1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Например, спектрымногоэлектронных атомов были бы бытьсовершенно другими, если бы электроныатомов были различимы.E. Мерцбахер. «Квантовая механика»Глава 12Атомные и ядерные конфигурации12.1. Приближение независимых частицВ хорошем приближении многоэлектронный атом — это система тождественных фермионов со спином 1/2 (электроны), движущихся в среднемполе, создаваемом совместно центральным ядром и всеми электронами. Мыоставляем задачу вывода этого поля для следующего раздела и рассматриваем здесь поле как внешнее.
Электроны в молекуле также движутсяв среднем поле, создаваемом ионами, тяжёлая масса которых оправдывает адиабатическую картину (разд. II.4.5), и всеми прочими электронами.Атомные ядра также могут рассматриваться как система независимыхнуклонов в общем среднем поле.
В этом случае нет центрального телаи полное поле обусловлено взаимодействием протонов и нейтронов. Темне менее, мы также можем начать с приближения независимых частиц.Относительно новый пример — это холодные атомы в атомных ловушках,где отдельные атомы в некотором приближении могут рассматриватьсякак независимые.
В этом случае поле ловушки действительно являетсявнешним.Многочастичная волновая функция всей системы должна быть полностью симметричной или антисимметричной при перестановках всех пространственных и спиновых переменных произвольной пары частиц. Этосправедливо безотносительно к присутствию межчастичных взаимодействий. В приближении независимых частиц существует особый одночастичный базис |), который состоит из правильных орбиталей, найденных дляданного внешнего поля. Каждое распределение частиц по доступныморбиталям, совместимое с типом статистики, образует конфигурацию.304Глава 12. Атомные и ядерные конфигурацииВо вторичном квантовании многочастичная волновая функция конфигурации может строиться с помощью операторов рождения ^† , помещающихвсе частицы на требуемые орбитали.
В волновой функции независимыхфермионов каждое занятое состояние появляется только один раз. Еслиобозначение включает в себя все одночастичные квантовые числа, торезультат в представлении чисел заполнения имеет вид:∏︁ †|Ψ⟩ =(^ ) |0⟩,(12.1)где числа заполнения равны 0 или 1. Это полностью эквивалентноволновой функции, записанной как детерминант Слэтера. Здесь принципПаули содержится в правилах антикоммутации для операторов рождения^† .Аналогичным образом мы можем выписать волновую функцию независимых бозонов, но тогда числа заполнения могут принимать произвольныецелые значения от 0 до .
Следовательно, нам нужно добавить нормировочные множители∏︁ 1√(12.2)(^† ) |0⟩,|Ψ⟩ =!которые возникают из-за неразличимости частиц (полагая 0! = 1, мыможем использовать эту формулу также для фермионов). В обоих случаяхдля бозонов и для фермионов энергия конфигурации независимых частицописывается выражением∑︁ ∘ ({ }) = ,(12.3)где — энергии независимых орбиталей.12.2. Добавляя вращательную инвариантностьПредположим, что среднее поле обладает сферической симметрией. Этоявляется хорошим приближением во многих случаях для атомов и ядер.В таком поле одночастичное движение сохраняет квантовые числа угловогомомента частицы: ℓ, ℓ и в раздельной схеме, или , ℓ (или четность), и в связанной спин-орбитальной схеме.Однако детерминант Слэтера, построенный заполнением таких орбиталей, вообще говоря, не имеет определенного значения полного орбитальногомомента и полного спина , или полного углового момента .
Поскольку12.2. Добавляя вращательную инвариантность305стационарные невырожденные состояния сферически симметричной системы как целого должны иметь определенные значения полного угловогомомента, мы вынуждены отказаться от волновой функции в виде одногодетерминанта Слэтера (12.1) и комбинировать несколько таких детерминантов способом, определяемым правилами сложения углового момента.То же самое справедливо для Бозе-систем, где нам нужно комбинироватьсостояния (12.2).В некоторых случаях такая комбинация возникает почти автоматически,мы видели примеры для двух нуклонов в разд.
9.5. Для фермионных орбиталей без спин-орбитальной связи, когда каждая одночастичная волноваяфункция является произведением пространственной и спиновой частей, неболее чем две частицы могут иметь одинаковые орбитальные квантовыечисла (, ℓ, ℓ ). В случае пространственного совпадения для двух частицспиновая волновая функция пары с необходимостью антисимметрична (синглет 00 ).
