1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Статистика Бозе285диагональный по отношению к секторам пространства Фока, если он сохраняет число частиц. Отметим, что гамильтониан невзаимодействующейсистемы (11.4) содержит только члены, которые могут менять орбиту неболее чем одной частицы: это одночастичный оператор.Проблема работы в базисе, где гамильтониан не диагонален, связана с тем,что исходное «физическое» состояние (11.2), будучи разложено по полномумножеству состояний |{ }⟩, оказывается их суперпозицией с нецелымисредними числами заполнения.
В исходном базисе |) мы имеем целые числазаполнения. Но произвольная орбита |) является суперпозицией орбит |).Даже для одной частицы в состоянии |) орбиты |) заполнены с дробнымивероятностями. Вычисляя переход под действием некоторого оператора,следует учитывать эти вероятности, поскольку они полностью определяютрезультат. Например, если состояние фермиона уже заполнено на 90 %, тодругой фермион не может занять эту орбиту с той же легкостью, как этомогло бы быть для пустого состояния.
Нам нужно перевести все операторыв представление чисел заполнения таким образом, чтобы результат ихдействия правильно отражал существующую занятость орбит. Кроме того,нам нужно не только перемещать частицы между орбитами, но такжеменять их полное число, создавая и уничтожая частицы (переход междусекторами в пространстве Фока).Подходящим инструментом являются операторы рождения и уничтожения.
Мы уже имели подобный опыт: для осцилляторных квантов этотаппарат обсуждался детально в связи с алгеброй Гейзенберга—Вейля (разд.I.11.8); он был обобщён для многофотонных мод электромагнитного поляв разд. II.13.3. Интерпретируя различные состояния поля как имеющиеразличное число квантов, мы могли генерировать произвольное полное ихчисло. Вследствие неразличимости кванты гармонического осциллятора,так же как фотоны, являются бозонами, и это то, с чего мы начинаем. Ноаналогичное описание возможно также для фермионов.11.3. Статистика БозеОператоры рождения и уничтожения позволяют работать в представлении чисел заполнения, где состояния характеризуются числом квантов вразных модах. В системе многих тождественных частиц аналог подобногоподхода называется вторичным квантованием.
Для наших целей достаточно понимать это как математический переход от представления, гдебазисные векторы являются обычными волновыми функциями ШрёдингераΨ(1, 2, . . . , ) с числовыми аргументами, включающими все одночастичные286Глава 11. Вторичное квантованиепеременные, к базису состояния системы многих тел (уравнение (11.2) впредставлении чисел заполнения, которое использует определённый одночастичный базис |)).
Только в релятивистской теории поля вторичноеквантование приобретает более глубокое значение.Процедура вторичного квантования зависит от типа статистики частиц.Для бозонов формализм практически совпадает с тем, что мы использовалидля осцилляторов. Мы определяем одночастичный базис |) и строимсостояния (11.2) со всеми возможными числами заполнения , которые вслучае Бозе могут быть произвольными неотрицательными целыми. Базиссистемы многих тел |{ }⟩ нестационарен во взаимодействующей системе,но он полон и правильно учитывает перестановочную симметрию.Для каждого одночастичного состояния |) мы вводим операторы уничтожения ^ и рождения ^† , которые действуют на числа заполненияаналогично тому, что мы использовали для гармонического осциллятора:√ | . .
. , − 1, . . . ⟩,√†^ | . . . , , . . . ⟩ = + 1 | . . . , + 1, . . . ⟩.^ | . . . , , . . . ⟩ =(11.9)В этих уравнениях числа заполнения ′ всех орбит с ′ ̸= не меняются.Мы также определим операторы чисел заполнения (11.7)^ = ^† ^(11.10)для каждой орбиты |). Числа в определении состояний (11.2) являются собственными значениями операторов (11.10). В этом случае мывоспроизведём все требуемые операторные соотношения, включая правилакоммутации, аналогично (I.11.108) и (I.11.113).Примем, что операторы для различных мод коммутируют друг сдругом.
Тогда полная алгебра операторов может быть записана как[^ , ^′ ] = [^† , ^†′ ] = 0,[^ , ^†′ ] = ′ .(11.11)Операторы чисел заполнения (11.10) удовлетворяют лестничной структуре,и их собственные значения — неотрицательные целые. Полное число частицне фиксировано, и пространство Фока покрывается целиком со всемивозможными значениями полного оператора числа частиц∑︁^ =^ .(11.12)11.4. Ферми-статистика287Подобно (I.11.121), нормированный вектор состояния может быть построенявно путём рождения частиц из вакуумного состояния |0⟩ ≡ |{ = 0}⟩:|{ }⟩ =∏︁√1(^† ) |0⟩. ! (11.13)Все операторы уничтожения, действуя на вакуумное состояние, дают нуль.В силу коммутаторов (11.11) все операторы рождения (11.13) перестановочны. Это означает, что волновая функция симметрична по отношению кперестановкам, как это и должно быть для Бозе-статистики.11.4. Ферми-статистикаЗдесь возможные числа заполнения могут быть только 0 и 1.
