1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Конечно,Оператор тот же результат легко вывести во вторичном квантовании (14.90).Как и при выводе правил сумм (разд. I.7.9), мы используем тот факт,что операторные функции координат коммутируют с членом взаимодействия. Из кинетической энергии мы получаем уравнение движения дляфлуктуаций плотности(︂ 2)︂∑︁^ )(k · p1 † ^†(k·r ) ~k[^ , ] = +.(14.94)˙ k =~ k2Этот универсальный результат не зависит от взаимодействия: каждаякомпонента флуктуаций плотности осциллирует со своей частотой, определяемой энергией возбуждения частица–дырка (14.86). Вычисление второйпроизводной по времени уже включает взаимодействие через операторы^ , присутствующие в (14.94):импульса p¨^†k = −∑︁(k·r )(︂^ )~k2 (k · p+2)︂2−1 ∑︁k′ (k · k′ )^†k′ ^†k−k′ .
′k(14.95)382Глава 14. Коллективные возбужденияЭти точные нелинейные уравнения не могут быть решены точно. Мы применим приближение случайных фаз (ПСФ) [80], которое хорошо работаетдля описания коллективных мод в многочастичных системах.14.7. Приближение случайных фазМы хотим изолировать в точных уравнениях движения наиболее когерентные процессы, соответствующие волновому вектору k.Нелинейный (последний) член в (14.95) содержит такой вклад, происходящий от k′ = k. Мы предполагаем, что взаимодействие между частицамиявляется отталкиванием, так что k > 0 по крайней мере при малых .Используя обозначениеΩ2k = 2 k ≡ 2 k ,(14.96)мы имеем¨†k + Ω2k ^†k(︂ 2)︂2∑︁^ )(k · p1 ∑︁(k·r ) ~k=−+−k′ (k · k′ )^†k′ ^†k−k′ .2′(14.97)k ̸=kПервый член в правой части (14.97) содержит вклад отдельных возбуждений частица–дырка, сравните с (14.86).
Рассмотрим большие длины волн,~ ≪ . Поскольку континуум при малых сжат вокруг Σ , мы можемоценить этот член в среднем∑︁(k·r )(︂^ )~k2 (k · p+2)︂2≈ ( ∘ (k))2 ^†k ,(14.98)где мы выделили когерентный вклад слоя континуума для данного импульса P = ~k (см.
энергию частично-дырочного континуума (14.86)).Нелинейные члены с k′ ̸= k не имеют никакой когерентности. ПСФ пренебрегает этими членами и приводит к предсказанию коллективной моды сзаконом дисперсии¨†k + k2 ^†k = 0,k2 = Ω2k + ( ∘ (k))2 .(14.99)Важный случай соответствует кулоновскому взаимодействию электроновв твёрдых телах или плазме, где нулевая Фурье-компонента 0 исключаетсякомпенсирующим фоном. Но при k ̸= 0, в соответствии с (13.107), величина14.8. Электрон-фононное взаимодействие383Ωk , определённая в уравнении (14.96), переходит в плазменную частоту0 , уравнение (13.78). Поскольку второй член в (14.99) порядка ( )2при малых , мы приходим к заключению, что при больших длинах волнфлуктуации плотности в кулоновском газе являются плазменными колебаниями, определяемыми электронейтральностью. На рис.
14.4 эта частотарасположена выше континуума. Поэтому такие колебания имеют слабуюдиссипацию, которую можно вычислить через некогерентные члены, неучитываемые в ПСФ. Вычисление этого затухания требует более продвинутой техники. С ростом дисперсионная кривая флуктуаций плотностиидёт вверх и входит в континуум (рис. 14.4). Таким образом, затуханиеплазменных колебаний становится важным при ∼ 0 / . Используяявные выражения для плазменной частоты и скорости Ферми, легко по√лучить оценку критической длины волны колебаний ∼ 0 , где —боровский радиус, а 0 ∼ −1/3 — среднее расстояние между электронами.Более короткие длины волн сильно затухают.Конечное значение плазменной частоты при малых является следствиемдальнодействующего характера кулоновского взаимодействия (особенность∼ 1/ 2 в (13.107)).
Записывая уравнение (14.99) для кулоновского случаяв видеk2 = 02 + 2 2 ,(14.100)где — численный коэффициент, близкий к 1, мы видим, что плазменная частота играет роль эффективной массы в «релятивистском» законедисперсии кванта волны плотности, плазмона, — конечной энергии в длинноволновом пределе. Для потенциала с конечной Фурье-компонентой 0 ,как в газе нейтральных частиц, спектр осцилляций плотности звукоподобный, поскольку оба члена в (14.99) ведут себя как ∝ 2 . Как упоминалосьв разд.