Это мы видели и в задаче рассеяния, когда орбитальнаяфункция симметрична, разд. 9.6. Такая ситуация имеет место в атоме гелия.В основном состоянии два электрона занимают низшую 1-орбиту, поэтомуони автоматически образуют спиновую синглетную пару. Квантовые числапары определяются без всяких усилий:ℓ1 = ℓ2 = = 0,1 = 2 = 1/2, = 0, = 0,(12.4)что соответствует спектроскопическому символу 1 0 .Запишем волновую функцию основного состояния гелия во вторичномквантовании (12.1) с операторами рождения ^†ℓℓ :|Ψ0 ⟩ = ^†000 1/2 ^†000 −1/2 |0⟩.(12.5)Здесь мы выстраиваем орбитали в порядке убывания проекций. Волноваяфункция (12.5) может быть переписана с помощью правил антикоммутации1 †|Ψ0 ⟩ = (^^†−^†000 −1/2 ^†000 1/2 )|0⟩.2 000 1/2 000 −1/2(12.6)С обозначением ( = ) это то же самое, что|Ψ0 ⟩ =1 ∑︁(−)1/2− ^†000 ^†000 − |0⟩,2 (12.7)306Глава 12.
Атомные и ядерные конфигурацииили, вспоминая значения коэффициентов Клебша—Гордана (II.7.36),1 †1 ∑︁ 00^†000 ^†000 − |0⟩ ≡ √ [^|Ψ0 ⟩ = √1/2 1/2 − 000,=1/2 ^†000,=1/2 ]=0 |0⟩,2 2(12.8)где символ [ ′ ] означает векторное сложение двух подсистем j +j′ = J.
Таким образом, в этом случае исходный детерминант Слэтерадействительно выдаёт определённые значения = = = 0. Конечно, этопроисходит, потому что мы взяли конфигурацию заполненного -уровня.Перейдем к возбуждённым состояниям атома гелия. Если в оболочке 1остаётся один электрон, в то время как второй переходит на оболочку сℓ > 0, то они больше не эквивалентны в том смысле, что нет ограниченийна величину спина волновой функции, поскольку пространственные функции уже разные. Оба, синглетное и триплетное, состояния разрешены, иправильно преобразующаяся при вращениях волновая функция с определёнными значениями , (автоматически равными ℓ, ℓ возбуждённогоэлектрона) и , такова:1 ∑︁ |Ψℓℓ ⟩ = √^†000 ^†ℓℓ ′ |0⟩.′2 ′ 1/2 1/2 (12.9)Если оба электрона находятся на разных орбитах с ненулевым ℓ, нам нужнодобавить векторное сложение орбитальных моментов [ℓℓ′ ] .
Созданиетаких пар может быть описано вторично квантованным оператором рождения пары (11.80). Наконец, и должны быть сложены в полный угловоймомент с квантовыми числами , . Таким образом, конфигурации всего двух электронов показывают многообразие возможных вращательныхмультиплетов.Здесь мы можем слегка изменить определение того, что мы назваликонфигурацией. При наличии вращательной симметрии одночастичныеэнергии не зависят от сохраняющихся магнитных квантовых чисел, ℓи в несвязанной схеме, и от в схеме со спин-орбитальной связью.Мы будем объединять в конфигурацию все распределения с одинаковымколичеством частиц на вырожденных орбиталях.
Например, в сложноматоме мы можем положить 1 частиц на орбите ℓ1 , 2 частиц на орбите ℓ2 ,и так далее, без точного указания занятых значений ℓ и . Все распределения с одинаковыми значениями ℓ относятся к одной конфигурациив новом значении этого слова; в модели ядерных оболочек это иногда называется partition (разделение). Внутри конфигурации обычно возможны12.3. Многочастичные конфигурации307многие значения полного углового момента, которые имеют, в отсутствиемежчастичных взаимодействий, одну и ту же энергию.12.3.
Многочастичные конфигурацииДля двух частиц разрешенные состояния были найдены в задаче 9.1.В многочастичной конфигурации ограничения, наложенные требованиямиквантовой статистики, определяют разрешённые значения вращательныхквантовых чисел. Чтобы найти эти значения, можно начать, как мы делалив стандартных задачах сложения угловых моментов (разд. II.7.6), с состояния с максимально возможной проекцией полного углового момента. Этообычно легко, поскольку проекции складываются алгебраически. Это «корневое» состояние должно быть построено с учётом требований статистики.Затем мы можем действовать понижающим оператором и спускаться вниз,заполняя на каждом шаге уже имеющиеся мультиплеты состояниями сболее низкими проекциями и приписывая оставшиеся, разрешённые статистикой, состояния новым мультиплетам. Этот процесс лучше понять напримерах.Задача 12.1Три нейтральных атома, имеющие внутреннее состояние с полным угловым моментом = 0, находятся на орбите в орбитальным моментом ℓ = 2в атомной ловушке.
Определить возможные значения полного угловогомомента системы; сравнить полное число состояний с результатом (9.20).Решение.Атомы подчиняются статистике Бозе и полное число состояний, в соответствии с уравнением (9.20) для = 3 и Ω = 5 (число различныхпроекций орбитального момента), равно (3, 5) =7!= 35.3! 4!(12.10)Чтобы найти возможные значения полного углового моментаL = ⃗ℓ1 + ⃗ℓ2 + ⃗ℓ3 ,(12.11)мы построим сначала в исходной -схеме состояние (1 , 2 , 3 ) = (2, 2, 2)с наивысшей проекцией = = 6. Такое состояние единственно и этоподтверждает существование = 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
