1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Проекция = 5 может быть созданатремя способами, (1, 2, 2), (2, 1, 2) и (2, 2, 1). Но для тождественных бозонов308Глава 12. Атомные и ядерные конфигурацииэто представляет только одно состояние, поскольку мы должны образоватьсимметричную комбинацию из этих трех возможностей, например, действуя оператором − = ℓ1− + ℓ2− + ℓ3− на корневое состояние.
Существуеттолько одна симметричная комбинация, она относится к мультиплету с = 6, следовательно, у нас нет других состояний с = 5, и значение = 5 невозможно. На следующем шаге = 4 у нас две независимыевозможности, симметричная комбинация трех состояний с одной проекцией,равной 0 и двумя другими проекциями, равными 2, и симметричная комбинация трех состояний типа (1,1,2). Наличие двух симметричных состоянийс = 4 есть сигнал появления нового мультиплета = 4 наряду с продолжающимся заполнением высшего мультиплета = 6.
Следующий шаг вниз = 3 даёт три симметричных комбинации типов (-1,2,2), (0,1,2) и (1,1,1).Две комбинации соответствуют предыдущим мультиплетам с = 6 и = 4,в то время как присутствие третьей означает, что мультиплет с = 3 такжеразрешён. Продолжая этот процесс, мы найдем также возможные значения = 2 и = 0. Таким образом, наш обзор возможных состояний даётследующие разрешенные значения для трех тождественных бозонов сℓ = 2 («квадрупольные бозоны»): = 6, 4, 3, 2, 0.Полное число состояний равно∑︁ =(2 + 1) = 13 + 9 + 7 + 5 + 1 = 35,(12.12)(12.13)в согласии с уравнением (12.10).
Этот результат также применим к вибрационным состояниям сферических ядер: квадрупольные колебания формымогут быть смоделированы квантованием возбуждений типа поверхностныхволн, фононов, обладающих угловым моментом 2.Задача 12.2В средних и тяжёлых ядрах спин-орбитальная связь обычно сильна,поэтому нуклоны заполняют одночастичные уровни с определёнными значениями , j = ℓ + s. Ядро 43 Ca может рассматриваться как состоящее изинертного кора 40 Ca и трёх валентных нейтронов на орбитали (ℓ) = 7/2 .Определить возможные значения полного углового момента ядра; проверить полное число состояний.Решение.Полный угловой момент равенI = j1 + j2 + j3 .(12.14)12.3.
Многочастичные конфигурации309Число разрешенных состояний, в соответствии с уравнением (9.19) для = 3 и Ω = 8, равно8! (3, 8) == 56.(12.15)3! 5!Мы можем действовать тем же способом, как в предыдущей задаче. Состояние с наивысшим моментом можно построить заполнением в соответствиис принципом исключения Паули (1 , 2 , 3 ) = (7/2, 5/2, 3/2). Конечно,это означает, что нам нужно построить детерминант Слэтера с этими занятыми одночастичными орбиталями или использовать три соответствующихоператора рождения.
Это даёт наивысшее значение проекции = 15/2и поэтому наивысший полный момент = 15/2. Это состояние строитсяединственным способом и, следовательно, нам не нужно комбинироватьнесколько детерминантов. Существует также только одно состояние (детерминант Слэтера) с = 13/2, а именно (7/2,5/2,1/2). Это состояниеотносится к предыдущему мультиплету = 15/2.
Отсюда следует, чтозначение полного углового момента = 13/2 не разрешено. На следующемшаге = 11/2 мы получаем два возможных распределения проекций:(7/2,3/2,1/2) и (7/2,5/2,-1/2). Одна комбинация этих состояний принадлежит к = 15/2, другая открывает новый мультиплет с = 11/2, который,в свою очередь, должен иметь члены со всеми возможными более низкимипроекциями. Состояния с отрицательными значениями не дают новойинформации. Эта процедура перечисления собирает все возможные значения углового момента (последний столбец). Значения = 13/2 и 1/2 неразрешены. Соответствующее полное число состояний равно∑︁ =(2 + 1) = 16 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 = 56,(12.16)в согласии с общим правилом (12.15).
Покажем полную процедуру: = 15/2 7/2 = 13/2 7/2 = 11/2 7/27/2 = 9/2 5/27/27/25/2 3/2 = 15/25/2 1/2−3/2 1/25/2 −1/2 = 11/23/2 1/23/2 −1/25/2 −3/2 = 9/2310Глава 12. Атомные и ядерные конфигурации = 7/2 5/2 3/2 −1/27/2 1/2 −1/27/2 3/2 −3/27/2 5/2 −5/2 = 7/2 = 5/2 5/2 1/2 −1/25/2 3/2 −3/27/2 1/2 −3/27/2 3/2 −5/27/2 5/2 −7/2 = 5/2 = 3/2 3/2 1/2 −1/25/2 1/2 −3/25/2 3/2 −5/27/2 −1/2 −3/27/2 1/2 −5/27/2 3/2 −7/2 = 3/2 = 1/2 3/2 1/2 −3/25/2 −1/2 −3/25/2 1/2 −5/25/2 3/2 −7/27/2 −1/2 −5/27/2 1/2 −7/2−(12.17)Задача 12.3В атомах ближе к реальности -схема из-за слабого спин-орбитальноговзаимодействия. Атом азота имеет низшую электронную конфигурацию12 22 23 .
