1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Нелинейный член в уравнении (15.94)позволяет найти пространственную структуру вихря, где фаза квантуется (разд. I.14.6) в единицах кванта циркуляции (I.14.54). Считая вихревую линию направленной по оси , а фазу равной ℓ, где — азимутальный угол, а ℓ — момент импульса на частицу (I.14.57), мы получаемуравнение Питаевского–Гросса √︀(15.96) для радиальной части функции(r) = () exp(ℓ), где () = (),~2 −2 (︂)︂~2 ℓ2+() + 3 () = ().22(15.99)Теперь мы видим, что радиус ядра вихря действительно определяетсякорреляционным радиусом, качественно введённым выше. Определим√︃~2=,(15.100)20где 0 — постоянная равновесная плотность. При ≪ химический потенциал меняется в присутствии вихря незначительно, и мы всё ещё можемполагать = 0 .
Тогда, вводя безразмерную радиальную координату√ = / и относительную плотность () = ()/ 0 , мы можем переписать уравнение (15.99) в приведённой форме:(︂)︂ (︂)︂1 ℓ2+ 1 − 2 () − 3 () = 0.(15.101) На больших расстояниях от вихря ≫ решение определяется нелинейностью и даёт = 3 , что соответствует → 1, так что плотность равнаневозмущённой 0 . Вблизи оси вихря мы оставляем производную и центробежный член; их совместное действие приводит к типичному поведению ∼ |ℓ| . При ℓ ̸= 0 решение обращается в нуль в ядре вихря (областьбез когерентного конденсата, () → 0).
Размер этого ядра порядка 1 вприведённых единицах, то есть ∼ , корреляционный радиус. Поведение решения в промежуточной области может быть найдено численно. Вовращающейся ловушке вихри образуют решётку (разд. I.14.6), котораяимитирует вращение твёрдого тела.Дополнительная литература: [55], [68], [88], [96], [97, 98], [99]Эксперимент не оставляет сомнения в том,что с той точностью, которую позволяютизмерения, сопротивление исчезает. Вто же время, однако, произошло нечтонеожиданное. Исчезновение произошло непостепенно, а внезапно.Х. Камерлинг Оннес. Нобелевская лекция,1913 г.Глава 16Спаривание фермионов и сверхпроводимость16.1. СпариваниеСверхпроводимость твёрдых тел, согласно теории Бардина—Купера—Шриффера (БКШ) [100, 101], является результатом притягивающих парныхкорреляций между электронами, которые преодолевают их кулоновскоеотталкивание.
Притяжение возникает, как обсуждалось в разд. 14.8, отдеформаций решётки. Куперовские пары образуют коллективное состояние,в некоторых отношениях подобное Бозе-конденсату, обладающее свойствомсверхпроводимости (сверхтекучести заряженных частиц). С другими источниками притяжения аналогичные эффекты спаривания работают в другихФерми-системах, таких, как жидкий изотоп гелия 3 He.
Особые черты проявляются в конечных сверхтекучих системах, таких, как атомные ядра,фермионные атомы в ловушках или малые металлические зёрна. Физиканейтронных звёзд в значительной степени определяется сверхтекучестьюнейтронов или других составляющих, включая кварки.Пусть фермионы движутся в среднем поле, индивидуальные одночастичные состояния в котором будут обозначаться |). Мы предполагаем, чтосистема инвариантна относительно обращения времени, и наиболее сильноепритяжение действует между частицами на -сопряжённых орбитах (разд.II.5.6). Так обстоит дело для сверхпроводящих металлов и атомных ядер.Этот тип спаривания благоприятен для сил притяжения благодаря максимальному перекрытию между спариваемыми орбиталями.
Такая пара инвариантна относительно обращения времени; в пространственно-однороднойсистеме она должна иметь нулевой полный импульс P (квазиимпульс в периодической решётке), а также нулевой полный спин = 0, в сферическихядрах со спин-орбитальной связью пара имеет нулевой полный момент414Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимостьимпульса J.
Известны и более сложные типы спаривания, например вжидком 3 He [102, 103].Спаривание в конечной вырожденной системе даёт поучительный пример решаемой задачи многих тел [104]. Волновая функция пары с = 0была построена в задаче II.7.5 для одной сферической -оболочки, где сопряжённая орбита определяется соответствующей фазой (II.5.68). Удобноввести специальное обозначение, не предполагающее сферической симметрии, а основанное исключительно на инвариантности относительно обращения времени. Для каждого одночастичного состояния |) -сопряжённое˜ например, в однородной системе состоясостояние будет обозначаться |);ние с тильдой соответствует противоположному импульсу и проекции спина.С нашим выбором фаз в сферическом базисе одночастичное обращениевремени в произвольном базисе может быть определено через разложениепо полному набору сферических состояний:∑︁∑︁˜ =|) = |) ⇒ |)( )* (−)− | − ).(16.1)Важно, как упоминалось в разд.
II.5.6, чтобы двукратное обращение времени воспроизводило исходное фермионное состояние с противоположнымзнаком,∑︁∑︁˜˜|)= (−)− (−)+ |) = (−)2 |) = −|).(16.2)Это следствие статистики Ферми (полуцелые значения ).В общем случае двухфермионное спаренное состояние может быть получено из вакуума действием оператора пары1 ∑︁^ † = ^† ^†˜ ,2(16.3)где определение одночастичного оператора ^†˜ для -сопряжённой орбитывключает все фазовые множители, так что = ˜ , и^†˜˜ = −^† ;(16.4)подобное равенство верно и для оператора уничтожения ^ .Обычно эффекты спаривания играют важную роль только в относительно узком слое вблизи поверхности Ферми Σ .
