1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Фермионыс полным эффективным потенциалом∫︁ [(r)] = ext (r) + 3 ′ (r − r′ )(r′ ) + xc [(r)].(13.128)Как и в приближении Хартри или Хартри—Фока, эти уравнения нужнорешать самосогласованно, начиная с пробной плотности 0 (r), находяэффективный потенциал и функции , определяя следующую итерацию1 (r) и продолжая до сходимости; если используется хорошее приближениедля xc , то получившаяся плотность будет близка к истинной функции(r). Таким образом, как это ни удивительно, точная плотность и энергияосновного состояния (13.123) могут быть вычислены в терминах фиктивныхорбиталей невзаимодействующих квазичастиц в поле (13.128).Не существует точной теории, которая могла бы определить обменнокорреляционный член (13.126). Это нужно делать приближённо для каждойконкретной системы.
Для металлов можно использовать приближение локальной плотности (LDA), в котором предполагается, что локальныесвойства реальной системы близки к свойствам однородного электронногогаза той же плотности. последние можно определить теоретически, см.,например, (13.111) для обменных эффектов.
Можно улучшить это приближение, учитывая градиенты плотности. Подобный подход используется вядерной физике с так называемой параметризацией Скирма. Эту теориюможно обобщить на случай бозонов, магнитных эффектов и эффектов, зависящих от спина, многокомпонентных и сверхпроводящих (сверхтекучих)систем. Она также даёт полезный подход к тем возбуждённым состояниям,которые могут рассматриваться как флуктуации плотности.Дополнительная литература: [68], [73], [74], [75], [76], [77]При определенных заданных условиях, и толькопри этих условиях, у собрания людей появляютсяновые черты, которые сильно отличаются от характеристик отдельных людей, составляющих этособрание.
Чувства и мысли всех собравшихся принимают одно направление, сознательная личностьисчезает. Формируется коллективный разум... Таким образом у собрания появляются черты того,что в отсутствии более подходящего выражения ябуду называть организованной толпой...Г. Лебон. «Толпа»Глава 14Коллективные возбуждения14.1. Линейная цепочкаВ предыдущей главе мы обсуждали многофермионные системы без взаимодействия или в приближении, когда взаимодействие сводится к среднемуполю. Теперь мы переходим к ситуации, когда взаимодействие создаётновые типы коллективного поведения, которые отсутствовали в случаеневзаимодействующих частиц.Простой начальный пример — линейная цепочка атомов, связанныхупругими силами.
Это упрощённая одномерная модель кристалла, где силыимеют электростатическое происхождение, происходя от прямых взаимодействий между ионами и взаимодействий через электронные облака. Какобсуждалось ранее (разд. 13.5), электроны адиабатически подстраиваютсвоё движение под медленно меняющиеся положения ионов. Можно начатьс классической картины и квантовать её подобно квантованию электромагнитного поля. Однако мы можем прямо написать квантовый гамильтониан,который зависит от координат ионов ^ и сопряжённых импульсов ^ .Этот гамильтониан содержит кинетическую энергию^ =∑︁ ^2,2(14.1)360Глава 14. Коллективные возбуждениягде для простоты мы взяли все массы одинаковыми, и энергию взаимодействия, которая зависит от расстояний между ионами:∑︁^=1 ( − ′ ).2 ′(14.2)Мы предполагаем, что a) минимум потенциальной энергии даётся периодической решёткой, = = , с периодом , и б ) решётка стабильна, такчто типичный размер волновой функции каждого иона (амплитуда нулевыхколебаний) мал по сравнению с .
Тогда удобными координатами являютсяотклонения атомов от своих равновесных положений, ^ = ^ − , и при| | ≪ мы можем разложить потенциальную энергию по степеням ^ .В минимуме силы обращаются в ноль, и разложение начинается сквадратичных членов∑︁^ = 0 + 1 ′ ^ ^ ′ + ...,2 ′(14.3)где мы не выписали явно кубические члены, члены четвёртой степени ит. д. Сила, действующая на атом , в линейном приближении есть∑︁^^ = −=− ′ ^ ′ .′(14.4)Коэффициенты возвращающей силы ′ зависят только от расстояниямежду атомами, ′ = ( − ′ ).
