^ |0⟩, (14.76)синхронизованная суперпозиция состояний с переворотом отдельных спинов.Задача 14.7Нормируйте состояние спиновой волны соответственно⟨k|k′ ⟩ = kk′ .(14.77)Решение.√Нормировочный множитель в уравнении (14.73) равен = 1/ 2.Теперь мы можем ввести нормированные операторы рождения спиновойволны1 ∑︁ (−) −(k·a)^ (14.78)^†k = √2 и определить сопряжённые операторы уничтожения, осуществляющие переход ⟨0| · · · |k ⟩ обратно в основное состояние^k = √1 ∑︁ (+) (k·a)^ .2 (14.79)Они удовлетворяют коммутационным соотношениям[^k , ^†k′ ] =1 ∑︁ [(k·a)−(k′ ·b)] (+) (−)[^ , ^ ].2(14.80)Коммутатор в правой части уравнения (14.80) равен 2 , так что[^k , ^†k′ ] =1 ∑︁ (k−k′ )·a ^ .
(14.81)В любом симметричном по спинам состоянии среднее значение ⟨ ⟩ независит от и определяется средним значением полной проекции ,⟨symm| |symm⟩ =⟨ ⟩.(14.82)14.5. Возбуждения частица–дырка377Тогда суммирование по в уравнении (14.81) даёт kk′ , и мы получаемкоммутатор (14.81):⟨symm|[^k , ^†k′ ]|symm⟩ =⟨ ⟩.(14.83)В основном состоянии это точно 1, тогда как в состоянии спиновой волнымы вместо этого имеем ( − 1)/ . При очень больших поправка пренебрежимо мала для всех состояний, где число перевёрнутых спинов мало посравнению с полным числом , и, игнорируя её, мы можем рассматриватьквантованные спиновые волны как гармонические кванты, магноны.
Рольпоправки возрастает с числом возбуждённых магнонов. Это приводит кновому, кинематическому, взаимодействию магнонов, которое может бытьописано [79] с помощью преобразования Холстейна— Примакова от спиновых операторов к бозонным (см. задачу II.1.8 и последующее обсуждение).Оно должно быть добавлено к нормальному динамическому взаимодействию, которое может предпочитать образование комплексов перевёрнутыхспинов. Отличие от статистики Бозе особенно ярко выражено для спина = 1/2. Действительно, в случае бозонов мы должны иметь возможностьсоздать одно и то же возбуждение несколько раз. Однако для спина 1/2возможен только один переворот, так что узел с перевёрнутым спином неможет участвовать в дальнейших возбуждениях.Антиферромагнитный случай < 0 гораздо более сложен.
Даже вслучае взаимодействия только ближайших соседей и спина 1/2 определениеосновного состояния требует более мощных методов (анзац Бёте, 1931).Хотя ясно, что соседние спины предпочитают быть в синглетном состоянии пары, данный спин не может быть в синглетном состоянии с обоимисоседями одновременно.
Можно также упомянуть системы типа квантового стекла, где константы взаимодействия различных пар принимаютслучайные значения, включая случайный знак. Численные экспериментывроде бы указывают, что в этом случае спин основного состояния может√принимать любое значение, но в среднем он растёт с числом спинов ∝ ,как и можно было бы ожидать при случайных константах связи отдельныхспинов.14.5.
Возбуждения частица–дыркаВ однородном Ферми-газе простейшие возбуждения можно получить изосновного состояния, перемещая частицу из моря Ферми в более высокоеодночастичное состояние. Этот процесс создаёт пару из частицы выше2m2mwhere v F D p F /m is the velocity of particles on ΣF . Theappear in (20.86) since at P D 2p F , the overlap betw378Глава 14. andКоллективныевозбужденияFigure 20.3 disappearsafter that,we do not have astates as they can be taken at any position inside ΣF .Σ и дырки внутри Σ . Например, ıобменный процесс, показанный наThe energies E (p, P ) form a continuum for each valuрис. 13.4, b, можно интерпретировать как виртуальное рождение частицыparticle–holepair.соInвнешнейthe longwavelength(p, ) и дырки of(p′ ,the) привзаимодействиичастицей(p, ).
limit, P′После взаимодействиячастицаимпульс ptheи заполняетof theвнешняяcontinuumisполучаетapproximatelystraight line withсвободное состояние дырки (аннигилирует с дыркой, как в теории Дирака),All possibleexcitationshave the group velocity smaller tтогда как вторичнаячастица продолжаетраспространение.!k|p|<pF|p+!k|>pF|p+!k|>pF|p|<pFРис. 14.3. Рождение пары частица–дырка внешним полемFigure 20.3 Domain of formation for particle–hole states.Любое внешнее поле, сохраняющее число частиц, может рождать толькопарные возбуждения частица–дырка. Рассмотрим процесс, когда системаполучает импульс P, и частица переходит в состояние p + P выше Σ ,оставляя дырку в состоянии p (рис.