Чтобыудовлетворить этому требованию, мы введём взаимно сопряжённые операторы уничтожения ^ и рождения ^† , постулируя для них вместо (11.11)антикоммутационые соотношения [^, ^]+ ≡ ^^ + ^^:[^ , ^′ ]+ = [^† , ^†′ ]+ = 0,[^ , ^†′ ]+ = ′ .(11.14)Величины, удовлетворяющие алгебре (11.14), называются переменнымиГрассмана.Первые два равенства (11.14) дают для = ′^† ^† = 0,^ ^ = 0.(11.15)Это гарантирует принцип Паули: размещение двух тождественных фермионов на одной орбите запрещено. Определяя операторы чисел заполнениядля каждой орбиты тем же способом (11.10), как для бозонов, и используяпоследний антикоммутатор в (11.14), мы получим^ = ^† ^ ,^ = 1−^ ^† .(11.16)Простая алгебра тогда приводит к^2 = ^† ^ ^† ^ = ^† (1 − ^† ^ )^(11.17)или, используя (11.15),^2 = ^ .(11.18)288Глава 11.
Вторичное квантованиеОтсюда собственные значения операторов чисел заполнения равны 0 и 1,как и должно быть для Ферми-статистики.Вектор состояния для системы многих тел может быть построен как вуравнении (11.13); это состояние автоматически зануляется, если > 1.Любая перестановка операторов рождения изменяет общий знак вектора состояния вследствие антикоммутативности. Следовательно, волноваяфункция имеет правильную перестановочную симметрию.
Фактическивектор состояния (11.13) в случае Ферми строится просто произведениемоператоров рождения ^† для всех занятых орбит ( = 1). Это состояниеантисимметрично и, следовательно, соответствует детерминанту Слэтера в«первичном квантовании».Следует упомянуть одну тонкую вещь. Мы упоминали при определениисостояния системы многих тел (11.2), что множество одночастичных орбит|) должно быть некоторым образом упорядочено. Это было неважно дляслучая Бозе из-за симметрии операторов. Но в антисимметричном фермиевском случае это становится актуальным для матричных элементовоператоров рождения и уничтожения в отличие от (11.9). Легко понять напростых примерах, что матричные элементы должны быть равны√^ | .
. . , , . . . ⟩ = (−) | . . . , − 1, . . . ⟩,√^† | . . . , , . . . ⟩ = (−) 1 − | . . . , + 1, . . . ⟩,(11.19)где квадратные корни отражают ограничения принципа Паули, a фаза∑︁ = ′(11.20)′ <определяется числом перестановок, которые необходимы для того, чтобыперевести внешний оператор ^ или ^† в его естественное место в упорядоченной последовательности орбит.
Вакуумное состояние удовлетворяет(I.11.112), как в Бозе-случае.11.5. Алгебраические соотношенияВсе операторы могут быть представлены как состоящие из простейшихблоков ^ , ^† ^′ (уничтожение, рождение или перемещение частицы).^† или Ниже мы даем несколько тождеств, чтобы их использовать в практическихвычислениях с операторами вторичного квантования. Тождества выводятся непосредственным применением элементарных правил, таких как11.5. Алгебраические соотношения289(11.11) и (11.14). Некоторые результаты справедливы для обоих типов статистики. В других случаях верхний (нижний) знак относится к бозонам(фермионам).Задача 11.1Используя цифровые обозначения для орбит, доказать правила коммутации для парных операторных блоков[^1 , ^†2 ^3 ] = 12 ^3 ,[^†1 , ^†2 ^3 ] = −13 ^†2 ,(11.21)[^1 , ^†2 ^†3 ] = 12 ^†3 ± 13 ^†2 ,(11.22)[^†1 ^2 , ^†3 ^4 ] = 23 ^†1 ^4 − 14 ^†3 2(11.23)и для важных в приложениях операторов рождения и уничтожения пар,[^1 ^2 , ^†3 ^†4 ] = 23 14 ± 24 13 + 24 ^†3 ^1 + 13 ^†4 ^2 ± 23 ^†4 ^1 ± 14 ^†3 ^2 .
(11.24)Знаки легко понять в соответствии с симметрией или антисимметриейисходных операторов при перестановках. Отметим, что во всех случаяхздесь мы вычисляем коммутаторы, а не антикоммутаторы.Для вычисления матричных элементов операторов между состояниямисистемы многих тел (11.13) достаточно вставить необходимый оператормежду бра- и кет-состояниями и вычислить итоговые вакуумные средниезначения. Они не равны нулю, только если число операторов рожденияравно числу операторов уничтожения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
