1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(Подобнымобразом энергетически наиболее выгодная ситуация по отношению к изоспину достигается при равном числе протонов и нейтронов, см. задачу 13.1.Частицы с обоими проекциями спинов занимают одинаковые сферы Ферми,+ = − =3= 2 3 .26 ~(13.30)Энергии Ферми равны(+)(−)= =2.2(13.31)В присутствии магнитного поля ℬ = ℬ мы должны учесть дополнительную энергию взаимодействия спинов ( = −||/) с полем⃗ = − ~ ℬ = ± ℬ.−(⃗ · ℬ)(13.32)Одночастичные энергии для двух проекций спина раздвигаются(±)p → p=2± ℬ.2(13.33)При данном импульсе энергия одной проекции спина превосходит энергиюдругой на 2 ℬ. Однако в минимуме полной энергии наибольшие энергиидля обеих проекций должны быть одинаковы, поскольку в противномслучае было бы выгодно перевести частицы из группы с большей энергиейв группу с меньшей.
Поэтому основное состояние характеризуется условием(+)2(+)или=(−)2(−)+ ℬ = = − ℬ,22(+)2(13.34)(−)2+ 2 ℬ = .22(13.35)Vladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap. zelevinskyc19 — 2010/10/5 — page 390 — le-tex13.2. Спиновый парамагнетизм39033519 Fermionsnp+np+B=0B≠0II° pp(+)F = pFnp–p(+)Fnp–IpF°ppF° p(–)FpIpF(–)= pF° p19.2 Displacementof the ФермиFermi surfacesfor twoпроекцийspin projectionsmagnetic field.Рис. 13.2.FigureСмещениеповерхностейдля двухспинаin вtheмагнитномполеwhere ! F is the normal Fermi energy of the gas with the full density n withoutmagnetic field. From here and (19.35),Таким образом, две поверхности Ферми в импульсном пространствеBBрасщепляются,и 3в µосновномсостоянии + < − . Смещение в слабомxDI(19.39)2!магнитном поле (рис.
F13.2)indeed, this quantity is practically always quite small.(+)2(−)2)︁2 )2/3 ~2 (︁(19.39)− determines(6theThe resultmagnetic2/3moment2/3of the system (per unit vol(13.36)+ − −=ume),222 3nможет быть вычисленоВ слабомполеµ D µ B (n ! из! n(13.35).B . смещение мало по срав(19.40)C ) D µ B nx D µ BFнению с невозмущённой энергией Ферми. 2!Мыможем положить, подобно (13.16),We obtained Pauli spin paramagnetism, partial alignment of spins in the magneticfield, and foundthe=paramagnetic(1 − ), spin−succeptibility= (1 + ),(13.37)+22@µ3nи разлагать поχ sстепенямDD µ2B (ср.
.с (13.17)):(19.41)@B2! F(+)2(−)2 − (19.12)Equationquantity2as(6 2 )2/3 ~2(︁ )︁222/3 at the Fermi surface allows us to write thisfor the density ofstates2/32/3=[︁(1 − )− (1 + )]︁χ s D µ 2B ν F . 4(19.42)(3 2 )2/3 ~24≈− = − ,(13.38)323где —Problemнормальная19.3 энергия Ферми-газа с полной плотностью без магнитного поля. Отсюда и из уравнения (13.35)Show that the result in form (19.42) is universal, being independent of the energyspectrum of the unperturbed gas3!(p).ℬ=;(13.39)2 by the field B is ∆! " µ B B. The two FermiSolution The energy layer influencedsurfaces move apart by 2µ B B, (19.35).
