1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Следовательно, уравнение (12.67)образования оболочки на самом деле является условием приближённогоклассического резонанса между двумя периодическими движениями: ≈ .(12.68)Для изотропного гармонического осциллятора уравнение (12.68) являетсяточным, поскольку = , но оно все еще справедливо приближенно внекотором интервале квантовых чисел в случае слегка различных частот и . Когда частоты различаются сильнее, оболочечная структура размыва-326Глава 12.
Атомные и ядерные конфигурацииется, но она появляется снова в области следующего резонанса, например,при отношении частот, близком к 2:1.Задача 12.10Нарисовать систему одночастичных уровней для потенциала аксиальносимметричного гармонического осциллятора с различными значениямиотношения частот, / = / ≡ ⊥ / ; сравнить с рис. II.3.2 длядвумерного случая.Решение.Смотрите рис. 12.2, где параметр деформации равен = (⊥ − )/0 ,0 = (2⊥ + )/3; числа показывают максимальное заполнение оболочек.Деформация может быть пересчитана в отношение осей.Дополнительная литература: [10], [39], [69], [70]Говорят, что вскоре после открытия уравненияШрёдингера для волновой функции электронов Ψ,которое блестяще оправдалось для малых систем,таких как He или H2 , П.
М. Дирак объявил конецхимии, поскольку всё её содержание описывалосьэтим великим по силе уравнением. «К сожалению»,как говорят, добавил он, «практически во всехслучаях сложность этого уравнения не позволяетполучить его решение».В. Кон. Нобелевская лекция, 1998Глава 13Фермионы13.1. Идеальный Ферми-газТочное решение реалистической квантовой задачи для системы многихчастиц, взаимодействующих между собой и с внешними полями, невозможно (и было бы бесполезным).
Нужны приближённые методы, основанныена эмпирической информации, физических гипотезах и поучительныхупрощённых моделях. Более того, вместо точной чрезвычайно сложнойволновой функции нам нужно лишь ограниченное количество информации,которая может быть непосредственно связана с наблюдаемыми величинами.Взаимодействие обычно не является слабым, и прямолинейное применениетеории возмущений на основе картины независимых частиц не работает.Тем не менее мы начнём с идеального газа невзаимодействующих частиц —этот шаг необходим для того, чтобы подойти к физике реалистическихсистем со взаимодействиями.Эта идеализированная картина уже обсуждалась в главе 12 для атомных и ядерных конфигураций.
В идеальном Ферми-газе мы имеем тождественных фермионов в общем внешнем поле, и нерелятивистскийгамильтониан выражается формулой^ = {︁}︁ ∑︁∑︁^ .^ ≡^ + ℎ=1=1(13.1)328Глава 13. ФермионыВолновые функции системы как целого Ψ строятся из одночастичныхфункций , удовлетворяющих^ = .ℎ(13.2)^ идентичны. РешениеВследствие неразличимости частиц все операторы ℎуравнения (13.2) даёт полный ортонормированный набор функций { } иих энергии .
Многочастичные стационарные состояния Ψ — это слэтеровские детерминанты (или относительно простые их комбинации, имеющиеопределённые значения интегралов движения), см. гл. 12. Эти состояниясоответствуют различным распределениям частиц по одночастичным орбиталям . На языке вторичного квантования мы выбираем различныхорбиталей и действуем на вакуум |0⟩ операторами рождения ^† , поодному на каждую из выбранных орбиталей. Энергия каждого стационарного состояния даётся суммой (12.3). Основное состояние соответствуетзаполнению низших орбиталей. Мы называем энергией Ферми энергию самого высокого из занятых состояний. Если имеются вырожденныесостояния с такой энергией, то они образуют поверхность Ферми Σ .^ →В простейшем пространственно однородном случае потенциал (r ) в (13.1) определяется стенками большого ящика объёма = 3 спериодическими граничными условиями, см.
разд. I.3.8. Соответствующиеорбитали — это плоские волны |) = |p) с импульсом p и проекцией спина на произвольную ось квантования1p (r, ) = (r |p) = √ (/~)(p·r) ( ).(13.3)Здесь ( ) — спиновая функция, а компоненты волнового вектора являются дискретными, = /~ = (2/) . Одночастичные энергии состояний (13.3)p2(13.4) → p =2не зависят от и от направления p.В основном состоянии системы все орбитали (13.3) заняты вплоть доэнергии√ , характеризуемой, в соответствии с (13.4), импульсом Ферми = 2 . В термодинамическом пределе большого объёма и большого числа частиц при фиксированной плотности = / импульсФерми зависит только от плотности.
