1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

Какобычно в статистической механике, такие величины используются в задачахс переменным числом частиц. Поскольку точное основное состояние должнобыть суперпозицией состояний с разными числами частиц в конденсате,нам нужен параметр такого типа, чтобы иметь возможность регулироватьв среднем полное число частиц∑︁ = 0 +p .(15.22)p̸=015.3.

Слабо неидеальный газЧтобы найти свойства основного состояния и спектр возбуждений, вернёмся к уравнениям движения (15.11) и (15.12) для p ̸= 0. В нелинейныхчленах в правой части сохраним главные вклады, содержащие два конденсатных оператора. Это эквивалентно приближению слабо неидеальногоБозе-газа с химическим потенциалом (15.16), упрощённым до первого члена:0 ≈ 0≡ 0 0 .(15.23)15.3. Слабо неидеальный газ395Таким образом, мы приходим к системе уравнений (p ̸= 0)}︁p21 {︁^p +(0 + p )^†0 ^0 ^ p + p ^0 ^0 ^†−p ,(15.24)2}︁1 {︁p2 †~˙ †−p = −^−p −(0 + p )^†0 ^0 ^†p + p ^†0 ^†0 ^p .(15.25)2Здесь в правой части мы имеем конденсатные операторы с их зависимостьюот времени (15.15). Мы можем искать решение в виде~˙ p =^p () = −(/~) ^p (),^†p () = (/~) ^†p ().(15.26)Тогда зависимость от времени, связанная√с химическим потенциалом, сократится, и мы можем подставить -числа 0 вместо конденсатных операторов.

В результате мы получаем линейную систему связанных уравнений:~˙ p = [p + 0 (0 + p )]^p + 0 p ^†−p ,(15.27)~˙ †−p = − [p + 0 (0 + p )] ^†−p − 0 p ^p .(15.28)Здесь мы использовали обозначенияp =p2− ,20 =0.(15.29)Решения уравнений (15.27–15.28) — это нормальные моды Бозе-газа. Изодного и того же состояния с одним квантом |p⟩ можно получить основноесостояние, либо понижая (∼ ^†0 ^p ) частицу с импульсом p в конденсат,либо повышая (∼ ^†−p ^0 ) из конденсата партнёра −p для пары (p, −p).

Вобоих случаях мы получаем состояние с нулевым полным импульсом, но сразными числами частиц в конденсате, 0 + 1 и 0 − 1 соответственно. Основное состояние содержит комбинацию таких практически неразличимыхкомпонент, и в обеих амплитудах конденсатный оператор можно заменитьсоответствующей константой. Взяв матричные элементы между основнымсостоянием |0⟩ и состоянием с одним квантом возбуждения (импульс p иэнергия относительно основного состояния p ), мы получимp ⟨0|^p |p⟩ = [p + 0 (0 + p )]⟨0|^p |p⟩ + 0 p ⟨0|^†−p |p⟩,(15.30)p ⟨0|^†−p |p⟩ = −[p + 0 (0 + p )]⟨0|^†−p |p⟩ − 0 p ⟨0|^p |p⟩.(15.31)396Глава 15.

БозоныПотребовав, чтобы детерминант этой системы алгебраических уравненийобращался в нуль, мы получим энергетический спектр возбуждений p± сдвумя возможными знаками перед квадратным корнем. По определению,энергия возбуждения должна быть положительной, так что физическийкорень — это√︁√︁p = [p + 0 (0 + p )]2 − (0 p )2 = (p + 0 0 )2 + 2(p + 0 0 )p .(15.32)Вспоминая значение химического потенциала (15.23) в этом приближении,мы получаем√︃(︂)︂p2 2 p2p =+ 0 p .(15.33)2Отрицательный корень той же системы уравнений соответствует матричному элементу ⟨−p| · · · |0⟩; такие переходы опять могут быть произведенылибо оператором ^p , либо ^†−p .15.4.

ФононыМы нашли спектр элементарных возбуждений в Бозе-газе со слабым взаимодействием. Если Фурье-компоненты взаимодействия p не возрастаютслишком сильно с ростом импульса, то при достаточно больших импульсах этот спектр сводится к спектру отдельных частиц, возбуждённых изконденсатаp2.(15.34)p ≈2Однако в пределе больших длин волн второй член под знаком корнястановится главным, и спектр является линейной функцией импульса:√︂ 0 0p ≈ , =.(15.35)Таким образом, взаимодействие превращает некогерентное движение частиц в звуковые волны со скоростью звука , определяемой плотностьюконденсата и объёмным интегралом от взаимодействия 0 , или длиной рассеяния (15.6). Решение в целом оказывается физически разумным только вслучае отталкивания с 0 > 0.

Тогда частицы не образуют двухчастичныхсвязанных состояний. В случае притяжения Бозе-газ был бы нестабиленпо отношению к образованию таких связанных комплексов.15.4. Фононы397Задача 15.1Решите задачу о спектре возбуждений в приближении среднего поля.Это можно сделать путём более тщательного решения уравнений (15.11)и (15.12): произведите линеаризацию, учитывая вдобавок к членам с двумяконденсатными операторами также средние значения Δp и p , уравнения (15.17) и (15.18).