13.6, плазменные колебания можно возбудить локальным наруℰkшением нейтральности. При ∝ exp[(k · r)] электрическое поле ℰявляется продольным по отношению к волновому вектору k. В некоторомсмысле, соответствующий квант, плазмон, является продольным аналогом поперечного фотона. Это возможно только в материальной среде,и в противоположность безмассовому фотону плазмон имеет ненулевуюэффективную массу.14.8. Электрон-фононное взаимодействиеПоявление коллективных степеней свободы ведёт к качественно новымфизическим явлениям.
Сверхпроводимость металлов (гл. 16) возникает из-384Глава 14. Коллективные возбужденияза эффективного притяжения, которое должно быть достаточно сильным,чтобы преодолеть кулоновское отталкивание. Как впервые было отмеченоГ. Фрёлихом [81], механизм притяжения появляется благодаря взаимодействию электронов с квантами колебаний решётки — фононами. Если ионслегка смещается от своего равновесного положения в кристаллическойрешётке, то электроны испытывают дополнительное притяжение к избытку положительного заряда и, следовательно, друг к другу. Но смещениеодного атома вызывает также смещение других атомов, и фактически должно рассматриваться как распостраняющаяся упругая волна — фонон.
Наквантовом языке такое эффективное электрон-электронное взаимодействиетрактуется как обмен фононами. Определённая неустойчивость нормальнойповерхности Ферми относительно притяжения вызывает фазовый переход всверхпроводящее состояние. Возможно, что в высокотемпературных сверхпроводниках важен обмен между электронами квантами типа магнонов.Гамильтониан электрон-фононного взаимодействия следует непосредственно из нашего обсуждения фононов в разд.
14.3. Потенциал, действующий на электрон в невозмущённой идеальной решётке, равен сумме членов (r − j), где r — положение электрона, а j — равновесная координата узларешётки j. При смещении атома в узле j на величину uj возмущениеможет быть записано как∑︁(︀)︀^ ′ (r) =^ j , (r − j) · u(14.101)j;^ j должно бытьгде F = −∇ — градиент потенциала иона. Смещение uвыражено как сумма (14.49) операторов рождения и уничтожения фононов.Для смещений, малых по сравнению с периодом решётки, можно ограничиться линейным членом в разложении потенциала возмущения. Крометого, мы пренебрегаем процессами с переворотом спина электрона. Взаимодействие (14.101) описывает процессы рассеяния электрона на решётке сизлучением или поглощением одного кванта фонона.Рассмотрим для примера процесс поглощения фонона типа (q), сопровождаемый электронным переходом.
В общем случае квантовые числаэлектрона — квазиимпульс k и номер зоны меняются на k′ и ′ . Пользуясьразложением по нормальным модам (14.49), находим матричный элемент√︃∑︁~q^ ′ |k; q⟩ = −⟨k′ ′ |(q·j) ×2 (q)j;14.8. Электрон-фононное взаимодействие∫︁×385(︀() )︀3 k* ′ ′ (r) F (r − j) · eq k (r),(14.102)где q — начальные числа заполнения фононов.√︀ Матричный элемент излучения фонона содержит вместо них фактор 1 + q . В части электронного матричного элемента, содержащей определённый узел решётки j, можнопоместить начало координат в этот узел, r → r + j, и воспользоватьсятеоремой Блоха (I.8.60) для волновой функции электронаk (r + j) = (k·j) k (r),′k* ′ ′ (r + j) = −(k ·j) k* ′ ′ (r).(14.103)Это приводит матричный элемент (14.102) к виду√︃∑︁∑︁~q′^ ′ |k; q⟩ = −(q+k−k )·j) ×⟨k′ ′ |2 (q)j∫︁×(︀() )︀3 k* ′ ′ (r) F (r) · eq k (r).(14.104)Сумма экспонент не исчезает, если сумма волновых векторов в показателеэкспонент совпадает с вектором K обратной решётки (см. разд.
I.8.6):∑︁′(q+k−k )·j) = q+k−k′ ,K .(14.105)jДля простоты мы будем рассматривать случай K = 0 (ненулевые векторыK важны при вычислении сопротивления и при описании установлениятеплового равновесия). В этом случае мы имеем сохранение квазиимпульсаk′ = k + q.Диагональные члены (k) = (k′ ′ ) соответствуют фононному векторуq → 0, т.
е. духовой моде смещения решётки как целого. По этой причинематричный элемент взаимодействия должен исчезать при → 0. Это имеетместо для акустической ветви, где каждый узел сдвигается без изменениявнутренней структуры ячейки (см. задачу 14.3). Действительно, из (14.102)мы видим, что в диагональном случае интеграл содержит∫︁∑︁k = 3 |k |2∇ (r − j) · e ,(14.106)j;где |k |2 , согласно теореме Блоха, одинакова во всех ячейках решётки.Оставшаяся сумма есть изменение энергии при смещении решётки как386Глава 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
