1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 49
Текст из файла (страница 49)
For identical particles, this gives rise to the secondary quantized form (17.54),̸=Здесь множитель 1/2поскольку каждая пара , ( ̸= ) должна1 Xнеобходим,† †0D(12jUj34)aO 1 aOДляO 3 aO 4тождественных.2aучитываться Hтолькоодинраз.частиц это(17.61)приводит к2 1234вторично-квантованной форме (11.54)The interaction structure, Figure 17.1a, describes a two-body collision with the∑︁transition (4,3!2,1),pair of particles undergoing1the† † where, in concordance to′^the^incoming=^2 (12||34)^label34.1the structure of the matrix element(17.59),weand outgoing (11.61)21234lines of the diagram counterclockwise,4 ! 3 ! 2 ! 1. This representation of theprocess can be referred to as the particle-particle channel.0†СтруктураForвзаимодействия(рис.H11.1,)двухчастичноестолкноD H 0 ,описываетthe two-body matrixelements satisfya Hermitian Hamiltonian,the condition пары частиц, подвергающихся переходу (4,3 →2,1 ), где,вение с участиемв соответствии со структурой! матричного элемента (11.59), мы маркиру(12jUj34) D (43jUj21) .(17.62)ем приходящие и уходящие линии диаграммы против часовой стрелки,of matrix elements процессаfollows fromотноситсяthe commutationrelationsчастицаof4 → 3 →Another2 → 1.propertyЭто представлениек каналучастица.single-particle operators: for any statistics of the particles, the simultaneous permutation of initial and final particles does not change the amplitude of the process,(12jUj34) D (21jUj43) .232(17.63)r2=r3U(r1–r2)1(a)41(b)Figure 17.1 Two-body interaction diagrams.r1=r4P/2–p3P4P/2–p'U(p'–p)P/2+p(c)Рис.
11.1. Диаграммы взаимодействия двух телP/2+p'P!11.8. Межчастичное взаимодействие в базисе плоских волн297Для эрмитова гамильтониана ′† = ′ , двухчастичные матричные элементы удовлетворяют условию(12| |34) = (43| |21)* .(11.62)Другое свойство матричных элементов следует из коммутационных соотношений одночастичных операторов: для любой статистики частиц одновременная перестановка в парах начальных и конечных частиц не изменяетамплитуды процесса:(12| |34) = (21| |43).(11.63)При перестановке только начальных (или только конечных) частиц матричные элементы не имеют никакой симметрии.
Однако полная сумма (11.61)содержит только симметризованную (для бозонов) или антисимметризованную (для фермионов) часть. Поэтому иногда удобно ввести матричныеэлементы определенной симметрии[︁]︁1̃︀ |34) = 1 (12| |34) ± (21| |34)(12|22(11.64)и записать полный оператор взаимодействия как′ =1 ∑︁̃︀ |34)^(12|†1 ^†2 ^3 ^4 .4(11.65)1234В качестве примера рассмотрим случай потенциального взаимодействия,которое зависит от относительного расстояния между частицами и ненесет какой-либо зависимости от дополнительных квантовых чисел частиц,таких как спин или изоспин. Набор подходящих одночастичных квантовыххарактеристик в этом случае содержит лишь |1) = |r1 , 1 ), и вершинапотенциала (рис. 11.1,) имеет структуру(12| |34) = 1 4 2 3 (r1 − r4 )(r2 − r3 ) (|r1 − r2 |).(11.66)Полный (не симметризованный) гамильтониан взаимодействия описываетсявыражением∫︁1 ∑︁′ =3 1 3 2 (|r1 − r2 |)^†r1 1 ^†r2 2 ^r2 2 ^r1 1 .(11.67)2 1 2Для спин-спинового взаимодействия = ( )(s · s ) мы имеем(12| |34) = (s1 4 · s2 3 )(r1 − r4 )(r2 − r3 ) (|r1 − r2 |),(11.68)298Глава 11.