Одновременно с этим нужно более точное выражение (15.16) для химического потенциала. Покажите, что в таком согласованном подходе спектр сохраняет качественные черты, найденныев приближении слабо взаимодействующего газа, а именно переход между двумя режимами (15.34) и (15.35) с фононным спектром при малыхимпульсах.Переход между двумя типами спектра возбуждений, корпускулярным(15.34) и волновым (15.35), рис.

15.2, происходит при длинах волн, соответствующих√︂√︂√︀√10 ∼ ∼ 0 ∼ ~ ∼∼ 0.(15.36)Обычно 0 ≫ , иначе систему нельзя назвать газом, она ближе к сильновзаимодействующей жидкости. Обратный предел (так называемый унитарный), когда → ∞, как мы помним из теории рассеяния, отвечаетпорогу образования двухчастичного связанного состояния. Такие оченьслабо связанные состояния, димеры, действительно существуют в реальномжидком гелии.Понятие звуковых волн имеет ясный смысл только для длин волн, больше расстояния между частицами, когда можно говорить о когерентныхмногочастичных возбуждениях. В этой системе коллективный характерподдерживается присутствием конденсата.Кванты звуковых волн, фононы, определяют все низкотемпературныестатистические свойства. Фононный спектр при малых волновых векторахбыл предложен Ландау (1941) для объяснения термодинамики жидкого4 He.

При ≃ эмпирический спектр меняет характер (так называемыйротонный минимум, см. рис. 15.2), что может объясняться либо заметнымизменением эффективных Фурье-компонент взаимодействия (достаточно предположить, что Фурье-компоненты взаимодействия ведут себя какp ≈ 0 − const · |p|), либо другой природой возбуждений (этот вопрос досих пор обсуждается). При достаточно больших импульсах возбужденияфононного типа становятся нестабильными относительно распада на рото-398440Глава 15.

Бозоны21 BosonsEnergy (K)1612840102030Wave vector k(nm)–14 He; theРис. 15.2.FigureЭмпирическийспектр возбуждений[87] жидкогоHe; наклонтонкой21.2 The empiricalexcitation spectrum[64] of4liquidslope of a thin linлиниипоказываеткритическуюкритериюЛандау (15.43)thecriticalvelocity accordingto theскоростьLandau’sпоcriterion(21.43).ны [88]. Вобщем, rследует— нетогдаUsually,otherwiseчтоtheжидкийsystemгелийcannotbeгаз,calledgasкакsince it is clo0 ! a, помнить,наши соображенияограниченыслучаемслабовзаимодействующегогаза.strongly interacting liquid.

The concept of sound waves has a clear meanФононный спектр можно рассматривать как ещё один пример голдстоfor the wavelengths greater than the interparticle distance when it is poуновской моды, вспомните гл. 14. Здесь труднее увидеть, на каком этапеspeak of coherentmany-bodyexcitations.нарушениеIn this problem,the collective cнаше приближённоерешениевводит спонтанноесимметрии.is supportedby the presence of the condensate.Это происходит,√ когда мы подставляем вместо конденсатных операторов†^0 и ^0 число0 , уравнение(15.10).Вместоэтогоdetermineможно положитьThe quantaof soundwaves,phonons,all low-temperature s√︀√︀properties.

The phononspectrumat small wave vectors was suggested by^0 ⇒ 0 , ^†0 ⇒ 0 −(15.37)41941, as an explanation of the thermodynamics of liquid He. At p ' p c ,pirical spectrumchangesits character(the so-calledконденсатаroton minimum, Figuс произвольнымдействительным. Этофазовое преобразованиесохраняеткоммутационныесоотношенияведёт к другому,thatcan be ascribedeither to aиnoticeablechangeноofсовершенноthe effective Fourierэквивалентномуосновномусостоянию.Поэтомусредивозможныхколлекnents of the interaction (it is sufficient to assume that theFourier compoтивных возбуждений имеется глобальное (во всём пространстве) изменениеthe interaction behave as U p " U0 # const $ jp j), or to another nature of excфазы конденсата без изменения энергии,которое является длинноволновымquestionis still debatable).With growing momentum, the phonon-typпределом(theреальнойфононнойветви.become unstablerespectмалогоto decayinto rotons[65]. In general, onИ это tionsдействительнотак.

Для withбесконечнофазовогопреобразования мы имеемиз (15.37)rememberthat liquid helium is not a gaseous substance while our consiis limited here by the√︀case of a† weakly√︀interacting gas.0 = 0 , 0 = − 0 .(15.38)The phonon spectrum is considered to be another example of Goldstonrecall Chapter 20. Here, it is harder to see at what stage our approximateintroduces spontaneous symmetry breaking. This happened when we subp†the condensate operators aO and aO by N , (21.10).

Instead, one can set15.5. Сверхтекучесть399Это значит, что в голдстоуновской моде0†0= −1.(15.39)В фононной моде мы имеем из (15.30) или (15.31)⟨0|p |p⟩⟨0|†−p |p⟩=0 p.p − [p + 0 (0 + p )](15.40)При значениях энергии возбуждения (15.33) и химического потенциала (15.23) в пределе → 0 правая часть стремится к −1, в согласиис (15.39). Таким образом, присутствие фононной ветви с нулевой энергиейв длинноволновом пределе восстанавливает инвариантность относительнофазовых преобразований конденсата (калибровочную симметрию). Этасимметрия была нарушена специфическим выбором фазы конденсата.15.5.

Характеристики

Список файлов книги