1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Но звуковаяволна в пределе → 0 есть просто общий сдвиг всех атомов, поскольку фаза колебаний всех атомов одинакова. Этот предел коллективноговозбуждения эквивалентен свободной трансляции в другое вырожденноеосновное состояние, что не требует добавочной энергии, поэтому →0 → 0.Эти аргументы представляют простой пример общей теоремы Голдстоуна,которая утверждает присутствие ветви в спектре возбуждений, имеющейнулевую энергию в длинноволновом пределе и восстанавливающей нарушенную симметрию (Голдстоуновская мода). Строго говоря, это утверждениесправедливо только в пределе большой системы, когда можно игнорировать дискретность волновых векторов и говорить о непрерывном спектревозбуждений.364Глава 14.
Коллективные возбужденияFrequencyFrequency20.2 PhOpticalbranchAcousticbranchka–π(a)0πka–π(b)0πline showsextrapolation of thFigure20.1 (a)одномернойThe frequencyspectrumРис. 14.1.Спектрыцепочкиатомов: a —dashedчастотныйспектрthe(14.21)одномернойцепочки со взаимодействиемближайшихregime; (b)соседей;acousticмакand optical bran(20.21)of the one-dimensionalchain with√︁ ear(0)two atoms in the elementary cell, Profor2 , пунктирные линии —2C(0) b — акустическаяlem20.3.и оптическая ветвилинейнаяэкстраполяцияспектра;, themum frequency at jk aj D π isthe closestneighborinteraction;the=maxiсимальнаячастотапри || равнаqMдля двух атомов в элементарнойячейке (задача 14.3)by the choice of the position of the chain, although all other positions wouequivalent with the same energy.
The symmetry is restored by the existence14.2.finitelyФононыmany degenerate ground states which only differ by the global shift. Hever, the sound wave in the limit of k ! 0 is just a common shift of all atomshere, the vibrational phase of all atoms is the same. This limit of collectiveОбщеерешениединамическойдля периодическойдаётсяtationis equivalentto the задачиfree transitionto anotherцепочкиdegenerateground stateпроизвольной эрмитовой суперпозицией нормальных модdoes not require extra energy. Therefore, ω k!0 ! 0. These arguments pr}︁∑︁ {︁−()a simple exampleGoldstonetheorem^ general^ () = of the+ ^† −+. that establishes(14.23) a presencebranch of the excitationspectrum that, in the long wavelength limit, has zerergy and spontaneously restores broken symmetry (Goldstone mode).
Strictly sМы можем найти коммутационные свойства операторных амплитуд ^ иing, the statementis validonly inкоординатthe limit ofa large systemwhen one can ig^† , вернувшиськ исходнымоператорами импульсовотдельныхthe которыеdiscrete удовлетворяютquantization ofприtheравныхwave vectorsandсоотношениюspeak of the continuous excitатомов,временахspectrum.[^ , ^ ′ ] = −~ ′ .(14.24)В терминах нормальных мод (14.23) импульс атома выражается как20.2{︁}︁∑︁† −+ −()^^^=˙=−()−.(14.25)PhononsThe general solution of the dynamical problem for the periodic chain is givean arbitrary Hermitian superposition of normal modes,14.2.
Фононы365Коммутатор (14.24) не должен зависеть от времени. Это возможно толькоесли[^ , ^′ ] = [^† , ^†′ ] = 0, [^ , ^†′ ] = ′(14.26)с некоторой действительной амплитудой . Тогда мы получаем)︁∑︁ (︁′′[^ , ^ ′ ] = − (− ) + * −(− ) .(14.27)Множитель ′ , который требуется в (14.24), появляется, если независит от , потому что сумма по всем модам даёт∑︁′(− ) = ′ .(14.28)Поэтому = ~/2 . Вводя по аналогии с квантованием электромагнитного поля новые операторы√︃√︃~~†^ =^ , ^ =^† ,(14.29)2 2 мы получаем алгебру осцилляторных операторов рождения и уничтожения,[^ , ^′ ] = [^† , ^†′ ] = 0,[^ , ^†′ ] = ′ .(14.30)Эта интерпретация подтверждается тем, что временная зависимость этихоператоров, exp(−) для оператора уничтожения и exp() для операторарождения (с положительным ), соответствует смыслу этих операторов(разд.
II.13.3 и I.11.8).Окончательное выражение для атомных переменных через нормальныемоды колебаний решётки имеет вид√︃{︁}︁∑︁~^ () =^ −() + ^† −+ .(14.31)2 Производя ту же реинтерпретацию в терминах частиц, что и в случае фотонов (разд. II.13.3), мы приходим к картине фононов, квантов колебательногодвижения многочастичной системы. В этом одномерном примере фононыхарактеризуются своим волновым вектором (квазиимпульсом в первой зонеБриллюэна) и соответствующей частотой () или энергией ~().
У насесть явные выражения для физических величин через операторы рождения366Глава 14. Коллективные возбужденияи уничтожения фононов, которые удовлетворяют статистике Бозе (14.30)вне зависимости от статистики исходных ионов.Задача 14.2Покажите, что те же правила квантования следуют из условия, чтоисходный гамильтониан (14.1,14.2) имеет вид(︂)︂∑︁1^^ = 0 +~() +,(14.32)2где операторы фононных чисел заполнения с целыми собственными значениями равны^ = ^† ^ .(14.33)14.3.
