1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Коллективные возбужденияцелого, т. е. k = 0. Это значит, что весь матричный элемент исчезаетпри → 0, будучи фактически пропорциональным или для акустических√√волн ∝ , поскольку константа нормировки содержит 1/ .Для понимания механизма эффективного притяжения между электронами нужно рассмотреть процесс обмена виртуальным акустическим фононом.Для простоты мы будем рассматривать только внутризонные электронныепереходы с K = 0. При нулевой температуре реальные фононы отсутствуют q = 0, тогда взаимодействие между электронами осуществляетсячерез излучение фонона одним из электронов с последующим поглощением его другим электроном, что соответствует второму порядку теориивозмущений.
В основном состоянии оба электрона находятся внутри поверхности Ферми, |k1 | и |k2 | оба 6 . Промежуточные состояния содержатдва электрона и виртуальный фонон. Излучающий электрон, имеющийпервоначальный импульс k1 , приобретает импульс k′1 = k1 − q, в то времякак партнёр поглощает фонон и испытывает переход k2 → k′2 = k2 + q.Энергетические знаменатель в этом случае равен (k1 ) − ~(q) − (k1 − q).Далее мы должны добавить процесс, в котором фонон −q излучаетсяэлектроном с первоначальным импульсом k2 и поглощается электроном k1 ,давая то же конечное состояние. Второй энергетический знаменатель равен(k2 ) − ~(−q) − (k2 + q). Так как (q) = (−q), квадраты матричныхэлементов равны, и мы должны вернуться в основное состояние, т. е.(k1 ) + (k2 ) = (k1 − q) + (k2 + q).(14.107)Сумма этих вкладов пропорциональна выражению11+=(k1 ) − ~(q) − (k1 )(k2 ) − ~(q) − (k2 + q)=2~(q).[(k1 ) − (k1 − q)]2 − ~2 2 (q)(14.108)Чтобы получить поправку второго порядка к энергии основного состо′ |2яния, это выражение вместе с квадратом матричного элемента |kk′должно быть просуммировано по всем одночастичным состояниям, занятым электронами в основном состоянии.
Если разность электронныхэнергий мала по сравнению с энергией фонона, то результат может быть аппроксимирован отрицательной константой. Таким образом, вблизи Σ имеется область, где индуцированное фононами взаимодействие соответствуетпритяжению. Толщина этого слоя определяется максимальными акустиче-14.8. Электрон-фононное взаимодействие387скими частотами ~ ∼ (/ )1/2 .
Соответствующая неопределённость вимпульсе электрона Δ ∼ ~/ указывает, что это взаимодействие имеетрадиус действия√︂ sound∼∼ ≫ ,(14.109)Δ ∼sound где — период решётки. Это дальнодействующее притяжение конкурируетс короткодействующим (экранированным, см. разд. 13.6) кулоновскимотталкиванием в металлах. Если притяжение превалирует, то нормальноераспределение Ферми оказывается неустойчивым. Поверхность Фермиразмывается, и система становится сверхпроводящей.Дополнительная литература: [80], [82], [83], [84], [85]Уникальность конденсата Бозе—Эйнштейна в том,что он представляет собой чисто квантовостатистический фазовый переход, иначе говоря, он реализуется даже при отсутствии взаимодействия.
Эйнштейн определял этот переход как конденсацию«без участия сил притяжения»... С другой стороныреальные частицы всегда взаимодействуют, и поведение даже слабо взаимодействующего Бозе-газаотличается от поведения идеального Бозе-газа.В. Кеттерле. Нобелевская лекция 2001 г.Глава 15Бозоны15.1. Бозе—Эйнштейновская конденсацияКак мы кратко упоминали в разд. 9.3, газ невзаимодействующих бозоновпри низкой температуре переходит в фазу с макроскопическим заполнениемнизшего одночастичного состояния. Конечно, это должно произойти дажедля классического газа различимых частиц, но только при чрезвычайнонизкой температуре, сравнимой с расстоянием до первого возбуждённогоодночастичного уровня, ∼ ~2 / 2/3 , где — объём системы. В квантовом Бозе-газе эффекты неразличимости делают эту температуру (9.9)больше в ∼ 2/3 раз, где — число частиц.Изучение свойств Бозе-газа при конечной температуре — это задачастатистической физики. Здесь нас будет интересовать чисто квантовыйпредел = 0, когда все невзаимодействующие частицы образуют Бозе—Эйнштейновский конденсат (БЭК), т.
