1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Вследствие условия (I.11.112) вакуумные средние равны нулю, если операторы приведены к нормальнойформе со всеми операторами рождения слева от всех операторов уничтожения. Для произвольной начальной последовательности операторов висходном матричном элементе, нужно привести их к нормальной форме спомощью коммутаторов или антикоммутаторов. Результат состоит толькоиз -символов, образованных в этом процессе.
Например,⟨0|^1 ^†2 |0⟩ = 12 ,(11.25)⟨0|^1 ^2 ^†3 ^†4 |0⟩ = 23 14 ± 24 13 .(11.26)Рецепт для произвольного вакуумного среднего ясен. Вы начинаете свакуума справа и должны вернуться к вакууму слева. По пути любойоператор рождения должен аннигилироваться оператором уничтожения.Необходимо провести все разбиения начального операторного выраженияна пары ^1 ^†2 (в таком антинормальном порядке!), написать 12 для каждой290Глава 11.
Вторичное квантованиепары (свертка) и взять сумму вкладов (продуктов свертывания) от всехразбиений. Конечный знак каждого вклада будет + для бозонов, в то времякак для фермионов он определяется чётностью перестановки, котораяприводит партнеров данной свертки друг к другу. Это так называемаятеорема Вика. Например, для тождественных бозонов очевидный результатследует немедленно из (I.11.121):⟨0|^ (^† ) |0⟩ = !,(11.27)что соответствует комбинаторному подсчету всех парных сверток.11.6. Одночастичные операторыЧтобы применить разработанный формализм к физическим задачам,нам нужно выразить все операторы наблюдаемых в форме вторичногоквантования.
Полезно напомнить, что исходный одночастичный базис |)достаточно произволен. Всегда можно произвести унитарное преобразование, как в (11.8), для перехода к другому полному набору орбит |)∑︁|) → |) =|)(|).(11.28)Унитарная матрица (|) = (|)* преобразует операторы рождения иуничтожения ^ → ^ , ^† → ^† .
Новые операторы должны иметь те жесвойства, поэтому преобразование должно быть каноническим, сохраняющим коммутационные соотношения.Новые базисные состояния |) являются ничем иным, как состояниями ^† |0⟩ с одной частицей поверх вакуумного фона. Это означает, чтооператоры рождения преобразуются так же, как в уравнении (11.28):∑︁^† =(|)^† .(11.29)Оператор уничтожения преобразуется в соответствии с сопряженным уравнением∑︁^ =(|)^ ,(11.30)11.6. Одночастичные операторы291и коммутатор (или антикоммутатор) сохраняется∑︁∑︁[^ , ^† ′ ]∓ =(|)(′ | ′ )[^ , ^†′ ]∓ =(|)(| ′ ) = ′ .′(11.31)Здесь мы использовали полноту набора |)∑︁|)(| = 1.(11.32)В случае одночастичных переменных с непрерывным спектром -символыво всех коммутационных соотношениях должны быть заменены на функции.^ (1) (как в (11.4)),Рассмотрим вначале оператор одночастичного типа который задан суммой вкладов ^ всех тождественных частиц. Мы можемвзять множество |) собственных состояний одночастичного оператора ^^|) = |)(11.33)в качестве нового одночастичного базиса |) (11.28).
В этом базисе форма^ (1) , действующего в пространствеоператора вторичного квантования Фока, очевидна: его собственное значение дается суммой по всем орбитам |) вкладов, равных собственному значению для заданной орбиты,умноженному на число заполнения . Это собственное значение оператора:∑︁∑︁^ (1) =^ =^† ^ .(11.34)Теперь мы используем закон преобразования (11.29, 11.30), чтобы найти^ (1) для произвольно выбранного базиса |):вид )︁∑︁∑︁(︁∑︁^ (1) =(|)^† (|′ )^ ′ =(|)(|′ ) ^† ^ ′ .(11.35)′′Поскольку сумма в (11.35) равна матричному элементу оператора ^,∑︁(|)(|′ ) = (|^ |′ ),(11.36)292Глава 11.
