1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Теперьмы должны удовлетворить условию самосогласованности: плотность заряда равна = | (r )|2 , и сумма по занятым орбиталям должна опять˜ (13.53). На практике можно начать с правдоподобногодать потенциал (0)анзаца для поля и после нахождения орбиталей в этом поле прийтик потенциалу (1) . Если он отличается от (0) , мы делаем следующуюитерацию: решаем одночастичную задачу с этим новым потенциалом, находим подправленные орбитали и вычисляем следующее приближение (2) .Обычно после нескольких итераций потенциал воспроизводит себя.Строго говоря, эффективное поле (13.53), действующее на данный электрон, зависит от состояния рассматриваемого электрона, и нет единствен̃︀ .
Однако в многочастичных системах общийного общего потенциала потенциал может быть хорошим приближением. Таким образом, в сложныхатомах можно использовать потенциал экранированного заряда ядра2̃︀ () = − (),̃︀(13.55)̃︀где эффективный заряд ()зависит от расстояния до ядра, как показано̃︀на рис. 13.3. На малых расстояниях ()→ (нет экранирования, чистыйзаряд ядра), тогда как на больших расстояниях электрон находится в поле̃︀остаточного заряда ()→ = − ( − 1); для нейтральных атомов = 1.Мы можем качественно заключить, что самые глубокие атомные орбитыпохожи на водородоподобные с зарядом , тогда как внешние орбитыблизки к водородным.
Таким образом, внешний радиус электронного облакавсегда близок к боровскому радиусу атома водорода. Решения уравненияХартри (13.54) имеют обычные водородоподобные квантовые числа ℓℓ ,2n13.5.awhere Z n` shows the difference, due to screening, of thehydrogen-like atom. The parameter Z n` takes values beСтатистическая модель341as n and ` increase.Z(r)Zz0rРис. 13.3.FigureЭффективныйзаряд,effectiveобусловленныйэлектроннымэкранированием19.3 Thechargedue to electronscreening.однако кулоновского вырождения больше нет.
Одночастичные энергиимогут быть выражены какℓ = −1 2ℓ ,22 (13.56)где ℓ показывает отличие от спектра водородоподобного атома, обусловленное экранированием. Параметр ℓ принимает значения между и ,убывая с ростом и ℓ.13.5. Статистическая модельВ Ферми-системе с достаточно большим числом частиц большинствочастиц из-за принципа Паули занимают орбитали с большими квантовымичислами. Эти состояния можно описывать квазиклассически. В этом случаеможно построить статистическую версию метода среднего поля, прибли-342Глава 13.
Фермионыжение Томаса—Ферми. Применяя такой метод к конечной системе, такой,как сложный атом, ядро или атомы в ловушке, мы не можем надеятьсяописать детали оболочечной структуры. Цель этого подхода — описаниеусреднённых свойств системы.Посмотрим, как можно применить такой подход к тяжёлым атомам.Главная идея состоит в том, чтобы использовать среднюю локальную плотность электронного облака, сравните с разд. I.3.9. В тяжёлом атоме этаплотность велика везде, кроме периферийной области, и гладко меняетсякак функция расстояния до центра (для простоты мы предполагаем сферическую симметрию). Поскольку квазиклассические волновые функцииэлектронов локально характеризуются некоторой длиной волны (вспомнитеразд.
9.1), мы можем приписать им локальный классический импульс p().В каждом месте низшая энергия достигается при локальном распределенииФерми, характеризуемом локальным импульсом Ферми (), которыйсвязан с местной плотностью обычным образом ((13.6) с = 2):() =3 ().3 2 ~3(13.57)Локальная энергия Ферми не может зависеть от координат, потому чтотогда состояние системы не было бы стационарным, ток перераспределилбы электроны в области с меньшими и уменьшил энергию.
В равновесии,подобно уравнениям (I.3.100) и (13.34), = () +2 ()= const.2(13.58)Здесь () — потенциал среднего поля, который мы и ищем. Он связан слокальной плотностью (13.57) как() =(2)3/2[ − ()]3/2 .3 2 ~3(13.59)Чтобы потенциал () был самосогласованным, мы должны решитьуравнение Пуассона с плотностью заряда, образованной точечным ядром сзарядом и электронным облаком с плотностью () = −():∇2 = ∇2 (−) = 4[(r) − ()].(13.60)13.5. Статистическая модель343Вследствие сферической симметрии мы получаем при ̸= 0:(︂)︂42 (2)3/21 2 2 () = −42 () = −[ − ()]3/2 .∇ () = 2 3~3(13.61)Удобно упростить это уравнение переходом к безразмерным переменным.Заряд ядра определяет граничное условие в начале координат, () → −2, → 0.(13.62) − () =2(),(13.63)() → 1, → 0.(13.64)Вводим новую функцию () кактак чтоТогда уравнение (13.61) может быть переписано как21 2 (︂)︂(︂)︂3/2 2 2 42 (2)3/2 22==, 23~3(13.65)[︃]︃3/227/33/23/2√︀√︀=.(3)2/3/3/2 /(13.66)или2 4 · 23/2=23(︂2~2)︂3/2Наконец, мы вводим безразмерную координату ,[︃ = −1/3 ,27/3=(3)2/3]︃−1≈ 0, 885,(13.67)где — боровский радиус, и сводим задачу к универсальному (не содержащему параметров) уравнению Томаса—Ферми2 3/2√ .=2(13.68)Чтобы решить это нелинейное дифференциальное уравнение второгопорядка, нам нужно, кроме условия в начале координат (13.64), определить344Глава 13.
