1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Число неспаренныхчастиц = − 2(16.14)называется сеньорити(старшинство); эта схема классификации, широкоиспользуемая в атомной и ядерной физике, была введена Рака [104]. Состояние с частицами и сеньорити может обозначаться | ; ··· ⟩, гдемноготочие фиксирует орбиты неспаренных частиц. Например, в ядре снечётным одна орбита |) заполнена валентной частицей. Присутствие˜ которое становитсянеспаренной частицы блокирует состояние пары (, ),недоступным для пар. В нашей схеме трёхчастичное состояние с однойпарой обозначается |3; = 1 ⟩, где непарная орбита указана явно.Задача 16.4Постройте нормированное состояние с одной парой и неспаренной частицей на орбите |).418Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимостьРешение.Нормировка находится из⟨0|^ ^ ^ † ^† |0⟩ =Ω− 1.2(16.15)^Здесь для вычисления мы опять используем коммутатор (16.9), где даёт 1 при применении к одночастичному состоянию.
Простой смысл уравнения (16.15) — неспаренная частица удаляет одно парное состояние издоступного объёма.Задача 16.5Обобщите предыдущий результат на состояние с частицами и парами.Решение.Добавление каждой дополнительной пары действует таким же образом,как в (16.13), но доступный объём уменьшается на одно парное состояние,![(Ω/2) − 1]!⟨0| ^ (^ † ) † |0⟩ =.[(Ω/2) − 1 − ]!(16.16)Уравнение (16.16) определяет нормировку состояния | = 2 + 1; = 1 ⟩.˜ заняТот же результат (16.16) верен, когда обе орбиты пары, и ,ты неспаренными частицами. Это состояние отличается от спаренногосостояния (16.8), где пара равномерно распределена по доступному пространству, а не блокирует некоторую конкретную пару -сопряжённыхорбит. Поскольку одно состояние пары уже блокировано одиночной частицей, присутствие -сопряжённого партнёра не меняет ситуации. Поэтому,как в (16.16),![(Ω/2) − 1]!⟨0|^˜ ^ ^ (^ † ) ^† ^†˜ |0⟩ =.[(Ω/2) − 1 − ]!(16.17)Наконец, две неспаренные частицы на орбитах и ′ , принадлежащихдвум различным -сопряжённым парам, блокируют два парных состояния,приводя к![(Ω/2) − 2]!⟨0|^ ′ ^ ^ (^ † ) ^† ^†′ |0⟩ =.(16.18)[(Ω/2) − 2 − ]!Состояния с двумя неспаренными частицами — это | = 2 + 2; =2,′ ⟩.
Состояния с более высокими значениями сеньорити могут бытьпостроены подобным образом. Заметьте, что на этом этапе мы не ввели16.3. Мультипольные моменты в схеме сеньорити419явно гамильтониан, так что схема сеньорити просто даёт базис, удобныйдля описания парных корреляций.16.3. Мультипольные моменты в схеме сеньоритиВ приложениях к атомной и ядерной физике практически интересновычислить средние значения мультипольных моментов в чистых состоянияхс сеньорити = 1 (одна неспаренная частица). Здесь мы рассмотримсостояние с одной валентной частицей на сферической орбите |, = ⟩,как требуется определением (16.65) мультипольного момента, посколькуизотропные пары не дают вклада в момент импульса.Мультипольные моменты относятся к классу одночастичных операторов, во вторично-квантованном виде выражаемых уравнениями (11.34, 37).Только диагональные члены в |)-базисе дают вклад в средние значения,так что эффективные операторы могут быть записаны в виде∑︁^=(||)^† ^ .(16.19)Пусть чётный остаток состоит из пар.
Нам нужно вычислить матричныйэлемент^() = ⟨ = 2 + 1; = 1 ||= 2 + 1; = 1 ⟩.(16.20)Удобно перейти к «дырочному» представлению, используя (16.19) ^† ^ =1 − † . Для любого мультипольного момента,кромескалярных,за∑︀мкнутая оболочка не даёт вклада, и след (||) = 0. В матричномэлементе (16.20) можно перенести оператор ^ влево, а оператор ^† вправо, коммутируя их с ^ и (^ † ) соответственно (это делается бесплатно,поскольку ^ и ^ † содержат только пары Ферми-операторов). Включаянорму (16.16) состояния с сеньорити 1, мы получаем=−∑︁(||)⟨0|^ ^ ^ (^ † ) ^† ^† |0⟩.⟨0|^ ^ (^ † ) ^† |0⟩(16.21)Матричный элемент в числителе (16.21) обращается в нуль при = вследствие принципа Паули, и даётся формулами (16.17) и (16.18) для = ˜и≠ , ˜ соответственно.
Подставляя отношение норм из уравнений (16.16–420Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимость16.18), мы получаем(Ω/2) − 1 − ∑︁ = −(˜||˜) −(||).(Ω/2) − 1(16.22)̸=,˜Вследствие обращения следа в нуль сумма в (16.22) равна −(||) − (˜||˜).Наконец,[(||) + (˜||˜)].(16.23) = (||) −(Ω/2) − 1Первый член — это нормальный одночастичный результат. Добавочныйвклад, пропорциональный числу пар , отражает их искажение из-за присутствия неспаренной частицы.Окончательный результат зависит от характера мультипольного оператора.