Вторичное квантованието мы приходим к общему выражению для произвольного одночастичногооператора в форме, инвариантной при унитарных преобразованиях базиса:∑︁^ (1) =(1||2)^†1 ^2 .(11.37)12Теперь оператор представлен суммой членов, перемещающих одну частицус орбиты |2) на орбиту |1); амплитуда перехода равна одночастичномуматричному элементу (1||2).Важный пример даётся операторами плотности∑︁^() =( − ^ ),(11.38)которые определяют амплитуду вероятности данного значения для одночастичной переменной ^ в системе тождественных частиц.
В частномслучае оператора координаты → r — это обычная пространственная плотность, которая появляется в уравнении непрерывности. По своему смыслу^ , использованным в (11.34). Вторично кваноператор (11.38) совпадает с тованная форма оператора плотности является, следовательно, тривиальной в собственном базисе |) оператора ^, но более сложной в произвольномбазисе∑︁^ = ^() = ^† ^ =(|)* (|′ )^† ^ ′ .(11.39)′Часто имеют дело с координатным и импульсным представлениями, гдесоответствующие операторы рождения ^†r и ^†p ; спин и другие внутренниехарактеристики могут быть добавлены к r и p при необходимости. (В координатном представлении часто используется обозначение ^† (r) вместо^†r .) Если координатные плоско-волновые функции (I.3.95) нормированы вконечном объеме , соотношение между представлениями даётся выражением∫︁1 ∑︁ −(/~)(p·r) †††^r = √^p , ^p = 3 (/~)(p·r) ^†r .(11.40) pВ частности, оператор пространственной плотности (I.7.144) равен1 ∑︁ (/~)(p′ −p)·r †^r = ^(r) ≡ ^†r ^r =^p ^p′ .′pp(11.41)11.6.
Одночастичные операторы293Оператор, диагональный в координатном представлении, сильно отличаетсяот диагонального в импульсном представлении.Задача 11.2Для основного состояния идеального Бозе-газа ( частиц в ящике объемом ) найти среднее число частиц в объеме < , среднеквадратичнуюфлуктуацию этого числа и корреляционную функцию плотности (11.41) вразных точках.Решение.Беря среднюю плотность как среднее значение для основного состояния|Ψ0 ( )⟩ (9.10), мы придём к тривиальному результату:^r ⟩ =⟨1 ∑︁ (k′ −k)·r †1 ∑︁ (k′ −k)·r⟨^k ^ k′ ⟩ =kk′ k0 =≡ , (11.42)′′kkkkкоторый не зависит от координаты r внутри объема.
Среднее число частицв меньшем объеме равно∫︁∫︁^ ()⟩ = 3 ⟨^r ⟩ = 3 = .⟨(11.43)Для среднего значения квадрата этого оператора мы получим∫︁∫︁∑︁1′23^⟨ ()⟩ = 2 3 ′[(k2 −k1 )·r+(k4 −k3 )·r ] ⟨^†k1 ^ k2 ^†k3 ^k4 ⟩. k1 k2 k3 k4(11.44)Здесь матричный элемент равен⟨^k1 Ψ0 ( )|^k2 ^†k3 |^k4 Ψ0 ( )⟩ = k1 0 k4 0 k2 k3 [1 + ( − 1)k2 0 ].Это сводит уравнение (11.44) к∫︁∫︁∑︁′32^3 ′k·(r−r ) [1 + ( − 1)k0 ].⟨ ()⟩ = 2 (11.45)(11.46)kПоскольку∑︁kk·(r−r′ )∫︁⇒ 3 k·(r−r′ )= (r − r′ ),(2)3(11.47)294Глава 11.
Вторичное квантованиемы находим среднеквадратичную флуктуацию⟨(︁)︁2 ⟩ (︁ )︁= ⟨ 2 ()⟩ − ⟨ ()⟩2 = 1−,Δ ()(11.48)которая, естественно, √исчезает для = 0 и = . Относительная флуктуация падает как 1/ , как всегда для экстенсивных статистическихвеличин. Отметим, что такие же результаты для средних значений (11.43),(11.46) и (11.48) получаются из классического биномиального распределения ( ) =(︁ )︁ (︁ )︁ −!1−. !( − )! (11.49)Корреляционная функция плотности может быть определена как^r ^r′ ⟩ − 2 .(r, r′ ) = ⟨(11.50)По аналогии с (11.46) и (11.47)[ (r − r′ ) + ( − 1)],2^r ^r′ ⟩ =⟨(11.51)поэтому]︂1(r, r ) = (r − r ) −;′[︂′(11.52)последний член даёт только малую поправку ∼ 1/ .11.7.