Очевидно также, что полная потенциальная энергия не может измениться при сдвиге всей цепочки как целого,^ → ^ + const. Поэтому должно выполняться тождество∑︁( − ′ ) = 0.(14.5)′Нам нужно зафиксировать граничные условия на концах цепочки. Длядлинной цепочки точная форма этих условий не очень существенна, и,как мы делали раньше, мы поместим цепочку на кольцо, использовавпериодические граничные условия:^ = ^+ .(14.6)14.1. Линейная цепочка361Операторные уравнения движения имеют тот же вид, что и классическиеуравнения^, ˙ = ^ .(14.7)˙ =Используя (14.4), мы приходим к системе связанных операторных уравнений∑︁¨ +( − ′ )^ ′ () = 0.(14.8)′Как мы знаем из разд.
I.8.6, трансляционная симметрия решётки приводитк тому, что стационарные состояния могут характеризоваться квазиимпульсом . В соответствии с этим мы ищем нормальные моды решётки ввиде^ (, ) = ^ () = ^ () .(14.9)Квазиимпульс квантуется, поскольку условие (14.6) даёт ( = —полная длина цепочки) = 1=2× (integer).(14.10)Чтобы перечислить все различные решения, достаточно ограничитьсязначениями в одной элементарной ячейке обратной решётки (разд.
I.8.7)−66 .(14.11)Значения вне этой ячейки могут быть сведены к первой зоне Бриллюэна (14.11) прибавлением вектора обратной решётки = 2/, где —целое число, что возвращает к тем же нормальным модам (14.9). С учётом квантования (14.10, 14.11) мы получаем нормальных мод вместоисходных независимых движений отдельных атомов. Таким образом мынаходим коллективные возбуждения взаимодействующей системы, хотячисло степеней свободы не изменилось.Операторные амплитуды () диагонализуют систему (14.8), приводя котдельным уравнениям для каждой моды. Используя тот факт, что силовыеконстанты зависят только от расстояний, мы получаем∑︁∑︁′′( − ′ ) = ( − ′ )−(− ) = ,(14.12)′′362Глава 14. Коллективные возбуждениягде Фурье-компонента силы равна∑︁()− .
=(14.13)С учётом () = (||) и симметрии положительных и отрицательных значений в (14.11) Фурье-компоненты действительны, и мы можемзаписать уравнение (14.13) как∑︁ =cos()(||) = − .(14.14)Нормальная мода удовлетворяет уравнению гармонических колебаний¨ + 2^ () = 0с частотой√︂ == (−).(14.15)(14.16)Операторные амплитуды ^ () имеют гармоническую зависимость от времени ∼ exp[−()], и система стабильна, если все Фурье-компоненты > 0, и потому () действительны. Мы можем рассматривать () > 0,поскольку полный оператор отклонения эрмитов и должен включать обачлена ∝ exp[±()].Трансляционная инвариантность взаимодействия (14.5) показывает, что∑︁0 =(||) = 0=0 = 0.(14.17)Для длинной цепочки квазиимпульс — почти непрерывная переменная,и мы можем рассматривать непрерывный спектр ().
В соответствиис (14.16) при малых мы должны иметь(︂)︂1 2 222 () ≈ (0) + 2 + ...(14.18)2 2 =0Поэтому при малых (длина волны много больше периода решётки )спектр — линейная функция волнового вектора() ≈ ,(14.19)14.1. Линейная цепочка363и, интерпретируя волны, бегущие по решётке, как звуковые волны, мыполучаем скорость звука(︂ )︂=.(14.20) =0Таким образом, коллективное движение с большими длинами волн похожена волны плотности в сплошной среде, где дискретность атомной структурыне существенна.Задача 14.1Найдите спектр нормальных мод и скорость звука для цепочки со взаимодействиями только между ближайшими соседями.Решение.Как следует из (14.5), в этом случае ненулевые силовые константы —это (1) = (−1) = −(1/2)(0), причём должно быть (0) > 0. Спектр(рис.
14.1, a) описывается формулой√︂⃒ (︂ )︂⃒2(0) ⃒⃒ ⃒⃒() =sin,(14.21)⃒2 ⃒а скорость звука равна√︂=(0)2.2(14.22)Нулевая частота волн в пределе больших длин волн — это глубокое следствие спонтанно нарушенной симметрии. Трансляционная симметриябыла нарушена выбором положения цепочки, хотя все другие положениябыли бы эквивалентны, имея ту же энергию. Симметрия восстанавливаетсясуществованием бесконечно многих вырожденных основных состояний,отличающихся друг от друга только глобальными сдвигами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
