1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Среднее значение гамильтониана (16.27) определяет, в соответствии с (16.30), энергию состояния(ℒ, ) = +Ω( − − 2) − ℒ(ℒ + 1).42(16.32)Предположим, например, что Ω/4 целое и число частиц чётно. Тогда ℒи ℒ целые, и основное состояние имеет максимальный квазиспин ℒ = Ω/4.Квантовое число сеньорити , введённое в классификации состояний вразд. 16.2, — это удвоенное отклонение квазиспина ℒ от своего максимального значения(︂)︂Ω−ℒ .(16.33)=24Как следует из (16.31), может меняться от 0 в основном состоянии дополного числа частиц в случае оболочки, заполненной меньше, чем на16.4.
Вырожденная модель и квазиспин423половину ( < Ω/2), или до числа дырок Ω− , если > Ω/2. При чётных сеньорити тоже чётное. Энергетический спектр (16.32) как функциясеньорити принимает вид ( ) = +( − )( + − Ω − 2).4(16.34)Из (16.34) видно, что квантовое число сеньорити описывает сокращениефазового пространства, доступного для взаимодействующих пар, вследствие блокировки орбит частицами (при < Ω/2), не участвующимив парных корреляциях. По сравнению с основным состоянием с = 0ненулевое значение в (16.34) приводит к заменам → − , Ω → Ω − 2,которые уменьшают число состояний, доступных для пар, и эффективноподавляют притяжение.Энергия возбуждения состояний с фиксированным , но ненулевымсеньорити, равна ( ) − 0 ( ) =(Ω − + 2).4(16.35)Пока ≪ Ω, энергия возбуждения (16.35) растёт как Ω/4, т.
е. пропорционально числу разорванных пар. Потеря связи для первого разрыва пары=2Ω(16.36)2Δ = 2есть энергия связи пары. Она определяет энергетическую щель в спектревозбуждения пар, тесно связанную со сверхпроводящими свойствами. Эффект пропорционален объёму фазового пространства Ω (потеря доступногопространства для всех пар). Коллективная природа связи обусловленакогерентной комбинацией всех доступных состояний в волновой функциипары, уравнения (16.3) и (16.8).Добавим нечётную частицу к чётной системе → + 1.
Для нового(нечётного) числа частиц квазиспин ℒ полуцелый и нечётно. Максимальновозможное значение квазиспина равно ℒmax = (Ω/4) − (1/2), что соответствует = 1, т. е. одной неспаренной частице, блокирующей одно состояниепары. Энергия основного состояния =1 ( + 1) нечётной системы следуетиз (16.34) при → + 1 и = 1. Она может быть выражена через энергиюосновного состояния исходной чётной системы как1 ( + 1) = 0 ( ) + +.2(16.37)424Глава 16.
Спаривание фермионов и сверхпроводимостьПотеря энергии опять имеет коллективный характер, будучи пропорциональна числу пар /2; каждая из пар потеряла одно состояние для возможного рассеяния.Сравнение энергий основных состояний 0 ( ) и 0 ( + 2) двух соседнихчётных систем показывает, чтоΩ0 ( + 2) − 0 ( ) = 2 + − .2(16.38)Это значит, что вследствие спаривания основное состояние нечётной системы сдвинуто вверх от средней энергии основных состояний её чётныхсоседей на половину величины щели (16.36):0 ( + 2) − 0 ( )Ω0 ( ) + 0 ( + 2)+ =+ Δ.242(16.39)Это объясняет чётно-нечётный эффект в формуле ядерных масс [10] какпотерю энергии спаривания из-за блокировки Паули для нечётной системы.1 ( ) = 0 ( ) +16.5.
Каноническое преобразованиеПрисутствие парных корреляций влияет на вероятности всех процессовв системе. Простейший пример — передача пары. В реакции между двумяядрами пара нуклонов может передаваться от одного ядра к другому с сохранением корреляции между составляющими. Этот процесс, аналогичныйэффекту Джозефсона в сверхпроводниках (разд. I.14.5), микроскопически может быть описан парой операторов ^ и ^ † . Добавляя или удаляяконденсатную пару, они не меняют сеньорити.Алгебра квазиспина (16.29) позволяет использовать матричные элементы (II.1.49) углового момента для амплитуды передачи при одном и томже сеньорити:⟨ + 2; |^ † | ; ⟩ =⟨ − 2; |^ | ; ⟩ =1 √︀(Ω − − )( − + 2),21 √︀(Ω − − + 2)( − ).2(16.40)При малых ∼ 1 и далеко от краёв оболочки ∼ Ω − ∼ Ω ≫ 1 этиматричные элементы равны друг другу, и их общее значение есть1 √︀⟨ + 2; |^ † | ; ⟩ ≈ ⟨ − 2; |^ | ; ⟩ ≈ (Ω − ).2(16.41)16.5.
Каноническое преобразование425Мы получили когерентный эффект усиления для передачи конденсатнойпары вследствие бозонного стимулированного излучения или поглощенияпар, подобно тому что мы видели в сверхизлучении (разд. II.11.9).Теперь мы можем перейти к одночастичным процессам в присутствииконденсата. Гамильтониан спаривания (16.27) даёт уравнения движениядля фермионных операторов рождения и уничтожения,^ = ^[^ , ] + ^†˜ ^ ,^ = −^[^†˜ , ]†˜ + ^ † ^ ,(16.42)где использовались фермионные правила коммутации (11.14). Мы можемвзять матричный элемент ⟨ ; 0| · · · | +1; 1 ⟩ в первом из этих операторныхуравнений и ⟨ ; 0| · · · | − 1; 1 ⟩ во втором.