Определить возможные квантовые числа , , для этойконфигурации.Решение.Здесь перебор чуть более сложен потому, что нам нужно сначала перечислить проекции орбитального момента и спина по отдельности, а затемкомбинировать их в согласии со статистикой Ферми. Только -уровень доступен для размещения частиц и разрешены Ω = 3 × 2 = 6 одночастичныхсостояний (ℓ , ):() (1, 1/2);(′ ) (1, −1/2);() (0, 1/2);(′ ) (0, −1/2);() (−1, 1/2);(′ ) (−1, −1/2).12.3. Многочастичные конфигурации311Теперь мы заполняем эти состояния тремя частицами, образуя многочастичные состояния. Начнем с максимально возможной проекции полногоорбитального момента = 2. Это можно делать двумя путями, обавключают () и (′ ): (′ ), = 1/2, и (′ ′ ), = −1/2.
Посколькувсе ситуации будут симметричны для положительных и отрицательных и , мы можем снова ограничиться состояниями с положительнымизначениями обеих проекций: = 2 :(′ ), = 1/2.(12.18)Следовательно, состояние с = 2 и = 1/2 разрешено, его спектроскопический символ есть 2 ; соответствующий полный угловой момент можетбыть = 3/2 или 5/2. Для = 1 мы имеем = 1 :(′ ), = 1/2;(′ ), = 1/2.(12.19)Одна комбинация этих состояний относится к предыдущему мультиплету,другая открывает новый с = 1 и = 1/2, т.
e. 2 с = 1/2 или 3/2.Наконец комбинации, разрешённые для = 0, включают = 0 :();(′ );(′ );(′ )(12.20)с проекцией спина = 3/2 для первого и = 1/2 для трех остальныхслучаев. Это указывает на новый (третий) мультиплет с = 0 и = 3/2,который должен быть помечен как 4 , и здесь = . Три оставшиесясостояния с = 0 пополнят эти три мультиплета.
Теперь мы можемперечислить все возможные термы конфигурации 3 . В стандартных обозначениях 2+1 () , где () — символ орбитального момента, имеем:23/2,5/2 ; 2 1/2,3/2 ; 4 3/2 .(12.21)Полное число состояний должно быть (3, 6) =6!= 20.3! 3!(12.22)Действительно, подсчитывая все состояния (12.21) с различными и ,мы получим∑︁ =(2 + 1) = 4 + 6 + 2 + 4 + 4 = 20.(12.23)312Глава 12. Атомные и ядерные конфигурации12.4. Обменное взаимодействиеКогда частицы взаимодействуют, многочастичная волновая функция,взятая как детерминант Слэтера или как произведение независимых одночастичных функций, перестает быть стационарной. Мы уже упоминали,что базис совместимых с типом статистики конфигураций независимыхчастиц полон и часто удобен для учёта эффектов взаимодействия.Рассмотрим в качестве примера двухчастичную систему (в действительности это может быть система валентных электронов или нуклоныповерх кора, который может приближённо считаться инертным).
Пустьтождественные частицы занимают одночастичные состояния |1) и |2) и припренебрежении их взаимодействием мы имели бы энергию пары ∘ = 1 + 2 .(12.24)Предположим, что взаимодействие между частицами может рассматриваться как возмущение. Для различных одночастичных состояний (толькоэтот случай разрешён для фермионов) невозмущенная волновая функцияможет быть записана как|12 ⟩ = ^†2 ^†1 |0⟩,(12.25)где мы используем операторы рождения частиц; |0⟩ означает вакуум илисостояние инертного кора, который не содержит орбиталей |1) и |2).Общий вид взаимодействия во вторичном квантовании описываетсяуравнением (11.61)∑︁^=1(34| |56)^†3 ^†4 ^5 ^6 .2(12.26)3456Мы обкладываем этот оператор бра- и кет-векторами (12.25) и вычисляемсреднее значение без учёта возможного возмущения кора:⟨12 | |12 ⟩ =1 ∑︁(34| |56)⟨0|^1 ^2 ^†3 ^†4 ^5 ^6 ^†2 ^†1 |0⟩.2(12.27)3456Очевидные правила отбора определяют ненулевые вклады в бесконечнуюсумму в (12.27): операторы уничтожения 5,6 должны избавить нас отисходных операторов рождения 2,1 (мы не рассматриваем разрушениекора), и аналогично, операторы 3,4 занимают позиции 1,2.
Это, конечно,тривиально, поскольку мы рассматриваем здесь только двухчастичное12.4. Обменное взаимодействие313взаимодействие с фиксированными начальным и конечным состояниями.В этом месте в игру входит существование интерферирующих путей взаимодействия подобно тому, что было на рис.
9.2. Таким образом,^5 ^6 ^†2 ^†1 |0⟩ = (62 51 ∓ 61 52 )|0⟩.(12.28)То же справедливо для конечной пары частиц. В результате⟨12 | |12 ⟩ =1{(21| |12) ∓ (21| |21) ∓ (12| |12) + (12| |21)}2(12.29)или, на основании очевидной симметрии (11.63),⟨12 | |12 ⟩ = (21| |12) ∓ (12| |12).(12.30)Эта автоматическая (анти)симметризация, см. (11.64), соответствует диаграмме на рис. 9.1; знаки − и + берутся для фермионов и бозонов соответственно.В случае различимых частиц, описываемых операторами ^ и ^, вместо(12.30) гамильтониан взаимодействия имел бы вид∑︁^ dist =^6 ,(12.31)(34| |56)^†3^†4^5 3456и мы получили бы энергию взаимодействия⟨12 | dist |12 ⟩ = (21| |12),(12.32)независимо от предположения, что операторы ^, ^† коммутируют или анти†коммутируют с ^, ^ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