Число частиц равно числу занятых13.1. Идеальный Ферми-газ329орбиталей |p):=∑︁p ,p = 1 если 6 и 0 если > .(13.5)pПереходя к интегрированию со стандартным подсчётом орбиталей (I.3.94),мы имеем для основного состояния∫︁ 33=,(13.6) =(2~)3 <6 2 ~3где — число вырожденных внутренних состояний частицы, в нашем случаечисло проекций спина (2 + 1). Занятые орбитали образуют сферу Ферми вимпульсном пространстве, радиус которой равен(︂ =6 2 ~3 )︂1/3(︂=6 2 ~3)︂1/3.(13.7)Среднее расстояние между частицами 0 ∼ −1/3 ∼ 1/ определяетсяволновым вектором = /~.Таким же образом мы можем вычислить энергию основного состоянияидеального Ферми-газа:∫︁∑︁3 20 =p p = ,(13.8)3 2(2~)<pили, используя (13.6),0 =3 23 = .5 25(13.9)Средняя кинетическая энергия частицы ¯ = 0 / = (3/5) растёт сплотностью ∝ 2/3 . Это согласуется с основанной на соотношении неопределённостей оценкой температуры (9.9), соответствующей наступлениюквантовых эффектов в вырожденном газе.
Когда плотность возрастаети расстояние между частицами 0 = [3/(4)]1/3 уменьшается, энергиявзаимодействия обычно увеличивается. Однако кулоновская энергия газазаряженных частиц увеличивается только как ∝ 1/0 ∝ 1/3 , т. е. медленнее,чем кинетическая энергия. Вопреки интуиции, плотный кулоновский газоказывается ближе по своим свойствам к идеальному газу: относительнаяроль взаимодействия убывает.330Глава 13.
ФермионыВо многих приложениях важную роль играет плотность состояний наповерхности Ферми . Поскольку любое слабое возмущение Ферми-газаможет повлиять только на слой моря Ферми вблизи поверхности (частицыв глубоких состояниях не могут возбуждаться, поскольку соседние меставыше по энергии уже заняты), именно определяет, насколько сильнымбудет отклик газа на возмущение. По стандартному определению (I.3.83),см.
также разд. II.11.5, плотность одночастичных состояний есть числотаких состояний на единичный интервал энергий (мы также подразумеваемздесь единичный объём)() =4 2,3(2~)(13.10)где мы проинтегрировали по телесному углу, предполагая изотропныйэнергетический спектр (). Для () = 2 /2 мы получаем ≡ ( ) = ,2 2 ~3(13.11)или, сравнивая с выражением (13.6) для плотности = / , мы приходимк плотности состояний на единичный объём =33=.22(13.12)Задача 13.1Рассмотрите атомное ядро ( протонов и нейтронов) в модели Фермигаза. Покажите, что нейтрон-протонный дисбаланс − имеет своейценой энергию симметрии, пропорциональную 32 /, где 3 — проекцияизоспина (10.11), = + — массовое число, и мы предполагаем | −|/ ≪ 1.
Выразите коэффициент пропорциональности через энергиюФерми симметричного ядра ( = ).Решение.Полная кинетическая энергия нейтронного и протонного Ферми-газовесть + = + (13.13)в терминах кинетических энергий нуклонов. Из (13.9){︃ (︂ )︂(︂ )︂2/3 }︃ 2/3 5/3 + 5/3 + = const· += const·, (13.14)2/313.1. Идеальный Ферми-газ331поскольку объём ядра пропорционален числу нуклонов . Энергия (13.13)минимальна при = = /2. Изменение энергии при избытке нейтроновравно[︃(︂ )︂5/3 ]︃const5/35/3+−2symm = + − 2/2 = 2/3 , (13.15)2или, вводя изоспин 23 = − , |3 | ≪ ,[︃(︂)︂5/3 (︂)︂5/3(︂ )︂5/3 ]︃2const− 3++ 3−2∝ 3 . (13.16)symm = 2/3222Собирая коэффициенты, находимsymm =42( − )2 3 = .33(13.17)В действительности этот эффект объясняет только около половины энергиисимметрии; остальное происходит от нуклонных взаимодействий, зависящихот изоспина, которые сильнее для нейтрон-протонных пар с = 0, чем дляпар одинаковых частиц ( = 1).Задача 13.2Найдите корреляционную функцию плотностей в различных точках дляидеального Ферми-газа в ящике.Решение.Оператор плотности для данной проекции спина записывается как∑︁′^r = 1(k −k)·r ^†k ^ k′ ′(13.18)kk(ср.