The number of states of each spin in thislayer is, per unit volume,336Глава 13. Фермионыпрактически всегда эта величина весьма мала.Результат (13.39) определяет магнитный момент системы (для единичного объёма)3ℬ.(13.40) = (− − + ) = = 22Мы получили парамагнетизм Паули — частичное выстраивание спинов вмагнитном поле и нашли парамагнитную спиновую восприимчивость =3= 2.ℬ2(13.41)Уравнение (13.12) для плотности состояний на поверхности Ферми позволяет записать эту величину как = 2 .(13.42)Задача 13.3Покажите, что результат в виде (13.42) является универсальным — независит от энергетического спектра невозмущённого газа ().Решение.Энергетический слой, на который влияет поле ℬ — Δ ∼ ℬ.
Две поверхности Ферми расщепляются на Δ ∼ ℬ. Число состояний каждогоспина в этом слое на единичный объём естьΔ = (1/2) Δ = ℬ.(13.43)Магнитный момент равен = Δ = 2 ℬ,(13.44)что эквивалентно (13.42).13.3. Орбитальный диамагнетизмОрбитальное движение электронов в вырожденном Ферми-газе квантуется, что подробно обсуждалось в гл. I.13. В среднем энергия каждогоуровня Ландау увеличивается на энергию нулевых колебаний ~ /2 с циклотронной частотой = ||ℬ/. Поэтому влияние магнитного поля на13.3. Орбитальный диамагнетизм337орбитальное движение должно быть диамагнитным, энергия системы увеличивается, в отличие от парамагнитного эффекта выстраивания спинов,уменьшающего энергию системы.Полная орбитальная энергия в статическом однородном магнитном полеℬ есть энергия занятых уровней Ландау.
В слабом поле ℬ ≪ внутриповерхности Ферми находится очень много уровней Ландау. Посколькумагнитное поле нечётно по отношению к обращению времени, положениеэнергии Ферми может измениться только во втором порядке по ℬ. Этоозначает, что сдвиг мал по сравнению с расстояниями между уровнями иим можно пренебречь. В основном состоянии мы занимаем уровни Ландау исоответствующие состояния продольного движения вплоть до , и полнаяэнергия на единичный объём может быть записана как∫︁ ∞)︁∑︁ (︁||ℬ=2−(,)(13.45) (, ),(2~)2 −∞где одночастичная энергия (I.13.61) описывается формулой(︂)︂12(, ) = ~ ++ ,22(13.46)и мы учли вырождение (I.13.62) каждого уровня Ландау, добавив множитель 2 для проекций спина.
Функция () в (13.45) — обычная ступенька,равная 1 при > 0 и 0 при < 0.С ростом величины ℬ увеличиваются также циклотронная частота ивместимость уровней. Поэтому уровни Ландау пересекают поверхностьФерми Σ один за другим и становятся пустыми, тогда как частицыраспределяются по оставшимся уровням ниже Σ , которые увеличиваютсвою вместимость. После каждого пересечения Σ число занятых уровнейуменьшается на 1, и вся картина приблизительно повторяется, потому чтополное число занятых уровней всё ещё огромно. Поэтому энергия системыприближённо периодична как функция /~ , или обратного магнитногополя.
Это так называемый эффект де Гааза— ван Альфена. Ниже мывычислим регулярную часть орбитального магнетизма, соответствующуюусреднению по этим осцилляциям. Относительное изменение магнитногополя между двумя перестройками ℬ/ℬ ≃ ~ / .Усреднение, которое выделяет регулярную (монотонную) часть магнитного отклика, может быть произведено путём замены дискретной суммыпо в уравнении (13.45) на интеграл с помощью формулы суммированияЭйлера—Маклорена, разд. II.13.7.
Вместо (II.13.90) мы получаем с нижним338Глава 13. Фермионыпределом ∫︁∞∞∑︁11 () ≈ () + ( + ) + ′ ().212(13.47)=1Теперь, беря = 1/2 и дополняя интеграл в (13.47) куском от 0 до 1/2(внутри этого интервала мы можем интерполировать () ≈ (0) + ′ (0)),мы приводим эту формулу к удобному виду∞∑︁=0∫︁ ( + 1/2) ≈∞ () +01 ′ (0).24(13.48)Задача 13.4Определяя орбитальную магнитную восприимчивость orb как в формуле (I.24.63), вычислите её величину для Ферми-газа [71, §59].Решение.Используем формулу суммирования (13.48) в выражении (13.45) дляэнергии.