14.3). Это состояние можно получитьдействием двух одночастичных операторов на невозмущённое основноесостояние |0⟩ Ферми-газа|Φ∘ (p, P)⟩ = ^†p+P ^p |0⟩.!(14.84)Возбуждение может сохранить или перевернуть спин возбуждаемой частицы, но мы здесь опускаем спиновые индексы орбиталей частицы и дырки.Энергия возбуждения этого состояния с полным импульсом P равна ∘ (p, P) =(p + P)2p2(p · P)P2−=+.222(14.85)Такое состояние возможно только при |p| < и |p + P| > .Найдём область возможных значений энергии возбуждения (14.85) какфункцию полного импульса P этого комплекса. Для данного значения14.5. Возбуждениячастица–дырка426 20 Collective Excitationsωω=379!k2+kυF2mPlasmonsω0ω(p, k)Zerosoundω=PF!2pF!!k2 –kυF2mkFigure20.4КонтинуумContinuum ofсостоянийparticle–holestates.Рис.14.4.частица–дыркаproduces in the Fermi gas a wave with wave vector k and frequency ω that haP импульс дыркиp velocityможет dнаходитьсяразностиобъёмовsuch a waveturns outto be inдвухresonance with sgroupω/d k < v F , внутрисфер Ферми, сдвинутых на −P по отношению друг к другу (см.
рис. 14.3).of the particle–hole excitations of the same velocity inside the continuum.Различные углы между партнёрами в паре частица–дырка определяютweak interaction between them would lead to a resonance energy transfer(рис. 14.4) возможные значения энергии возбуждения:the external wave to a particle–hole mode with the same quantum numbers.interaction would rapidly transformenergy of the wave into pair excitations2∘0<(p,P)6+,andmomentum< 2 ;the conservation laws of energyfulfilled, and the wave will we2(Landau damping).
In contrast, dissipation is much smaller for waves with en 2and momentum 2 continuum since it would require the simultan− 6 ∘ (p,outsideP) 6 the + , > 2 ,(14.86)2creation of several particle–hole2pairs, which is much less probable.где = / — скорость частицы на Σ . Два разных выражения появляются в (14.86), поскольку при = 2 перекрытие между сферами Фермина рис. 14.3 исчезает,20.6 и после этого нет никаких ограничений на состояниядырки, их можнобратьFluctuationsв любом месте внутри Σ .Density∘Энергии (p, P) образуют континуум для каждого значения полногоимпульса P парыВ theдлинноволновом appearance≪ The частица–дырка.interaction betweenfermions opens пределеthe way forof waveверхняя границаконтинуумаприближённоявляетсяпрямойлинией с continuum)excitationswith noLandau damping(outsidethe particle–holeнаклоном ∘ /= .hereВсеtheвозможныевозбуждениягрупповуюconsiderclass of suchwaves that areимеютconnectedto density oscillations.скорость меньше.ЕсливнешнееполесоздаётвФерми-газеволнусcharacteristicquantum operator is that of the density fluctuation,волновым вектором k и частотойX , имеющую групповую скорость / <†a) , то такая волна оказываетсяв резонансес некоторыми возбуждениямиe i(k!r.(2!O k Daчастица–дырка с той же скоростьювнутри континуума.
Любое слабоевзаимодействие между ними привело бы к резонансной передаче энергииTheHermitianconjugateсoperatorwas introducedin Vol. Это1 Equation 7.145от внешней волнымодечастица–дыркатеми же!O kквантовымичислами.used for the derivation of the sum rule (see Vol. 1 Equation 7.146). Note the limvalue†!O0 D !O0 D NO ,(2380Глава 14.
Коллективные возбуждениявзаимодействие быстро преобразовало бы энергию волны в возбуждениячастица–дырка при выполнении законов сохранения энергии и импульса, иволна стала бы слабее (затухание Ландау). В противоположность этому,диссипация гораздо меньше для волн, энергия и импульс которых находятсявне континуума, поскольку она бы потребовала одновременного рождениянескольких пар частица–дырка, что значительно менее вероятно.14.6. Флуктуации плотностиВзаимодействие между фермионами открывает возможность появленияволновых возбуждений без затухания Ландау (вне континуума частица–дырка). Мы здесь рассмотрим класс таких волн, связанных с флуктуациями плотности. Характерный квантовый оператор — это флуктуацияплотности∑︁^†k =(k·r ) .(14.87)Эрмитово сопряжённый оператор ^k был введён в (I.7.112) и использовалсядля вывода правила сумм (I.7.113).
Обратите внимание, что предельноезначение^^0 = ^†0 = (14.88)— оператор числа частиц.Задача 14.8Найдите выражение для оператора (14.87) во вторично-квантованномвиде в базисе плоских волн.Решение.Оператор (14.87) — Фурье-компонента оператора плотности (11.41). Поопределению из разд. 11.6,∑︁ †^†k =^p′ ′ ^p (p′ ′ |(k·r) |p).(14.89)p′ p ′ Интегрирование в матричном элементе даёт символы сохранения спина иимпульса p′ ,p+~k ′ , и в результате^†k =∑︁p^†p+~k, ^p .(14.90)14.6. Флуктуации плотности381Действуя на основное состояние, оператор ^k создаёт однородную комбинацию всех возбуждений типа частица–дырка, доступных в континуумерис. 14.4 вдоль вертикальной прямой с полным импульсом P = ~k.Мы предполагаем, что частицы взаимодействуют попарно через потенциал (r − r ), зависящий от относительных координат пары,^ =^ +^=∑︁ p^ 22+1 ∑︁ (r − r ).2(14.91)Такое взаимодействие можно выразить в терминах операторов флуктуацииплотности)︁∑︁ (︁ †^=1^ ,k ^k ^k − (14.92)2kгде использовались определения (14.87) и (14.88) вместе с Фурье-компонентойk потенциала взаимодействия (r) =1 ∑︁k (k·r) .(14.93)k^ в (14.92) компенсирует добавленный член с r = r .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