Фононные модыВ общем случае трёхмерной решётки с несколькими атомами в элементарной ячейке можно обобщить результаты, полученные для линейнойцепочки. Но имеет смысл подчеркнуть несколько новых особенностей.Задача 14.3Найдите фононный спектр линейной цепочки с чередующимися атомами и .Решение.Гамильтониан цепочки с элементарной ячейкой из двух атомов даётсявыражением ( = )^ =∑︁ (^ )22+ 0 +1 ∑︁ ( − ′ )^ ^′ .2 ′(14.34) ;Трансляционная инвариантность требует, как и в (14.5),∑︁ () = 0.(14.35)Уравнения движения имеют вид¨ +1 ∑︁ ( − ′ )^′ = 0. ′(14.36)14.3. Фононные моды367Мы вводим амплитуды с определённым квазиимпульсом^ () ∝ exp[−()], как в (14.9), и приходим к системе двух связанныхуравнений:^ = 2 ())︁1 ∑︁ ^ (︁∑︁ 1 ∑︁ ^ () ≡ .(14.37)Эта система даёт две ветви спектра (рис. 14.1, b):⎡⎤√︃(︂ (︂ )︂ )︂2 )24(12⎦.+ ±− +±() = ⎣2 (14.38)Их свойства можно понять в длинноволновом пределе.
Из (14.35) следует,что в этом пределе0 = 0 = −0 ≡ (14.39)и2lim −() = 0,(14.40)→02lim +() = →0(︂11+ )︂.(14.41)Нижняя ветвь (14.40), начинающаяся с нулевой частоты, это опять Гол^ = ^ обедстоуновская мода, и из (14.38) мы находим, что в этой моде подрешётки движутся вместе, как единое целое.
Верхняя ветвь начинаетсяс конечной частоты (14.41), и соответствующие амплитуды удовлетворяют + = 0, т. е. центр масс элементарной ячейки остаётся в покое,и мы имеем только относительное движение двух атомов в ячейке в противофазе, которое определяется приведённой массой двух атомов. Нижняя,акустическая, ветвь соответствует звуковым волнам и имеет спектр, начинающийся с линейной зависимости (), как можно увидеть из разложенияпри малых . Верхняя, оптическая, ветвь с конечным (0) — это аналогмолекулярных колебаний, распространяющихся от одной ячейки к другойиз-за трансляционной симметрии решётки.Пусть имеется атомов = 1, .
. . , в ячейке j; их механика характеризуется векторами смещения uj, из положений равновесия. Потенциальнаяэнергия выражается подобно (14.3),∑︁′′^ = 0 + 1j,;j^j ^j′ ′ + ...′ ′ 2 ′ ′jj ;(14.42)368Глава 14. Коллективные возбужденияСиловые константы, опять же зависящие от расстояний j − j′ , теперь являются тензорами, где индексы , . . . относятся к декартовым компонентам,поскольку деформация решётки в процессе колебаний в общем случаеанизотропна.
Любое смещение решётки как целого по-прежнему не меняетеё энергии, так что мы имеем, аналогично (14.5),∑︁′′(14.43)′ (j − j ) = 0.j′ ;′Уравнения движения атомов в этом приближении линейны:¨j, +1 ∑︁ ′′ ′ (j − j′ )^j′ ′ = 0. ′ ′ (14.44)j ;Решения — опять блоховские волны с квазиимпульсом k, но теперь, как вслучае электромагнитного поля (разд.
II.13.3), это векторная величина,^ (k)так что нам нужно ввести операторы мод как векторы поляризации bдля каждого (квантованного) значения k. Априорно мы не знаем, куда направлены эти векторы. Поэтому мы ищем решения (14.44) для нормальныхмод в виде^ (k, )(k·j) .^ j (k, ) = bu(14.45)Квантование квазиимпульса подобно тому, что было в предыдущих моделях.^ (k) удовлетворяют уравнениямКомпоненты векторных операторов bдля связанных гармонических колебаний∑︁′′¨ (k) + 1 ′ (k)^′ (k) = 0.
′ (14.46)′ (k) определены как в уравнении (14.14).Здесь силовые константы ′Таким образом, для каждого значения k мы получаем систему 3-уравнений.Частоты колебаний получаются из{︁}︁′2Det = 0.(14.47)′ (k) − ′ ′Поскольку из-за трансляционной инвариантности (14.43) имеется предельное свойство∑︁′′′lim (14.48)′ (k) =′ (j − j ) = 0,→0j14.3.
Фононные моды369система уравнений (14.46) всегда имеет три решения с равными (0)для всех атомов в ячейке, соответствующие нулевой частоте. Это нашизнакомые голдстоуновские моды, описывающие произвольное бесконечномалое смещение кристалла в эквивалентное положение без измененияэнергии. При k ̸= 0 эти корни дают акустические ветви спектра колебаний,в которых не происходит нарушения структуры внутри ячейки, и ячейкидвижутся как единое целое. В кристаллах с одним атомом в элементарнойячейке существуют только эти ветви.Остальные 3( − 1) ветвей спектра соответствуют оптическим колебаниям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