е. занимают низшую орбиталь, иодин одночастичный квантовый уровень имеет огромное число заполнения0 = . В реалистических системах частицы взаимодействуют. Первыйвопрос, на который нужно ответить, — выживает ли конденсат при наличиивзаимодействия между частицами.Сначала попробуем учесть эффекты взаимодействия по теории возмущений. Рассмотрим пространственно однородную систему тождественныхбесспиновых бозонов в термодинамическом пределе очень больших и . В невозмущённом основном состоянии |0⟩ все частицы занимают одночастичный уровень с низшей энергией.
С периодическими граничнымиMpmα(p) D !D! 222(p /2m)p390pN(N ! 1)Up .VA small quantized vector p can be presented as (2π„V !1/3 )ν, where thГлава 15. Бозоныsionless vector ν has integer components of the order of unity. Since the i0p000–p0(a)(b)021.1 рассеяния:The scattering(a) of condensateparticles;(b) creating the occРис. 15.1.FigureПроцессыa —processes:частиц конденсата;b — созданиезанятыхthestates ppand!pвышеabovethe condensate.состоянийи −pконденсатаусловиями эта орбиталь характеризуется нулевым импульсом p = 0 и нулевой√энергией, так что волновая функция конденсата — это просто константа1/ .
Взаимодействие (r) между частицами вызывает процессы рассеяния. В первом порядке теории возмущений нам нужно только среднеезначение энергии взаимодействия между частицами конденсата. Применяяуравнение (11.75), мы вычисляем (рис. 15.1, a)0 =10 ⟨0|^†0 ^†0 0 0 |0⟩.2(15.1)^ 0 (^0 − 1), так что вклад взаимодействия в конденОператор здесь равен ^0 ⟩ = равенсате в энергию основного состояния ⟨0 = ( − 1)10.2(15.2)Как и должно быть, в термодинамическом пределе с фиксированной плотностью = / эта энергия 0 ≈ (1/2)0 пропорциональна числучастиц (экстенсивная величина). Здесь и далее мы предполагаем, чтонулевая Фурье-компонента потенциала взаимодействия 0 конечна, чтоверно для нейтральных атомов.В следующем приближении нам нужны недиагональные матричные элементы оператора взаимодействия. Единственный процесс, разрешённыйсохранением импульса, показан на рис.
15.1, b — это столкновение двух конденсатных частиц, создающее пару (p, −p). Невозмущённая энергия этогосостояния равна 2(2 /2), и матричный элемент перехода выражаетсяформулой^ |0 ⟩,p = ⟨0 −2 ; p, −p|(15.3)15.1. Бозе—Эйнштейновская конденсация391где мы указываем число частиц в конденсате. Применяя снова уравнение (11.75), мы находим√︀∑︁ ( − 1)1† †p =⟨0 −2 |^−p ^pp′ ^p′ ^−p′ ^0 ^0 |0 ⟩ =p . (15.4)2′pПоэтому в линейном приближении по взаимодействию основное состояниеприобретает примесь состояний с одной парой (p, −p) над конденсатом, иамплитуда этого смешивания равна√︀p ( − 1)(p) = −=− 2p .(15.5)2(p2 /2)Квантованный вектор p для небольшого импульса может быть представленкак (2~ −1/3 )⃗ , где безразмерный вектор ⃗ имеет целочисленные компоненты порядка единицы. Поскольку существенные импульсы малы, удобноввести длину рассеяния (разд. 2.7), которая в борновском приближенииописывается выражением = − lim () =→00 .4~2(15.6)Здесь мы учли, что приведённая масса в столкновении двух тождественных частиц массы равна /2.
В этих обозначениях мы получаем дляамплитуды смешивания (15.5)√︀ ( − 1) p.(15.7)(p) = −⃗ 2 1/3 0Для типичного расстояния между частицами 0 ∼ −1/3 и гладкого потенциала p ∼ 0 мы приходим к оценке|(p)| ∼ 2/3 .0(15.8)Следовательно, в термодинамическом пределе теория возмущений никогда не применима, поскольку её применимость потребовала бы ≪ 0 / 2/3 ,что может быть справедливо только при = 0. Как ясно из уравнения (15.4),этот результат является следствием эффекта стимулированного усилениялюбого процесса, который возбуждает частицы из макроскопически заполненного Бозе-конденсата, тот же эффект, что и в лазерах. Даже в случаевзаимодействия, являющегося слабым в смысле обычного борновского392Глава 15.