Фермионывторое граничное условие. Если существует внешняя граница атома = ,где () = 0, то на этой поверхности () = . Снаружи поле должносовпадать с кулоновским полем полного заряда − , где — числоэлектронов. Это ведёт к граничному условию[︂]︂( − )2.(13.69)=− →2Для функции (13.63) это значит[︂() = 0,]︂=−→ −,= 1/3. (13.70)Задача 13.5Докажите, что граничное условие (13.70) обеспечивает правильную нормировку полного заряда электронов,∫︁3 () = .(13.71)6Для нейтрального атома, = , потенциал () = 0, и потому модельпотребовала бы = 0. Все электроны имеют меньшие, т.
е. отрицательные,энергии, будучи связаны в атоме. Теперь из (13.68) и (13.70) следует, что принекотором конечном значении = функция () и все её производныеобращаются в нуль, так что единственное подходящее решение есть ≡ 0.Это значит, что нетривиальное решение, описывающее нейтральный атомв модели Томаса—Ферми, невозможно при конечном значении , и радиусатома бесконечен. Функция асимптотически убывает к нулю как() =144,3 → ∞.(13.72)Согласно (13.59), это соответствует асимптотическому поведению плотности ∝ −6 .
В то же время радиус положительных ионов, > , конечен.Однако модель не предсказывает стабильных отрицательных ионов. Действительно, при < наклон / положителен на границе, тогдакак решение внутренней задачи ( < ) определённо даёт отрицательныйнаклон, поскольку плотность убывает, стремясь к нулю на поверхности.Главное достоинство этой сильно упрощённой модели состоит в её общихкачественных предсказаниях.
Для всех нейтральных атомов уравнение То-13.6. Экранирование в электронном газе345маса—Ферми и граничные условия универсальны. Поэтому мы приходим ктипичному распределению электронов, которое меняется от одного атома кдругому простым масштабированием.
Из (13.67) следует, что характерныйпараметр длины порядка −1/3 , так что размер области, которая содержит основную часть электронного заряда, зависит от ядерного заряда как∝ −1/3 . Как мы уже заметили, самые внутренние электроны находятсяна расстоянии порядка /, тогда как самые внешние на расстоянии ∼ .Задача 13.6Оцените среднюю скорость электронов и энергию полной ионизацииатома в модели Томаса—Ферми.Решение.¯∼ 1/3 ,ion ∼ 7/3 Ry.(13.73)Приближение Томаса—Ферми даёт разумные оценки для средней электронной плотности; его можно также обобщить, учтя обменные и релятивистские эффекты. Тем не менее, его область применимости весьмаограничена. В нём потеряна оболочечная структура атома; она заменяетсяна модель капли с гладкой плотностью заряда, так что мы не можем изучать отдельные электронные состояния. Лучше всего модель применимадля атомов инертных газов с полностью заполненными оболочками, тогдакак для периферийных орбит валентных электронов она недостаточна.Близкая по духу модель жидкой капли используется для описания макроскопических свойств сложных ядер; как и для атомов, она должна бытьдополнена учётом оболочечной структуры.13.6.
Экранирование в электронном газеМы можем применить подход Томаса—Ферми к большой однороднойэлектронной системе. Это может быть модель электронной плазмы илиэлектронов в металле, см. также разд. 13.9. Мы предполагаем нулевуютемпературу, поскольку температура вырождения электронов в металлахочень высока (1 эВ = 11600 К). Электростатическая стабильность системыдостигается компенсирующим положительно заряженным фоном, моделирующим ионную решётку. В равновесии система имеет постоянную электронную плотность () = , выражающуюся стандартной формулой (13.6)Ферми-газа.Поместим внешний точечный заряд 0 в начале координат. (Это можетбыть примесь, вакансия или флуктуация ионного фона.) В зависимости от346Глава 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
