1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В длинноволновом пределе они имеют конечные частоты, описывающиеотносительное движение атомов в ячейке, периодически повторённое в^ (k) являются суперпозициямидругих ячейках. Векторные амплитуды bмонохроматических волн с определёнными поляризациями. Мы можемидентифицировать нормальные моды по взаимно ортогональным векторам()ek , которые находятся из уравнений (14.46) для каждого квазиимпульсаk, атома в ячейке и собственной частоты 2 (k).Задача 14.4Введите правильно нормированные (уравнение (14.30)) операторы рождения и уничтожения для фононных мод и выпишите операторное разложение^ j () в терминах фононов.для поля смещения uРешение.Подобно уравнению (14.31), мы получаем√︃(︁)︁∑︁~()^ jek ^k (k·j)−(k) + ^†k −(k·j)+(k) .u2 k(14.49)kМы не можем явно найти нормальные моды в общем виде для любоготипа решётки.
В некоторых случаях соображения симметрии помогаютполучить результат. В кубической решётке три ортогональных главных осиэквивалентны. Пусть волновой вектор k смотрит вдоль одной из главныхосей. Тогда симметрия показывает, что в случае одного атома в элемен()тарной ячейке три нормальные моды ek соответствуют направлениямглавных осей, так что имеется продольная волна и две вырожденныхпоперечных волны (с равными частотами). В длинноволновом пределе,аналогично (14.19), при = 1 мы получаем три типа звуковых волн со()скоростью звука, зависящей от направления k и поляризации ek . Учитывая высшие члены в разложениях (14.3,14.34) и (14.42), мы получимангармонические эффекты, которые приводят к дисперсии звука, зависи-370Глава 14.
Коллективные возбуждениямости скорости звука от длины волны. Формально эти эффекты связаны счленами в гамильтониане, содержащими более двух операторов рожденияи уничтожения фононов.14.4. Спиновые волныКак мы обсуждали в разд. 12.4, требования квантовой статистики ведут кспецифическому взаимодействию, зависящему от спинов, даже если гамильтониан системы тождественных частиц не содержит спиновых переменныхявно. В этом причина правил Хунда (разд. 12.7), которые определяютэлектронный терм с наибольшим возможным спином как энергетическинаиболее выгодный среди всех значений спина, совместимых с принципомПаули для данной конфигурации.Обменная часть электростатического взаимодействия ответственна заколлективные магнитные явления, ферромагнетизм и антиферромагнетизм.
Хотя настоящий гамильтониан в конденсированной среде может бытьочень сложным, основные черты могут быть описаны так называемымгамильтонианом Гейзенберга. Этот гамильтониан описывает взаимодействие локализованных атомных спинов таким же образом, как мы виделив простейшем случае (12.61)^ = −12∑︁ (^s · ^s ),(14.50)(̸=)где обменные интегралы = зависят от расстояния между спинами и и обычно быстро убывают с ростом расстояния. В кристаллах онимогут быть анизотропными, так что мы бы имели тензор (мы нерассматриваем здесь такие случаи).Задача 14.5Рассмотрите систему спинов 1/2 в однородном магнитном поле ℬ () =()n фиксированного направления вдоль единичного вектора n, но меняющегося со временем по величине.
Спины взаимодействуют попарно содинаковой силой взаимодействия в каждой паре:^ int (, ) = (^s · s^ ),(14.51)где ̸= . Найдите перекрытие () = ⟨Ψ′ ()|Ψ()⟩ состояний, которые вначале были одним и тем же состоянием |Ψ0 ⟩, но подвергались воздействию14.4. Спиновые волны371различных магнитных полей ′ () и () соответственно (такие величиныхарактеризуют точность воспроизведения системы; они важны для оценкиэффектов неизбежных возмущений).Решение.Полагая гиромагнитное отношение отдельных спинов равным , получиммагнитный член гамильтониана∑︁^^ m = −~ℬ () · ^s ) = −~()(n · S),(ℬ(14.52)^ — полный спин системы. Легко видеть, что величина сохраняется,где Sпоскольку все пары спинов взаимодействуют одинаково:∑︁1 ^ 2( ) −,28^ ^ =(̸=)(14.53)где помечает оси координат (суммирования по нет), и мы учли, что(^ )2 = 1/4 для всех и .
Таким образом,(︂)︂ ^ 2 3^int =S −.(14.54)24Все классы состояний с различными значениями эволюционируют независимо. Магнитная часть гамильтониана и член взаимодействия коммутируют, и оператор эволюции для поля () равен^ () = −(/~)∫︀ 0^ ′)′ (^2 −(3/4)]}= {Φ()(n·S)+(/2)[S,(14.55)где∫︁Φ() = ′ (′ ).(14.56)0Точность воспроизведения для начального состояния |Ψ0 ⟩ выражается как^ † )′ ()^ ()|Ψ0 ⟩, = ⟨Ψ0 |((14.57)^ ′ и Φ′ () соответствуют возмущённой зависимости ′ (). В нашемгде случае′^ () = ⟨Ψ( 0)|[Φ()−Φ ()](n·S) |Ψ0 ⟩.(14.58)372Глава 14. Коллективные возбужденияДля начального состояния с некоторой проекцией = на направлениеполя′ () = [Φ()−Φ ()] ≡ ()(14.59)результат не зависит от знака . Обычно практический интерес представляет средняя точность воспроизведения по начальным состояниям одногокласса (спина ),∑︁1¯() = ().(14.60)2 + 1Суммирование геометрической прогрессии для целого ведёт к{︂}︂2 cos[( + 1)/2] sin(/2)11+,¯() =2 + 1sin(/2)(14.61)где () определено в (14.59).
