1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Последний является диамагнетиком, разделII.9.11, в то время как ортогелий — парамагнетик.На этом примере можно снова увидеть, что требования определённойперестановочной симметрии совместимы с классификацией стационарных^ S,^ J).^ Всесостояний по собственным значениям глобальных операторов (L,эти операторы аддитивны, т. e.
выражаются как суммы тождественных одночастичных операторов (разд. 11.6) и коммутируют со всеми операторамиперестановок ^ .12.7. Правила ХундаОбменная энергия взаимодействия (12.56) между двумя тождественнымичастицами, определяемая пространственной и дополнительной спиновойсимметриями, может быть выражена через искусственное спин-спиновоевзаимодействие. Формально это связано с оператором обмена спинами(II.7.27), который выглядит аналогично взаимодействию, зависящему отвзаимной ориентации спинов.Как мы видели при решении задачи 9.7, комбинации (1 ∓ ^ )/2 выделяют синглетную или триплетную часть любой величины, зависящейот спиновых переменных двух частиц.
Поэтому среднее значение ′электростатической энергии для электронов, занимающих разные орбитали и ′ , может быть записано как ′ =1[3 ′ ( = 1) + ′ ( = 0)]41+ [ ′ ( = 1) − ′ ( = 0)] (1 · 2 ).4Здесь зависящий от спинов член равенspin′ = − ′(1 · 2 ),2(12.60)(12.61)что в случае атома эквивалентно эффективному выстраиванию спинов( > 0).12.7. Правила Хунда321В сложных атомах с многими валентными электронами это эффективноеэлектростатическое взаимодействие расщепляет состояния одной конфигурации, которые были вырождены в приближении независимых частиц, всоответствии с разными схемами связи углового момента. Как мы виделина простом примере атома азота (задача 12.3), в результате электростатического расщепления возникает несколько возможных электронных термовс комбинациями (, ), совместимыми с принципом Паули.
Эти термыимеют разные энергии; меньшие релятивистские эффекты расщепляютдалее каждый -терм на уровни тонкой структуры . Наконец, на ещёменьших масштабах расщепления мы приходим к сверхтонкой структуре,характеризуемой квантовыми числами .Эмпирические данные и более точные расчёты для сложных атомов устанавливают правила Хунда для определения низшего по энергии -терма.Согласно первому правилу, низший терм соответствует максимально возможному значению полного спина . С идеей эффективного спин-спиновоговзаимодействия (12.61) мы понимаем этот результат как предпочтениенаиболее симметричной полной спиновой волновой функции, которая соответствует для Ферми-статистики минимуму пространственной симметриии, следовательно, минимальному кулоновскому отталкиванию.
Второеправило выбирает низший терм среди состояний с максимальным иразличными значениями , если имеются несколько возможных. Минимальная энергия соответствует максимальному разрешённому значению .Это снова соответствует минимальному перекрытию пространственныхорбит электростатически отталкивающихся электронов; максимальное перекрытие имеет место для спаренных электронов на сопряженных по времениорбитах |ℓ, ℓ ) и |ℓ, −ℓ ) (разд. II.5.6), угловые моменты которых сложеныв минимальное значение = 0.Задача 12.7Определить низший терм для атома азота, где допустимые наборы квантовых чисел были найдены в задаче 12.3.Решение.В соответствии с правилом Хунда, терм основного состояния должен быть43/2 с максимальным спином = 3/2 и = 0.
Это можно определить безполного перечисления всех возможных состояний. Достаточно установить,что максимальный спин равен 3/2, и он соответствует выстраиванию всехтрех электронных спинов. Тогда все орбитальные проекции ℓ электроновдолжны быть различными, складываясь в = 1 + 0 + (−1) = 0. Поэтому322Глава 12.
Атомные и ядерные конфигурации = 0, что всегда имеет место в случае состояния с максимальным спиномдля орбитали, заполненной наполовину.12.8. Симметрия частица—дыркаВ атомах заполненные оболочки являются конфигурациями, где всеодночастичные состояния с разными проекциями спина и орбитальногомомента ℓ , возможные для заданных квантовых чисел и ℓ, заполнены.Тогда проекции , , суммарного спина , суммарного орбитального и полного углового момента равны нулю.
Состояние заполненныхоболочек единственно и, очевидно, вращательно инвариантно (скаляр).Соответствующий терм — это 1 0 и = = = 0.В ядрах (или тяжелых атомах) спин-орбитальная связь является сильнойи вместо -связи следует использовать -схему связи, когда мы сначаланаходим j = ℓ + s для каждойчастицы, а затем складываем их в пол∑︀ный угловой момент J = j . В этой схеме индивидуальное значениеорбитального момента ℓ всё ещё значимо; оно определяет чётность одночастичной орбитали. Ядерная ℓ-связь генерирует спин-орбитальный дублет = ℓ ± 1/2 со знаком расщепления, противоположным атомному случаю, —уровень с бо́льшим имеет меньшую энергию. Тогда мы можем заполнять-уровни один за другим, и заполненный -уровень снова имеет свойствазамкнутой оболочки = 0; поскольку только и чётность Π имеют определённые значения, обычно в спектроскопии используется обозначение Π ,поэтому заполненный уровень соответствует состоянию 0+ .Задача 12.8 протонов в ядре занимают оболочку с угловым моментом .
