1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Однако пространственная структура конечного состояния (спиныравны нулю) определяет его изоспин. В двухпионной системе векторнаясвязь разрешает изоспины = 0, 1, 2. Действительное значение 3 = +1исключает = 0. В случае = 1 волновые функции двух пионов должныбыть антисимметричны в зарядовом пространстве, как это следует длявекторной связи двух векторов в их векторное произведение, см.

разд. II.1.9.Из-за Бозе-статистики пионов (спин 0), рассматриваемых в обобщенномсмысле как тождественные частицы в различных зарядовых состояниях,полная волновая функция (пространственная+зарядовая) должна бытьсимметричной, что требовало бы для = 1 антисимметричную пространственную волновую функцию. Это эквивалентно отрицательной чётностидвухпионного состояния, т. e. нечётному значению орбитального момента ℓ.Однако ℓ должно быть равно нулю вследствие сохранения орбитальногомомента (спин + равен нулю).

Из-за этого противоречия единственнаявозможность есть = 2.Задача 10.7Показать, что для любого изоспин-инвариантного нуклон-нуклонноговзаимодействия между сечениями − и − для рассеянии на 90∘ должновыполняться неравенство (/2)1 (/2)>.4(10.36)10.6. Соотношения между сечениями279Решение.Имеются две изоспиновые амплитуды: = 1 для чётных спиновыхсинглетов и нечётных триплетов и = 0 для нечётных синглетов и чётныхтриплетов. Но нечётные состояния не дают вклада при 90∘ . Для − рассеяния / = =1 / для любого угла. Для − -случая мыимеем ( = 90∘ ) спиновые триплеты при = 0 и спиновые синглетыпри = 1; для неполяризованных пучков синглет и триплет входят сосвоими статистическими весами. Компоненты с = 1 одинаковы при − рассеянии и при − -рассеянии, если изоспиновая инвариантность имеетместо.

Это приводит к неравенству (10.36).Дополнительная литература: [10], [65], [66], [67]Философия написана в этой великойкниге — Вселенной, которая остаетсянепрерывно открытой нашему взору.Но книга не может быть понята, покавначале не научишься понимать язык ичитать буквы, из которых она составлена.Она написана на языке математики. . .Г.

Галилей — Естествоиспытатель (цит.по: С. Дрейк. «Открытия и воззренияГалилея»)Глава 11Вторичное квантование11.1. Представление чисел заполненияВ гл. 9 мы рассмотрели общие свойства проблемы многих тел в квантовой механике и квантовой статистике. Неразличимость тождественныхчастиц предполагает квантовую интерференцию между различными путями, ведущими к одному конечному состоянию. Эта интерференция —статистическое или даже кинематическое явление, которое проявляетсябезотносительно к взаимодействию между частицами. Возникающая перестановочная симметрия разрешает только два класса волновых функций —полностью симметричные и полностью антисимметричные по отношениюк любой перестановке всех квантовых чисел двух тождественных частиц.Соответственно, мы имеем два типа возможных статистик и два сортачастиц — бозоны и фермионы.Волновые функции симметричны при перестановках бозонных переменных и антисимметричны при перестановках фермионных.

Для любогосостояния различимых частиц можно получить его аналог для тождественных частиц, делая симметризацию или антисимметризацию исходнойфункции. (Конечно, попытка симметризовать функцию, которая уже антисимметрична, приведет к нулевому итогу.) Результатом является, например,детерминант Слэтера для невзаимодействующей Ферми-системы.

Его аналог для Бозе-системы, «перманент», образован как детерминант, но совсеми членами, входящими со знаком +. С ростом числа частиц работать с282Глава 11. Вторичное квантованиетакими волновыми функциями в обычном координатном (или импульсном)представлении становится всё более сложной задачей.Другой важный момент состоит в том, что во многих случаях мы имеемдело с ситуациями, когда число частиц не фиксировано. Чтобы описать процессы с переменным числом частиц, нужно обобщить концепцию квантовомеханического пространства Гильберта.

Гильбертово пространство длязаданного числа частиц является только сектором в более обширном пространстве Фока, которое включает секторы с различными числами частицвсех типов. Это становится абсолютно необходимым в релятивистскойквантовой теории, где число частиц до известной степени зависит от рассматриваемого масштаба. Следовательно, разработать формализм, которыймог бы автоматически учитывать симметрию состояний в соответствии стипом статистики и в то же время позволять рассматривать процессы спеременным числом частиц, крайне необходимо.Простейший способ состоит в том, чтобы использовать представлениечисел заполнения. Пусть |) произвольный полный набор одночастичныхсостояний, характеризующихся квантовыми числами (), например (p)для электронов, описываемых импульсом p и проекцией спина .