В случае малого возмущения ≪ 1( + 1) 2¯() ≈ 1 − ().6(14.62)Часть, не зависящая от времени, происходит от вклада состояния = 0, накоторое не влияет магнитное поле. Такой член отсутствует для полуцелых, когда результат имеет вид2 cos[(2 + 1)/4] sin(/2)¯() =.(2 + 1) sin(/4)(14.63)На рис. 14.2 показан результат (14.61) как функция для различныхзначений .При положительных в основном состоянии все∑︀ спины выстроеныпараллельно. Тогда спин основного состояния S = s принимает максимально возможное значение max = , где мы считаем все спиныравными, — материал является ферромагнетиком. Мы встречаем ситуацию, формально такую же, как в нашем обсуждении сверхизлученияв разд.
II.11.9, где спины вводились искусственно для описания чисел заполнения атомных состояний. Основное состояние ферромагнетика сильновырождено, поскольку все проекции имеют одинаковую энергию. Этоочевидное следствие вращательной инвариантности. Здесь мы видимещё один пример спонтанно нарушенной симметрии (выше мы обсуждалинарушение трансляционной инвариантности). Внешнее магнитное полесняло бы вырождение, определив предпочтительное направление выстра-!Vladimir Zelevinsky: Quantum Physics — Chap. zelevinskyc20 — 2010/10/5 — page 421 — le14.4. Спиновые волныf(t)37320.4 Spin Wavesf(t)s=4, α(t)=ωt1s=4, α(t)=Sin(ωt)1ωt–1ωt–1f(t)1f(t)s=20, α(t)=ωt1s=20, α(t)=Sin(ωt)ωt–1ωt–1Figure 20.2 Fidelity f (t) as a function of the perturbation α(t), (20.59), for S D 4 and 20,Рис.
14.2. Точность воспроизведения ¯() как функция возмущения (), уравнеsee [59].ние (14.59), для = 4 и 20, см. [78]The ferromagnetic ground state j0i with S z D S satisfies(C)ивания спинов.sO za Безj0i Dполяsj0i, всеsO a направленияj0i D 0 for all aв. пространстве эквивалентны.(20.64)Фактическое основное состояние выбирается системой в зависимости от еёof the groundstate isвозмущенийgiven byистории,Energyв результатекаких-тов прошлом. Нужно ожидатьГолдстоуновской модыв спектре возбуждений, связанной с бесконечноs2 Xмалыми поворотами,которыепереводят систему в состояние(20.65)сE0 D !J aбесплатноb ,2другой эквивалентной ориентацией.a b(b¤a)Простейшийспособвозбудитьсистему —pairs.это изменитьориентациюwhere thesum goesover all interactingThe simplestway to exciteодногоthe systemспина, скажемs .byОднакоэтоведёт к стационарномусостоянию,потомуthiswould bechangingtheнеorientationof a single spin, let’ssay s a .
However,что выбранныйспинс соседями.does not leadto aвзаимодействуетstationary state becausethe chosen Переворачиваяspin interacts with одинits neighспин, мыbors.на самомделевозбуждаемспиновуюволну,распространяющуюсяBy flipping one spin, we excite a spin wave propagating along the system.по системе.ToФерромагнитноеосновное|0⟩writeс down= theудовлетворяетsee what happens afterflippingсостояниеone spin, weoperator equationof motion for the components sO αa with the Hamiltonian (20.50):^ |0⟩ = |0⟩,^(+) |0⟩ = 0 для всех .i„ sOP αa D [Os αa , HO ] D !i! α β γXβJ a b sO b sO γaЭнергия основного состояния даётсяb(¤a)формулой2.(14.64)(20.66)∑︁ rules for spin operators and symmetryHere, we used the standard commutation0 = − ,(14.65)of J a b . Let us take in the operator2 equations (20.66) for transverse components,(̸=)α D x, y , the matrix element hωj .
. . j0i between the ground state and an excitedstate with energy E D „ω. Acting as an operator creating an excitation, the operatorwe are looking for should have time dependence / exp(i ωt). In the commutator,x,ywe get !„ωhωjs a j0i, while in the right-hand side one of the spin operators refers421374Глава 14. Коллективные возбуждениягде сумма берётся по всем взаимодействующим парам.Чтобы увидеть, что происходит после переворота одного спина, запишемоператорные уравнения движения для компонент ^ :∑︁^ = −~˙ = [^ , ] ^ ^ .(14.66)(̸=)Здесь мы использовали стандартные коммутационные соотношения для операторов спина и симметрию .
Возьмём в операторных уравнениях (14.66)для поперечных компонент = , матричный элемент ⟨| · · · |0⟩ междуосновным состоянием и возбуждённым состоянием с энергией = ~. Мыищем операторы, действующие как операторы рождения возбуждений ипотому имеющие зависимость от времени ∝ exp(). В коммутаторе мыполучаем −~⟨|, |⟩, тогда как в правой части один из спиновых операторных множителей относится к -компоненте и, действуя на основноесостояние, даёт своё собственное значение . В результате мы приходим клинейной системе уравнений:∑︁−~⟨| |0⟩ = − ⟨| − |0⟩;(̸=)−~⟨| |0⟩ = ∑︁ ⟨| − |0⟩.(14.67)(̸=)Нам нужно выбрать понижающую компоненту ^(−) = ^ − ^ , удовлетворяющую~⟨|(−) |0⟩ = ∑︁(−) ⟨|(−) − |0⟩.(14.68)(̸=)Эта связанная система уравнений показывает, что существует ветвь спектравозбуждений, генерируемая переворотом отдельного спина и включающаявсе остальные спины через их взаимодействие.Теперь вспомним трансляционную инвариантность, = (|a − b|).Вследствие этого стационарные состояния являются блоховскими волнамис некоторым квазиимпульсом k.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