с (11.42)), так что среднее значение полной плотности в основномсостоянии Ферми-газа есть∑︁^r ⟩ =⟨1 ∑︁ (k′ −k)·r1 ∑︁k =≡ ,k′ k k = ′kk (13.19)kпричём каждая спиновая компонента даёт вклад /(2+1). Корреляционнаяфункция плотности содержит^r ^r ⟩,(r1 1 ; r2 2 ) = ⟨1 12 2(13.20)332Глава 13. Фермионыили(r1 1 ; r2 2 ) =12[(k2 −k1 )·r1 +(k4 −k3 )·r2 ] ⟨^†k1 1 ^k2 1 ^†k3 2 ^k4 2 ⟩,∑︁k1 k2 k3 k4(13.21)как это было бы и для различимых частиц. Для разных проекций спина1 ≠ 2 матричный элемент в (13.21) задаёт k2 = k1 , k4 = k3 , и корреляцияплотности отсутствует:12(r1 1 ; r2 2 ̸= 1 ) =(︂2 + 1)︂2=2.(2 + 1)2(13.22)Корреляции появляются при 2 = 1 ≡ .
Теперь есть два случая, когдаматричный элемент отличен от нуля: первый, k2 = k1 , k4 = k3 , приводит кпредыдущему нескоррелированному результату (13.22), тогда как втораявозможность, k2 = k3 , k4 = k1 , определяет(r1 ; r2 ) =21 ∑︁ (k2 −k1 )·(r1 −r2 )+k1 (1 − k2 ). (13.23)(2 + 1)2 2k1 k2В корреляционном члене уравнения (13.23) сумма по k1 берётся по занятымсостояниям 1 < , тогда как сумма по пустым состояниям k2 даёт(r = r1 − r2 )⎛⎞∑︁∑︁⎝⎠ (k2 ·r) .−(13.24)k22 <Полная сумма по k2 равна (r), так что(︂(r1 ; r2 ) =2 + 1)︂2+(r) −2 + 1(︂())︂2,(13.25)где() =∑︁<(k·r)∫︁=< 3 (k·r),(2)3(13.26)и интегрирование приводит к() =[sin( ) − ( ) cos( )].2 2 3(13.27)13.1.
Идеальный Ферми-газ333Таким образом, результат для корреляционной функции (ср. с (11.52))(︂(r1 , r2 ) ≡ (r1 , r2 ) −2 + 1)︂2(13.28)есть (r = r1 − r2 ):Vladimir Zelevinsky: QuantumPhysics — Chap. zelevinskyc19 —[sin( ) − ( ) cos( )]2(r) = −2 + 1(r) −4 4 6.(13.29)Корреляция всегда отрицательна, как и следовало ожидать по принципуПаули (так называемая корреляционная дырка), но она быстро убываетна больших расстояниях, рис. 13.1; осцилляции показывают интерференционную картину с характерной длиной волны 1/ порядка среднегорасстояния между частицами. Обратите внимание, что нетривиальные корреляции появляются только из-за обменных эффектов между частицами с388 19 Fermionsпараллельными спинами.C(x)510x=kF rC0Рис.
13.1. Корреляционная функция плотностей для фермионов с одинаковымиFigure19.1 Correlational function of densities for fermionsпроекциями спина; = > 0; 0 = 4 4 6x D k F r > 0I C0 D4π 4 k F6 .withThus, the result for the correlation function (compare w334Глава 13. Фермионы13.2. Спиновый парамагнетизмКогда на Ферми-газ действует внешнее поле, основное состояние перестраивается так, чтобы минимизировать энергию в новых обстоятельствах.В качестве примера рассмотрим, как электронные спины ведут себя впостоянном магнитном поле.При отсутствии магнитного поля минимум энергии соответствует равным числам ± электронов с проекциями спинов = ±1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