На этойстадии нам не нужно знать гамильтониан, управляющий динамикой. Мы используем только полноту множества |). Мы предполагаем, что состояния|) ортонормированы(|′ ) = ′ ,(11.1)хотя это ограничение можно убрать, работая с неортогональными наборами.Символ Кронекера в (11.1), как обычно, должен пониматься как -функцияДирака для непрерывных квантовых чисел . Конечно, на практике некоторые множества |) могут быть более удобными, чем другие. Иногда,особенно в приложении к конечным системам (атомы, молекулы, ядра),состояния |) будут называться орбитами, или орбиталями.Теперь мы можем построить состояния многих частиц|{ }⟩ = |1 , 2 , . . .

, , . . . ⟩,(11.2)вводя множество целочисленных , которые показывают, сколько частицнаходится на каждой орбите |). Мы предполагаем, что орбиты |) упорядочены каким-то (произвольным) способом, и они всегда появляютсяв таком порядке в описании многочастичных состояний (11.2). Чтобыпровести различие между состояниями одной частицы и многих тел, мыиспользуем круглые скобки в определении для первых (позже также идля двухчастичных состояний) и угловые скобки для последних.

Числа 11.2. Введение во вторичное квантование283являются числами заполнения в данном базисе |). В соответствии с типомстатистики, они могут быть лишь 0 и 1 для Ферми-статистики и произвольными неотрицательными целыми числами для Бозе-статистики. Нам нуженформализм, который бы удовлетворял этим требованиям автоматически.Мы включим в рассмотрение все состояния с различными полнымичислами частиц∑︁= .(11.3)Это означает, что мы работаем в пространстве Фока.

С числами заполнения,выбранными в соответствии с типом статистики, бесконечное множествосостояний системы многих тел (11.2) является полным в пространствеФока. Вследствие тождественности частиц нам не нужно указывать, какиечастицы занимают орбиту |1), какие занимают орбиту |2) и так далее.

Поскольку все свойства одночастичных орбит известны, представление чиселзаполнения содержит полную информацию. В самом деле, любое состояниемногих тел может быть разложено по полному множеству (11.2) состояний сопределёнными числами заполнения, и тогда мы можем ответить на любойвопрос, относящийся к распределению координат, импульсов, вероятностейперехода или какой-либо иной. В произвольном состоянии системы многихтел, выраженном как суперпозиция состояний (11.2), средние значениячисел заполнения орбиталей, вообще говоря, не являются целыми.11.2. Введение во вторичное квантованиеЕдинственные переменные в представлении чисел заполнения, основанном на орбитальном базисе |),— это целые , и квантовые операторыдолжны быть определены как действующие на эти «координаты».

Простойпример того, как это можно сделать, дан ниже.Рассмотрим систему невзаимодействующих частиц, где гамильтонианявляется суммой независимых одночастичных гамильтонианов:∑︁^ =^().(11.4)Здесь суммирование производится по частицам, и мы не задаем их число,поскольку в каждом секторе пространства Фока с заданным значением гамильтониан имеет вид (11.4). Фактически он может иметь тот же вид идля различимых частиц.284Глава 11.

Вторичное квантованиеЕсли частицы тождественны, то все операторы ^ одинаковы. Выбираяорбиты |) как собственные функции одночастичного гамильтониана ^^|) = |),найдем полную энергию многочастичного состояния (11.2)∑︁= .(11.5)(11.6)Другими словами, состояние многих тел является собственным состояниемполного гамильтониана, выраженного, вместо уравнения (11.4), в терми^ чисел заполнения с целочисленными собственныминах операторов значениями :^ |{ }⟩ = |{ }⟩,^|{ }⟩ = |{ }⟩.(11.7)Это как раз то, что мы хотим: оператор, действующий на числа заполнения.В этом случае операторы (11.7) диагональны, они не изменяют чисел .Например, для свободного движения, когда → (p, ), гамильтониан —это просто кинетическая энергия, а полная энергия является суммой индивидуальных кинетических энергий занятых «орбиталей» (в этом случаеплоских волн).Если бы мы взяли другой базис |) в качестве нашего множества одночастичных орбит, оператор ^, вообще говоря, не был бы диагональным:∑︁^|) = ′ | ′ ).(11.8)′Если мы возьмем частицу на орбите |), действие ^ переносит эту частицу на другую орбиту | ′ ) с амплитудой переноса, заданной матричнымиэлементами ′ оператора ^ в этом базисе.

Таким образом, в новом базисеоператор ^ более не диагонален. Например, в стандартном представленииприближения сильной связи электронов в кристалле, базисными состояниями являются локализованные орбиты, в то время как кинетическаяэнергия действует как оператор сдвига, перемещающий частицы с одногоузла на другой. В этом случае базис делокализованных блоховских волндиагонализует кинетическую энергию.^ в пространстве Фока также не диагоналенПолный гамильтониан в базисе системы многих тел |{ }⟩, построенном аналогично (11.2), нос использованием других орбит |) вместо |). Однако он всё ещё блок-11.3.

Характеристики

Список файлов книги