Член с интегралом в (13.48) даёт часть энергии, которая не зависит от магнитного поля. Весь эффект происходит от поправочного члена(1/24) ′ (0), т. е. от возникновения квантованного дискретного спектра.Этот член легко вычислить прямым интегрированием по ; производнаяот () есть (). Этот член даёт1 (2) = − orb ℬ 2 ,2(13.49)где диамагнитная восприимчивость равна1orb = − 2 3(13.50)со стандартным выражением (13.12) для плотности состояний на поверхности Ферми без магнитного поля.Таким образом, орбитальный диамагнетизм (Ландау, 1930 ) Ферми-газаравен −1/3 от спинового парамагнетизма (Паули, 1927 ).
Полный результат2 = + orb = + 2 ,3(13.51)является парамагнитным. Существование диамагнитных металлов связаноглавным образом с тем фактом, что орбитальное движение электронов13.4. Вводим среднее поле339в металле имеет энергетический спектр, где масса электрона заменяетсяна эффективную массу. Если эта масса мала по сравнению с нормальноймассой электрона, то циклотронная частота увеличивается вместе с отрицательной орбитальной восприимчивостью; спиновый парамагнетизмсодержит голую массу электрона.13.4.
Вводим среднее полеВ реалистических системах частицы взаимодействуют. Если радиус взаимодействия не очень мал, в многочастичной системе на каждую частицуэффективно воздействуют по крайней мере несколько других частиц. Характерным параметром является отношение /0 ∼ 1/3 радиуса силк среднему расстоянию между частицами 0 ∼ −1/3 , где — плотностьчастиц. Если этот параметр велик или по крайней мере порядка единицы,изменение движения одной частицы не приводит к радикальному изменению сил в данном месте. Такая ситуация приближённо реализуется втвёрдых телах, а также в сложных атомах и ядрах.Мы приходим к идее эффективного поля, которое в среднем управляетдвижением частиц.
Эффективное поле производится внешним полем (еслионо приложено) и средним полем всех остальных частиц. Мы будем искатьсреднее поле, которое даёт наилучшее приближение к истинному квантовому состоянию многочастичной системы. Оптимальные одночастичныесостояния |) являются собственными состояниями этого поля. С другойстороны, занимая низшие состояния |), мы получаем слэтеровский детерминант в качестве волновой функции |Ψ⟩ всей системы. Если среднее поленайдено правильно, то частицы движутся в состоянии |Ψ⟩ таким образом,что создаваемое ими поле в среднем совпадает с исходным эффективнымполем, которое, следовательно, является самосогласованным.Простейшая версия самосогласованного поля может быть найдена спомощью приближения Хартри. Хотя пробная волновая функция |Ψ⟩даётся слэтеровским детерминантом и поэтому удовлетворяет требованиямстатистики Ферми, мы пренебрегаем влиянием антисимметрии на энергию.Например, рассмотрим атом с зарядом ядра и электронами (для иона≠ ).
Нерелятивистский гамильтониан электронов даётся выражением∑︁1~2 ∑︁ 222^=−∇ − +22=1=1∑︁,(̸=)1.(13.52)340Глава 13. Фермионы˜ , дающее приближение к многочастичному гаСамосогласованное поле мильтониану (13.52), формируется полем ядра и средним полем пространственного заряда электронов:∑︁ ∫︁ (r )2̃︀ (r ) = −+3 .(13.53)|r − r |(̸=)Теперь мы предположим, что одночастичные электронные волновые функции удовлетворяют уравнению Шрёдингера в этом поле:{︂}︂~2 2 ̃︀−∇ + (r) − (r) = 0.(13.54)2Уравнение Хартри (13.54) даёт орбитали (r) с энергиями .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
