1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Фермионызнака 0 в его окрестности появится избыток или недостаток электроннойплотности в ответ на нарушение электростатического равновесия. Новоепространственно неоднородное распределение электронов () вместе свнешним зарядом порождает электростатический потенциал (), удовлетворяющий уравнению Пуассона:∇2 = −4{0 (r) − [() − ]}.(13.74)Потенциал, действующий на электрон, есть −(), так что уравнениесогласования (13.61) принимает вид (при ̸= 0)∇2 =4(2)3/23/2{[ + ()]3/2 − }.33~(13.75)Для малого возмущения, вызванного внешним зарядом, || ≪ ,∇2 ≈22 (2)3/2 √ ,~3(13.76)и, выражая энергию Ферми через невозмущённую плотность ,∇2 =22 (2)3/2 (3 2 )1/342 32√=.2 2Величина(13.77)√︂42(13.78)является классической плазменной частотой (II.15.37), которая характеризует отклик плазмы на локальное нарушение электронейтральности.Любая локальная неравновесная плотность заряда генерирует ток j поуравнению непрерывности0 =()= −div (j).(13.79)Электронный ток j = − v самосогласованно поддерживается электрическим полем (v)⃗= − ( ℰ),(13.80)которое, в свою очередь, создаётся той же самой флуктуацией заряда⃗ = 4().
В результате локальная флуктуация ведёт к осцилляциямdiv ( ℰ)13.7. Приближение Хартри–Фока347плотности заряда 2 ()42=−() = −02 ()2(13.81)с электронной плазменной частотой (13.78).Согласно (13.77), возмущение потенциала удовлетворяет ( = / —скорость на Σ )2∇2 = 3 20 .(13.82)Решение этого уравнения, убывающее на бесконечности и переходящее впотенциал 0 / заряда 0 в начале координат, есть() =0 − ,=√ 03.(13.83)Статический внешний заряд экранируется подвижными электронами,вспомните задачу I.1.8.
Радиус экранирования равен =1=√.3 0(13.84)Это характерная длина смещения электронов в среде, нужная, чтобысбалансировать внешний заряд и восстановить равновесие (поляризационная длина). Возмущение в электронном газе распространяется на эторасстояние за время порядка периода плазменных колебаний.13.7. Приближение Хартри–ФокаСравнивая метод Хартри из разд. 13.4 с соображениями из разд. 12.4,12.5, мы видим, что потеряли обменные эффекты.
Мы можем попытатьсявключить их в концепцию среднего поля; в результате получится методХартри—Фока.Рассмотрим общий фермионный гамильтониан с двухчастичным взаимодействием:^ =∑︁∑︁∑︁∑︁^ + 1^ + ^ ) + 1(^ ≡ℎ^ .22(̸=)(13.85)(̸=)Применим вариационный подход, взяв в качестве пробной многочастичнойфункции слэтеровский детерминант, построенный из ортонормированных348Глава 13. Фермионыорбиталей , = 1, . . . , .
Наша цель — найти наилучший набор орбиталей, минимизирующий полную энергию системы. Повторяя рассужденияразд. 12.4, мы можем вычислить среднее значение гамильтониана (13.85).Оно включает сумму одночастичных вкладов и энергию взаимодействия,как прямые, так и обменные члены для каждой пары частиц,=∑︁^(|ℎ|)+; (occ)12∑︁(︁)︁(′ |^ |′ ) − (′ |^ |′ ) ,(13.86)′ ; (occ, ̸=′ )где сумма берётся по занятым орбиталям от 1 до . В явном виде∫︁^ ′ ) = 1 * (1)(^1 + ^1 ))′ (1)(13.87)(|ℎ|и(1 2 |^ |3 4 ) =∫︁1 2 *1 (1)*2 (2)^ (1, 2)3 (2)4 (1),(13.88)где аргументы (1), (2). .
. означают весь набор одночастичных переменных,включая спиновые, а их элемент объёма обозначен .Чтобы найти функции , мы варьируем энергию (13.86), рассматривая и * как независимые переменные. Варьирование матричных элементовпо * даёт∫︁^ ′ ) = 1 * (1)ℎ(1)^(|ℎ|(13.89)′ (1);(′ |^ | ′ ) =∫︁=)︁(︁1 2 * (1)* ′ (2)+′ * (1)* (2) ^ (1, 2) ′ (2) (1). (13.90)^ , действующий на переменнуюМы вводим оператор эффективного поля 1 через матричный элемент взаимодействия с другими частицами:∫︁ (1) = 2 * (2)^ (1, 2) (2).(13.91)Изменяя обозначения во втором члене в (13.90), мы можем переписать егокак∫︁(′ |^ | ′ ) = 1 * (1)[ ′ ′ (1) (1) + ′ (1) ′ (1)]. (13.92)13.7. Приближение Хартри–Фока349Из-за суммы по занятым состояниям в (13.86) два члена в (13.92) даютравные вклады и сокращают множитель 1/2; таким же образом мы можемрассмотреть обменные члены.Осложняющим обстоятельством является то, что результирующее самосогласованное поле различно для разных одночастичных состояний, ипоэтому функции не являются автоматически ортогональными.