Двухчастичные операторыРассмотрим теперь оператор, зависящий от переменных пар тождественных частиц. Наиболее важный пример — это гамильтониан взаимодействиядвух тел.Характерная структура двухчастичного оператора имеет вид∑︁ (2)^ (2) =^ .(11.53)̸=Во вторичном квантовании она принимает инвариантную форму∑︁^ (2) =(12|^(2) |34)^†1 ^†2 ^3 ^4(11.54)123411.7. Двухчастичные операторы295с прозрачным физическим смыслом. Чтобы увидеть, как выражение (11.54)(2)появляется, предположим, что зависит от переменных и взаимодействующих частиц.
Тогда мы можем формально переписать (11.53),включая член самодействия = :∑︁∑︁^ (2) =^(2) ( , ) −^(2) ( , ) =∫︁={︁∑︁ ′ (2) (, ′ )(^ − )(^ − ′ ) −(11.55)− ( − ′ )∑︁}︁(^ − ) .Вводя оператор плотности (11.38, 11.39) для переменной , преобразуемэто выражение к∫︁{︁}︁^ ^′ − ( − ′ )^ .^ (2) = ′ (2) (, ′ ) (11.56)Оператор в фигурных скобках в уравнении (11.56) в силу коммутационныхсоотношений равен^† ^ ^†′ ^′ − ( − ′ )^† ^ = ±^† ^†′ ^ ^ ′ .(11.57)Перестановка двух последних операторов даёт общий знак плюс, поэтомуоператор (11.56) принимает вид∫︁(2) = ′ (2) (, ′ )^† ^†′ ^ ′ ^ .(11.58)Преобразование к произвольному базису приводит к уравнению (11.54),где коэффициенты (12| |34) являются матричными элементами двухчастичного оператора ^(2) для перехода (3,4) → (1,2):∫︁(2)^(12| |34) = ′ 1* ()2* ( ′ )^(2) (, ′ )3 ( ′ )4 ().(11.59)Здесь 1 () = (|1) — функции преобразования базиса, т.
e. волновые функции состояний |1) в -представлении. Отметим порядок аргументов этихфункций в подынтегральном выражении (11.59).!!Vladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap. zelevinskyc17 — 2010/10/5 — page 357 — le-tex296Глава 11. Вторичное квантование11.8. Межчастичное взаимодействие в базисе плоских волн17.8 Interparticle Interaction in the Plane–Wave Basis35717.8Как былоупомянуто,InterparticleInteraction inдвухчастичныйthe Plane–Wave Basis оператор появляется главнымобразом при рассмотрении взаимодействия между частицами.
В системеwe mentioned,the two-bodyoperatorsважныеmainly appearin the considerationofне оченьAsвысокойплотностинаиболеевзаимодействия— парные,иinteraction between the particles. In a system of lower density, the most importantмы ограничимся этим случаем. При необходимости учесть многотельныеinteractions occur pairwise and we limit ourselves by this case. If the many-bodyвзаимодействияможетcanбытьрасширеноочевиднымобразом.interactionsрассмотрениеare needed, the treatmentbe extendedin a straightforwardmanner.Если взаимодействие можноописатьbyоператором, полныйIf the interaction ofчастицparticlesa иandb can be describedan operator Uab ,theгамильтонианвзаимодействиясистемемногихв соответствиисtotal interactionHamiltonian in aв systemof manyparticlesчастиц,is, accordingto (17.53),уравнением (11.53),равен1XH0 D2Ua b ,(17.60)1 ∑︁′ = .2 pair a, b (awhere the factor 1/2 is needed since eacha¤b(11.60)¤ b) must be counted onlyonce.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