Это определённо верно16.1. Спаривание415для металлов и ядер, где выигрыш в энергии из-за спаривания мал посравнению с энергией Ферми . (Ситуация может быть другой в сверхпроводниках с высокой температурой перехода в сверхпроводящее состояние;полная теория этого случая всё ещё отсутствует). Точный результат можетбыть получен в упрощённой модели, где в операторе пары (16.3) = 1, ивсе одночастичные состояния дают равные вклады.
Это оправдано, еслимы пренебрежём различиями кинетической энергии (или, в более общемслучае, энергии в среднем поле) частиц в слое, положив ≡ = const. Вболее реалистическом рассмотрении мы учтём изменение , когда весаразных орбит в операторе пары становятся различными.Сумма в ^ † включает Ω членов, где Ω — вместимость слоя (чётное числосостояний |), соответствующее Ω/2 -сопряжённым парам).
Для одного ˜ на самом деле равны другуровня Ω = 2 +1. Члены, соответствующие и ,другу, что следует из (16.4) и статистики Ферми (17.14). Поэтому можноубрать множитель 1/2 перед (16.3) и ограничить суммирование половинойодночастичных состояний, только Ω/2 «положительными» состояниями. Нопроще использовать определение (16.4) с суммированием по всем доступным†состояниям. Заметьте также, что оператор (16.3) отличается от ^=Λ=0,использовавшегося в (17.81), постоянным множителем.Задача 16.1Нормируйте состояние одной пары, получаемое как ^ † |0⟩.Решение.Введём эрмитово сопряжённый оператор уничтожения пары и вычислим норму1 ∑︁(16.5)⟨0|^˜ ^ ^†′ ^†˜′ |0⟩.⟨0|^ ^ † |0⟩ =4 ′Свёртывая операторы в матричном элементе, мы приходим к⟨0|^ ^ † |0⟩ =1 ∑︁(′ ˜ ˜′ − ˜′ ˜ ′ ),4 ′(16.6)где все фазовые множители включены в определение индексов с тильдой.Суммирование по ′ оставляет = 1 в первом члене и, вследствие (16.2), ˜˜ = −1 во втором.
В результате1⟨0|^ ^ † |0⟩ = Ω,2(16.7)416Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимостьчто приводит к нормировке состояния одной пары√︂2 ^† |0⟩.|1 пара⟩ =Ω(16.8)По сравнению с (II.7.34) для случаяодного -уровня, нормировка содержит√дополнительный множитель 2 из-за статистики Ферми.16.2. Пары и сеньоритиТеперь мы начинаем заполнять слой около Σ парами. Поскольку ониимеют целый (нулевой) спин , они являются квазибозонами, и мы можемсоздать их много.
В то же время они не являются настоящими бозонами, иих сосуществование в одном пространстве искажается статистикой Фермисоставляющих; мы кратко обсуждали статистику составных объектов вразд. 9.3. Повторное применение оператора ^ † содержит перекрывающиеся˜ которые не работают из-за принципа запретачлены с той же парой (, ),Паули. Несколько похожая ситуация была указана в связи с бозоннымпредставлением Холстейна—Примакова операторов углового момента, задача II.1.8.
Чтобы двигаться дальше, изучим более детально алгебру парныхоператоров.Задача 16.2Покажите, чтоΩ^,−2∑︁ †^ =^ ^[^ , † ] =где(16.9)(16.10)^ и ^ , действуя на— оператор (11.12) полного числа частиц. Операторы вакуумное состояние, дают нуль.Уравнение (16.9) помогает вычислить нормировку состояния двух пар,полученного повторным действием оператора рождения пары(︁)︁⟨0|^ 2 (^ † )2 |0⟩ = ⟨0|^ [^ , ^ † ] + ^ † ^ ^ † |0⟩.(16.11)^ в коммутаторе (16.9) действует в уравнении (16.11) на соОператор стояние с одной парой и даёт 2, остальные операторы сводятся к (16.7).Во втором члене в (16.11) мы опять образуем коммутатор и используем16.2. Пары и сеньорити417^ |0⟩ = 0.
Собирая все члены, мы получаем)︁Ω (︁ Ω⟨0|^ 2 (^ † )2 |0⟩ = 2−1 .2 2(16.12)Поучительно обсудить смысл результата уравнения (16.12). Если вместимость пространства великаи число частиц относительно мало Ω/2 ≫ , то,√︀^ в (16.9),включая множитель Ω/2 в определение ^ и ^ † и пренебрегая мы бы свели операторы пар к нормальным бозонам. В этом приближениикоммутатор в уравнении (16.11) был бы равен 2!(Ω/2)2 . Разница междуэтим бозонным пределом и квазибозонным результатом (16.12) обусловленаэффектом блокировки Паули.
У нас есть Ω/2 различных возможностей˜ и только Ω/2 − 1 для второй пары, поскольку дведля первой пары (, )орбиты (одно состояние пары) уже заняты первой парой. Для большогоΩ/2 различие невелико, и картина Бозе-конденсата пар качественно верна.Задача 16.3Выведите общий результат для состояния частиц, образованного =/2 парами ( чётно):⟨0|^ (^ † ) |0⟩ =!(Ω/2)!.[(Ω/2) − ]!(16.13)В уравнении (16.13) множитель ! — остаток Бозе-конденсата, а другиедва факториала отражают блокировку, усиливающуюся, когда оболочказаполняется парами. Блокировка более заметна, если имеются неспаренныечастицы, так что больше 2, где — число пар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