Вторичное квантованиеи∫︁1 ∑︁^r1 4 .†r1 1 ^†r2 2 ^r2 3 =3 1 3 2 (|r1 − r2 |)(s1 4 · s2 3 )^2 ′1 2 3 4(11.69)Импульсное представление естественно для пространственно-однороднойсистемы, когда каждое столкновение сохраняет полный импульс пары.Используя снова нормировку в объеме (11.40), преобразуем гамильтониан(11.67) следующим образом (все импульсы квантованы в том же объеме):′ =1 ∑︁ ∑︁^† ^† ^ ′ ^ ′2 2 p p p p p1 1 p2 2 p2 2 p1 11 2∫︁×1 2 3 4′′3 1 3 2 (|r1 − r2 |)(/~)[r1 ·(p1 −p1 )+r2 ·(p2 −p2 )] .(11.70)Вместо четырех импульсов p частиц в процессе мы вводим (рис. 11.1,) полные импульсы P′ и P в канале частица-частица и относительные импульсыp′ и p соответственно до и после столкновенияp1 =P+ p,2p2 =P− p,2p′1 =P′+ p′ ,2p′2 =P′− p′ .2(11.71)Интеграл по координатам в уравнении (11.70) теперь разбит на произведение двух независимых интегралов, по координате R = (r1 + r2 )/2 центрамасс и по относительному расстоянию r = r1 − r2 пары∫︁′′3 1 3 2 (|r1 − r2 |)(/~)[r1 ·(p1 −p1 )+r2 ·(p2 −p2 )]∫︁=3 (/~)R·(P−P′ )∫︁′3 ()(/~)r·(p−p ) .(11.72)Интеграл по координате центра масс выражает сохранение импульса∫︁′3 (/~)R·(P−P ) = PP′ ,(11.73)в то время как результат рассеяния определяется фурье-компонентой потенциала, соответствующего передаче импульса p′ − p (сравните c борновскимприближением, разд.
1.5)∫︁′p′ −p = 3 ()(/~)r·(p−p ) .(11.74)11.9. Межчастичное взаимодействие в конечной системе299Окончательно гамильтониан взаимодействия в импульсном представленииможет быть записан как1 ∑︁ ∑︁′ =p′ −p ^†p+P/2,1 ^†−p+P/2,2 ^−p′ +P/2,2 ^p′ +P/2,1 . (11.75)2 ′1 2Ppp11.9. Межчастичное взаимодействие в конечной системеДадим здесь пример пространственно ограниченной системы, где лучшимодночастичным базисом является не плосковолновой, а базис, определенныйсимметрией задачи (атом, молекула, атомное ядро).В таких приложениях естественное одночастичное представление даетсясредним полем, гл.
13. Модель ядерных оболочек обычно использует сферический базис |11 ) со спин-орбитальной связью, гдe обозначение 1 комбинирует все одночастичные квантовые числа связанной схемы (j1 = ⃗ℓ1 +s1 ) заисключением проекции полного углового момента = . Двухчастичныйгамильтониан принимает вид′ =12∑︁(11 , 22 | |33 , 44 )^†11 ^†22 ^33 ^44 .(11.76)1234;{}Если изоспиновая инвариантность учитывается явно, то можно такжевыделить проекцию изоспина 3 = каждой частицы.Сохранение полного углового момента налагает ограничения на амплитуды.