Мыможем искать минимум энергии при дополнительном условии ортогональности:∫︁′(| ) ≡ * ′ = ′ .(13.93)Это можно сделать с помощью ( + 1)/2 множителей Лагранжа ′ =′ . Таким образом, мы решаем вариационную задачу(︃)︃∑︁(13.94) −′ (|′ ) = 0.′Параметры ′ должны определяться в конце из ( + 1)/2 условийортогональности (13.93).Собирая все члены в выражении для вариации энергии (13.86), мыполучаем{︃∫︁∑︁^1 * (1) ℎ(1)[′ ′ (1) (1) − ′ (1)′ (1)− (1) +′−′ ′ (1)]} = 0.(13.95)Для произвольных вариаций (1) уравнение (13.95) приводит к уравнениям Хартри–Фока,∑︁^ℎ(1)[′ ′ (1) (1) − ′ (1)′ (1) − ′ ′ (1)] = 0.
(13.96) (1) +′Это нелинейные зацепляющиеся уравнения для функций .Если пренебречь обменными членами и неортогональностью , опускаяв (13.96) недиагональные члены, ′ и ′ с ′ ̸= , мы получим(︁)︁^1 + ˜1 (1) = (1),(13.97)350Глава 13. Фермионыто есть шрёдингеровскую задачу на собственные значения для энергий = и эффективного поля∑︁˜ (1) =^ (1).′ ′ (1) + (13.98)′ (̸=)Из определения (13.91) мы видим, что поле (13.98) — это среднее значениеэнергии прямого взаимодействия частицы на орбитали с внешним полеми всеми остальными частицами. Таким образом, уравнение (13.98) сводитсяк уравнению Хартри (13.54).В некоторых задачах молекулярной и ядерной физики удобно работать снеортогональными одночастичными орбиталями. Например, электронныефункции, локализованные около различных ядер в молекуле, не ортогональны, вспомните молекулярный ион водорода (разд.
I.19.6). Некоторые ядрамогут иметь кластерную структуру, будучи построены из -кластеров (ядер4 He); нуклонные волновые функции в разных кластерах не ортогональны.Обобщение на такие случаи очевидно, вспомните задачу 9.3.13.8. Пространственно однородные системыКак правило, уравнения Хартри—Фока можно решить только численно, итерациями. Во многих случаях (атомы, молекулы, кристаллы) такиевычисления дают результаты в разумном согласии с экспериментом.
Дальнодействующий характер кулоновского взаимодействия благоприятен дляприближения среднего поля, поскольку отталкивание уменьшает важностьблизких встреч нескольких частиц; такие корреляции недоступны для картины среднего поля. В отличие от этого, в ядрах прямое применение приближения Хартри–Фока работает плохо, главным образом из-за сильногокороткодействующего отталкивания. Сначала нужно решить двухчастичную задачу в присутствии других частиц.
Решение может значительноотличаться от двухчастичного рассеяния в вакууме из-за принципа Паули,который делает многие конечные и промежуточные состояния недоступными. После этого можно построить эффективное сглаженное взаимодействие,которое служило бы исходным для конструирования самосогласованногополя. Конечно, необходимо иметь в виду, что метод Хартри—Фока никогдане даёт точного решения многочастичной задачи. В лучшем случае этопросто хорошее нулевое приближение. Следующий шаг должен учестькорреляции между частицами, которые не описываются их средним незави-13.8. Пространственно однородные системы351симым движением, нечувствительным к флуктуациям, вызванным малымчислом частиц.Уравнения Хартри—Фока можно точно решить для пространственнооднородной системы (в большом объёме ). Такая система без взаимодействия есть идеальный Ферми-газ.
Предположим, что внешнее полесоздаётся только стенками контейнера, а взаимодействие зависит только от относительного расстояния между частицами, (1, 2) = (r1 − r2 ).Проекция спина каждой частицы сохраняется, и матричный элемент (13.91) диагонален по спиновым переменным. Тогда член прямого взаимодействия в (13.96) содержит сумму по частицам ′ с обеими проекциямиспина = ±1/2, тогда как в обменном члене сумма берётся по частицам ′с той же проекцией спина , что и у частицы .Задача 13.7Покажите, что в только что описанном случае плоские волны (13.3) даютточные орбитали Хартри—Фока, и найдите их энергии.Решение.Плоские волны с разными () = (p, ) ортогональны, и мы можемположить ′ = ′ ; величины являются хартри—фоковскими одночастичными энергиями (собственными значениями).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