Бозоныприближения в двухчастичной задаче, теория возмущений для многочастичной системы не работает, и нам нужны более точные теоретическиеинструменты.15.2. Конденсат как резервуар; химический потенциалЧтобы выяснить, что происходит с конденсатом и низколежащими возбуждёнными состояниями в присутствии взаимодействия, мы предположим,что в системе со взаимодействием (которое мы по-прежнему считаем слабым) конденсат выживает [86] — всё ещё макроскопически большое числочастиц 0 занимают одночастичную орбиту с p = 0. Это предположениенужно будет проверить по результатам.Для очень большого числа 0 операторы ^0 и ^†0 могут рассматриватьсякак -числа (сравните с нашими аргументами насчёт макроскопическойквантовой когерентности, гл.
I.14). Разница между 0 и 0 + 1 пренебрежима, и коммутатором^0 + 1) − ^0 = 1[^0 , ^†0 ] = ((15.9)можно пренебречь по сравнению с 0 . В истинном основном состоянии 0не имеет определённого значения, поскольку процессы рассеяния (рис. 15.1,b) удаляют пары частиц из конденсата. Однако среднее значение ⟨0 ⟩этой флуктуирующей величины остаётся макроскопически большим вовсех слабовозбуждённых состояниях. Поэтому мы можем положить (дляшрёдингеровских операторов, не зависящих от времени)√︀^0 ≈ ^†0 ⇒ 0 ,(15.10)где мы опустили скобки в ⟨0 ⟩.Таким образом, частицы с ненулевыми импульсами живут в контакте смакроскопическим резервуаром конденсатных частиц. Гамильтониан (11.75)даёт точные уравнения движения для гейзенберговских операторов бозонов:^ =~˙ p = [^p , ]=p21 ∑︁^p +(p−p′ −P/2 +−p−p′ +P/2 )^†−p+P ^−p′ +P/2 ^p′ +P/2 , (15.11)22 ′pP15.2.
Конденсат как резервуар; химический потенциал~˙ †p = −393p2 †1 ∑︁^p −(p−p′ −P/2 + −p−p′ +P/2 )^†p′ +P/2 ^†−p′ +P/2 ^−p+P .22 ′pP(15.12)Частный случай этих точных уравнений для частиц конденсата p = 0 есть∑︁^ = 1[^0 , ](p+P/2 + p−P/2 )^†P ^p+P/2 ^−p+P/2 .2(15.13)pPВыделим в сумме в уравнении (15.13) вклады, содержащие конденсатныеоператоры:~˙ 0 =}︁ ∑︁0 †1 ∑︁{︁̃︂^0 ^0 ^0 +p ^†0 ^−p ^p + (0 + p )^†p ^p ^0 +, (15.14)p̸=0∑︀где ̃︁ не содержит конденсатных операторов. Пренебрегая этими членами,относительно маленькими при 0 ≫ 1, можно искать решение уравнения (15.14) и сопряжённого уравнения для ˙ †0 в виде√︀√︀0 () = 0 −(/~) , †0 = 0 (/~) ,(15.15)где амплитуды, в духе предыдущих аргументов, представлены как -числа,а частота , связанная с уничтожением или рождением конденсатной частицы, может быть найдена из уравнения (15.14), усреднённого по основномусостоянию,}︁01 ∑︁{︁=0 +p Δp + (0 + p )p .(15.16)p̸=0Здесь мы ввели числа заполнения надконденсатных частиц p ̸= 0p = ⟨^†p ^p ⟩(15.17)и аномальное среднее значениеΔp = ⟨^−p ^p ⟩2(/~) ,(15.18)которое не зануляется в присутствии конденсата, способного поглощатьили производить пары частиц с нулевым полным импульсом.
Позже мыувидим, что оба средних значения (15.17) и (15.18) по основному состояниюсистемы не зависят от времени.394Глава 15. БозоныПоскольку^0 |0 ⟩,⟨0 − 1|[^0 , ]|0 ⟩ = (0 − 0 −1 ) ⟨0 − 1|^(15.19)конденсатная частота (15.15) описывает изменение энергии, связанное сизвлечением частицы из конденсата: = 0 − 0 −1 ≈.0(15.20)В самом деле, главный вклад в среднюю энергию конденсата даётся членом (15.1) в гамильтониане, содержащим наибольшее число конденсатныхоператоров, замененных -числами в соответствии с (15.10):0 ≈10 02 .2(15.21)Производная этого члена по 0 совпадает с первым членом в уравнении (15.16). Следующий член возникает из-за вкладов в гамильтониан,содержащих два конденсатных оператора.Таким образом, мы вводим как химический потенциал конденсата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