В самом деле, если взаимодействие является инвариантнымотносительно поворотов, то полный угловой момент исходной пары (3,4 )должен быть равен таковому для конечной пары (1,2 ). Начальное состояние|33 , 44 ), не связанное в полный угловой момент, является суперпозицией состояний с определенным значением полного момента и полнойпроекции = Λ:∑︁|33 , 44 ) =Λ|34; Λ).(11.77)4 4 3 3ΛАналогичное представление справедливо для конечного состояния:∑︁′ Λ′(11 , 22 | =1 (12; ′ Λ′ |.(11.78)1 2 2′ Λ′300Глава 11. Вторичное квантованиеВ этих определениях мы упорядочиваем одночастичные состояния такимобразом, что, как на рис. 11.1, квантовые числа 1 и 4 для различимыхчастиц соответствовали бы первой частице, а 2 и 3 − второй.Матричные элементы , как любого скалярного оператора, не меняютвращательные квантовые числа, ′ = , Λ′ = Λ.
Более того, матричныеэлементы скаляра не зависят от проекции Λ. Следовательно, амплитудапроцесса может быть записана как∑︁(11 , 22 | |33 , 44 ) =Λ Λ (12; 34)(11.79)1 1 2 2 4 4 3 3 Λс эффективными матричными элементами (12; 34), где -зависимостьуже исключена. Теперь мы можем комбинировать коэффициенты Клебша—Гордана с операторами рождения и уничтожения и образовывать операторырождения пары:∑︁†^Λ(12) =Λ^† ^†(11.80)1 1 2 2 11 221 2и эрмитово-сопряжённые операторы уничтожения пары:∑︁^^.^Λ (12) =Λ1 1 2 2 22 11(11.81)1 2Таким образом, вращательно-инвариантное взаимодействие в канале частицачастица может быть приведено к виду′ =1 ∑︁† (12; 34)^Λ(12)^Λ (43).2(11.82)1234;ΛВ качестве простого обобщения мы получим для изоспин-инвариантноговзаимодействия∑︁†^Λ;(12)=Λ 3^†^†,(11.83)1 1 2 2 1/21 1/22 11 1 22 231 2 ,1 2^Λ;3 (12) =∑︁Λ 3^^,1 1 2 2 1/21 1/22 22 2 11 1(11.84)1 2 ,1 2′ =12∑︁1234;Λ;3† (12; 34)^Λ;(12)^Λ;3 (43),3(11.85)11.9.
Межчастичное взаимодействие в конечной системе301где — полный изоспин пары (0 или 1 для нуклонов), и(11 1 , 22 2 | |33 3 , 44 4 )=∑︁ Λ (12; 34). 3Λ 31 1 2 2 1/21 1/22 1/24 1/23 4 4 3 3 (11.86)Λ,3В приложениях к ядрам операторы нуклонной пары (11.83) и (11.84)имеют простые свойства симметрии, которые следуют из Ферми-статистикии дополнительности между спин-пространственными и изобарическимипеременными. Если мы переставим два оператора рождения в сумме, входящей в уравнение (11.83), то в результате появится знак минус. Теперьмы восстановим соответствие между коэффициентами Клебша—Горданаи порядком операторов, переставив нижние пары индексов в обоих коэффициентах Клебша—Гордана, что даёт фазы (−)1 +2 − и (−)1/2+1/2− .В результате мы получим тот же оператор ^ † , но с противоположнымпорядком невращательных квантовых чисел 1 и 2 :††^Λ,(12) = (−)1 +2 ++ ^Λ,(21).33(11.87)В частности, для пары нуклонов на одной одночастичной орбите, 1 =2,сумма + должна быть нечётным целым.
Это соответствует факту,обсуждающемуся в следующем разделе (вспомним также задачу 9.1), чтопара эквивалентных фермионов ( = 1) может иметь только чётныйполный угловой момент . Квазидейтронная пара ( = 0) может иметьтолько нечётные значения ; как мы уже обсуждали, реальный дейтронимеет = 0 и полный угловой момент = 1 (ранее это обозначалось как). Этот результат также является аналогом обобщенного принципа Паули(10.18), выведенного в -схеме. Аналогичным образом мы можем получитьтолько чётные и для бозонной пары (без спина или изоспина).Дополнительная литература: [4], [66], [68]Неразличимость тождественных частицимеет важные, экспериментально проверяемые следствия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