Каковнаибольший возможный угловой момент max ( ) системы? При какомчисле частиц это наибольшее значение достигает максимума?Решение.При заданном max ( ) =1 (2 + 1 − ).2(12.62)Наибольшее возможное значение этой величины достигается при оболочке,заполненной наполовину:=2 + 12max =(2 + 1)2.8(12.63)12.8. Симметрия частица—дырка323Если заполненная оболочка может принять Ω фермионов, но в действительности имеет только 6 Ω частиц на этой оболочке, то можно сказать,что многочастичное состояние имеет Ω − дырок. Это особенно удобно дляоболочки, занятой > Ω/2 частицами (Ω всегда чётное число). Дыркикак отдельные объекты подчиняются статистике Ферми, поскольку одночастичное состояние либо занято, либо пусто. Формально мы можем сделатьканоническое преобразование частица-дырка простым обменом между операторами рождения и уничтожения.
Вакуум в картине дырок является^† = полностью заполненной оболочкой, оператор ℎ^ создает дырку сквантовыми числами , (для определенности мы используем здесь схему; но всё так же справедливо и в ℓ-схеме для операторов ^ℓℓ ), в то†^время как оператор ℎ = ^ заполняет пустое место, уничтожая дырку.Антикоммутационные свойства (11.14) инвариантны при преобразованиичастица-дырка.Рассмотрим состояние частиц в оболочке емкостью Ω. Пусть этосостояние имеет вращательные квантовые числа . Мы знаем, что в этомслучае нам нужно образовать специальную комбинацию детерминантовСлэтера, или операторов рождения ^† , с правильной вращательнойсимметрией.
Если мы внесём недостающие (Ω− ) частиц в эту комбинацию,мы получим заполненную оболочку с квантовыми числами | = 00⟩. Этоозначает, что дополняющая комбинация имеет квантовые числа , − исуществует взаимно однозначное соответствие между состояниями из иΩ − частиц, или между состояниями из частиц и дырок, поэтому|00; заполненная оболочка⟩ ==√∑︁1(−)− | ; частицы⟩| − ; дырки⟩,2 + 1 (12.64)где мы использовали правило (II.7.34) для образования вращательногоинварианта (скаляра). Заметим, что дырочная компонента совпадает вуравнении (12.64) с сопряженной по времени в соответствии с (II.5.68).Результат (12.62) обладает явной симметрией частица-дырка. В схеме связи состояния дырок имеют те же значения всех угловых моментов , ,и , как и состояния частиц.Задача 12.9Используя правила Хунда, найти низший терм для атомных конфигураций с электронами на -орбите.324Глава 12.
Атомные и ядерные конфигурацииРешение. может принимать значения от нуля до шести, и симметрия частицадырка гарантирует, что все возможные состояния те же самые для = 0и 6, 1 и 5, 2 и 4. Заполненная наполовину оболочка (задача 12.6) можетрассматриваться с точки зрения как частиц, так и дырок. Низшим являетсятерм1 = 0, 602 = 1, 5 1/2 , 2 3/2(12.65)3 , 3 = 2, 4024 =33/2 .Знак расщепления тонкой структуры меняется при заполненной наполовину оболочке: ниже = Ω/2 меньшее значение идёт вниз (нормальнаяэлектронная спин-орбитальная связь), в то время как выше = Ω/2 тонкая структура определяется дырками с эффективным противоположнымзарядом, поэтому тонкая структура инвертируется.12.9. Оболочечная структураКак было видно в примерах гармонического осциллятора и кулоновскогопотенциала, уровни частиц имеют тенденцию группироваться в сгустки сболее или менее широкой энергетической щелью между ними.
В тех двухисключительных примерах имеется точное вырождение многих орбиталейс очень разными пространственными формами, но с равной энергией. Этовырождение является следствием особых свойств симметрии, что обсуждалось в соответствующих разделах. Однако даже в случаях, где отсутствуетточная симметрия, часто можно видеть явную оболочечную структуру сплотностью одночастичных уровней, модулированной максимумами (оболочки) и минимумами (энергетические щели между оболочками).Появление оболочечной структуры дискретного спектра, вообще говоря,имеет квазиклассический источник в почти резонансном соотношениимежду частотами, отвечающими движению различных степеней свободы.В пределе полного разделения переменных квантовая энергия частицыявляется суммой парциальных энергий(1 , 2 , 3 ) = 1 (1 ) + 2 (2 ) + 3 (3 ).(12.66)Оболочка образуется, когда малая вариация, скажем, увеличение на одного квантового числа может быть с некой точностью скомпенсировановариацией − других квантовых чисел так, что полная энергия меня-!!Vladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap.
zelevinskyc18 — 2010/10/5 — page 3812.9. Оболочечная структура32518.9 Shell Structure81901687140112614043100160404426–1.054028204161431084221:26807062711068581822:3–0.51:1221:10q2:10.53:111.0Figure 18.2 Scheme of single-particle levels in the field of an anisotropic axially symmetricРис. 12.2. Схема одночастичныхуровней в поле анизотропного аксиальноharmonic oscillator.симметричного гармонического осциллятораSolution See Figure 18.2, where the deformation parameter is q D (ω ? !ω z )/ω 0 , ω 0 D (2ω ? C ω z )/3, the numbers show the maximum occupanciesется не очень сильно.Этоусловиеможет бытьдляof theshells.The deformationcan be записаноtranslated intotheдостаточноaxes ratio.больших квантовых чисел, когда с парциальными энергиями ( ) можноприближенно обращаться, как с непрерывными функциями, в виде − ≈ 0.(12.67)Однако в квазиклассической области расстояние / = Δ между смежными дискретными уровнями для данной степени свободы равно частоте, соответствующей периодическому классическому движению с той жеэнергией, уравнения (I.1.62 и I.15.78).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