Для операторов, чётных относительно обращения времени, их средниезначения по -сопряжённым состояниям равны, и (Ω = 2 + 1)(︁ = (||) 1 −)︁2. − (1/2)(16.24)В начале оболочки ( = 0) и в её конце ( = − (1/2)) уравнение (16.24)совпадает с простым результатом для одночастичного ( = (||)) иоднодырочного ( = −(||)) состояний. Предсказывается, что чётные повремени мультипольные моменты как функции линейно интерполируютмежду этими пределами.
Их абсолютные величины меньше, чем на краях,и они меняют знак вблизи наполовину заполненной оболочки.Для операторов, нечётных по времени, -сопряжённые орбиты имеютпротивоположные средние значения, и результат (16.23) совпадает с чистоодночастичным значением (||). Это означает, например, что на магнитный момент ядра не влияет наличие пар, и для состояний с сеньорити = 1 он должен быть равен значению Шмидта, задача II.8.5. Конечно, всеэти результаты основаны на многочастичной волновой функции, построенной только из пар и одной неспаренной частицы; другие динамическиекорреляции делают реальную ситуацию более сложной.16.4. Вырожденная модель и квазиспинЗдесь мы рассмотрим точно решаемую модель, которую, по-видимому,впервые изучил Рака. Она является первой разумной микроскопическоймоделью сверхпроводимости, хотя это не было понято в то время.16.4.
Вырожденная модель и квазиспин421Предположим, что вблизи Σ частицы взаимодействуют только посредством сил притяжения спаривающего типа. Сила взаимодействия мала посравнению с и даже с расстоянием между основными оболочками. Ноона может быть порядка расщеплений между -подоболочками. В грубомприближении мы считаем все одночастичные уровни в некотором интервалеоколо поверхности Ферми вырожденными (имеющими энергию ).
Полноечисло орбит в этом слое равно Ω.Спаривательное взаимодействие ведёт к процессам рассеяния частиц˜ В результате частицы либо остаются нана -сопряжённых орбитах (, ).той же паре орбит, либо переходят на другую пару (′ , ˜′ ). Состояния сразорванными парами не дают достаточного перекрытия волновых функций, и мы просто предполагаем, что взаимодействие выключается, еслиорбиты частиц не являются -сопряжёнными друг другу.Матричные элементы рассеяния, вызванные спаривающим взаимодействием,˜′ ≡ (′ , ˜′ | |, ),(16.25)мы заменяем на их среднее постоянное значение ( > 0)′ = −.(16.26)Из-а малости радиуса взаимодействия отдельные матричные элементы(16.25) малы — обратно пропорциональны объёму ядра.
В самом деле, одночастичные волновые функции в подынтегральном выражении нормированы на полный объём, тогда как силы отличны от нуля только на маломрасстоянии между частицами. Используя наш опыт с двухчастичнымиоператорами во вторично-квантованном виде (11.71), мы постулируем, чтогамильтониан вырожденной модели спаривания имеет вид^ = ^ − ^ † ^ .(16.27)Произведение операторов рождения и уничтожения пар (16.3) содержитвсе вышеотмеченные процессы перехода пар.Диагонализация гамильтониана (16.27) может быть произведена элегантным операторным методом. Без вычислений ясно, что операторы и †^ меняется на ±2образуют лестничную структуру (разд. I.11.7), оператор на каждом шаге по лестнице^ ] = 2^ ,[^ , ^ ] = −2^ † .[^ † , (16.28)422Глава 16.
Спаривание фермионов и сверхпроводимостьАлгебра замыкается коммутатором (16.9). Три оператора —ℒ^− = ^ ,ℒ^+ = ^ † ,1 (︁ ^ Ω )︁ℒ^ =−—22(16.29)образуют алгебру (2), изоморфную алгебре углового момента (II.1.25,26).«Момент» ℒ можно назвать квазиспином.Проекция квазиспина ℒ определяется числом частиц и объёмом доступного одночастичного пространства.
Поэтому ℒ — точный интегралдвижения, принимающий одно и то же значение для всех состояний с данным . По мере заполнения оболочки ℒ меняется от −(Ω/4) для пустойоболочки ( = 0) до +(Ω/4)для полностью заполненной ( = Ω); ℒ = 0для оболочки, заполненной наполовину ( = (Ω/2)). Другой интегралдвижения — квадрат квазиспина^ )2 = ℒ^2 − ℒ^ + ^ † ^ .(ℒ(16.30)Он принимает значения ℒ(ℒ + 1), где ℒ целое или полуцелое в зависимостиот значения ℒ . При данном различные состояния имеют различныезначения ℒ, которые могут меняться от ℒmin = |ℒ | до максимальногозначения ℒmax = (ℒ )max = Ω/4:1 ⃒⃒Ω ⃒⃒Ω⃒ − ⃒ 6 ℒ 6 .224(16.31)Таким образом, каждое -частичное состояние характеризуется квазиспиновыми квантовыми числами ℒ и ℒ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