В обоих случаях 1 означает состояние с одной неспаренной частицей на орбите , но конденсат содержит частиц в первом случае и − 2 во втором. Действие ^ в первом случаепереводит + 1 → − 1 с тем же = 1, а последующее действие ^†˜ создаёт -сопряжённого партнёра для неспаренной частицы , что приводитк конденсату из частиц. Во втором случае можно рассуждать подобнымобразом. Матричные элементы ^ и ^ † были вычислены выше.
Матричныйэлемент коммутатора эквивалентен матричному элементу ^ или ^† , умноженному на разность энергий, известную из (16.34). Таким образом мыприходим к системе линейных уравнений для матричных элементов ^и^† .Эти матричные элементы можно найти с точностью до нормировочногомножителя, который можно определить из антикоммутатора (11.14).В том же приближении, что и в (16.41), мы получаем√︂√︂Ω−†⟨ ; 0|^ | + 1; 1 ⟩ =, ⟨ ; 0|^˜ | − 1; 1 ⟩ =.ΩΩ(16.43)Одночастичные амплитуды не равны 1 или 0, как это было бы в моделинезависимых частиц. В присутствии конденсата амплитуды — числа между0 и 1 (так называемые факторы когерентности).При выводе уравнений (16.43) мы на самом деле пренебрегли разницеймежду конденсатами, содержащими или ± 2 частиц.
Зависимость от плавная, и это приближение оправдано при ≫ 1; для второй половиныоболочки опять нужно использовать число дырок Ω − вместо в этойоценке. Мы можем упростить анализ, введя приближённое описание, неиспользующее состояний с точным числом частиц. Вместо этого в теориииспользуется среднее число частиц для нескольких соседних систем. Это непроблема в макроскопических сверхпроводниках. В случае ядер этот подход426Глава 16. Спаривание фермионов и сверхпроводимостьописывает средние свойства соседних ядер и может быть недостаточноточным для индивидуальных свойств ядер.«Среднее» основное состояние |0⟩ — это то, что мы называли макроскопическим когерентным состоянием в гл. I.14 — суперпозиция основныхсостояний нескольких чётных систем | ; 0⟩ в некотором интервале Δ¯ , таком, что 1 ≪ Δ ≪ .
Одночастичное возбуждение | = 1 ⟩вокруг с квантовыми числами может быть получено из основного состояния |0⟩с чётным действием специального оператора ^†^† |0⟩ = | = 1 ⟩.(16.44)Обратите внимание, что здесь амплитуда равна 1. Объект, рождаемый оператором ^† или уничтожаемый сопряжённым оператором ^ , приближённопредставляет элементарное возбуждение системы.
Обычно его называютБоголюбовской квазичастицей.В соответствии с уравнением (16.43), амплитуды рождения настоящейчастицы из конденсата или дырки на сопряжённой орбите равны√︂√︂Ω−†^ | ; 0⟩ =| + 1; 1 ⟩, ^˜ | ; 0⟩ =| − 1; 1 ⟩.(16.45)ΩΩПренебрегая разницей чисел конденсатных частиц в двух случаях в (16.45),мы можем скомбинировать эти выражения и получить оператор квазичастицы (16.44)^† = ^† + ^˜ ,(16.46)где параметры и на самом деле не зависят от в нашей вырожденноймодели√︂√︂Ω− =, =.(16.47)ΩΩЭрмитово сопряжённый оператор равен* †^ = * ^˜ . ^ + (16.48)Преобразование от частиц (^, ^† ) к квазичастицам (^, ^† ), изобретённоеН.Н.
Боголюбовым (1958), является мощным инструментом в квантовойтеории многих тел. В присутствии конденсата есть два пути созданияодночастичного возбуждения с квантовыми числами : непосредственносоздать частицу с такими квантовыми числами (первый член в (16.46)) илиуничтожить -сопряжённого партнёра в конденсатной паре (второй член16.5. Каноническое преобразование427в (16.46)), сравните с рассмотрением бозонов в разд.
15.6. Элементарноевозбуждение даётся правильной линейной комбинацией этих амплитуд.Оно нормировано естественным образом:| |2 + | |2 = 1.(16.49)В системе, инвариантной относительно обращения времени, амплитуды и могут быть выбраны действительными и совпадающими для ˜ Однако нужно быть осторожным с относительным знаком амплии .туд, поскольку вследствие правила (16.4) обращения времени операторыобращённых квазичастиц (в -инвариантной системе) равны^† = ^†˜ − ^ ,˜^ ˜ = ^˜ − ^† .(16.50)Ситуация более сложна при отсутствии -инвариантности, например, вовнешнем магнитном поле.
Тогда амплитуды преобразования становятся вобщем случае комплексными.Квазичастицы опять являются фермионами; запрещено повторять создание квазичастицы дважды. Вследствие нормировки (16.49) антикоммутаторсохраняется,[^ , ^†′ ]+ = ′ .(16.51)Остальные антикоммутаторы (11.14) тоже сохраняются. Например,[^ , ^′ ]+ = * *′ ˜′ + * *′ ˜ ′.(16.52)Здесь -символы отличаются знаком от (16.6), так что*[^ , ^′ ]+ = ˜ − ˜) .˜ ′ ( (16.53)Результат равен нулю при правильном выборе фаз -сопряжённых орбит, разность фаз между ˜ и должна быть равна разности фаз между аналогичными множителями (это автоматически выполняется в инвариантном случае). Поэтому преобразование Боголюбова является каноническим.Тогда как оператор (16.46) создаёт элементарное фермиевское возбуждение, его сопряжённый оператор (16.48), действуя на основное состояние,даёт нуль:^ |0⟩ = 0,(16.54)428Глава 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
