1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Это позволяет интерпретировать очевидным образомголдстоуновскую моду. В пределе → 0 фаза флуктуации плотности вездеодинакова и эквивалентна глобальному преобразованию (15.37); постояннаяфаза не требует энергии.Если оператор ^p имеет большой матричный элемент между основнымсостоянием и возбуждённым состоянием |p⟩, то мы предполагаем, чтоодин этот переход насыщает правило сумм (I.7.146), которое в явномвиде (I.7.130) записывается как⃒⃒2∑︁2⃒⃒†( − 0 ) ⃒⟨Ψ (p)|^p |Ψ0 ⟩⃒ =,2(15.62)где мы суммируем по всем промежуточным состояниям |Ψ (p)⟩, имеющимимпульс p.
Насыщение означает, что единственное состояние |p⟩ с энергиейвозбуждения p даёт значительный вклад в правило сумм, т. е.p |⟨p|^p |Ψ0 ⟩|2 ≈2.2(15.63)Величинаp = ⟨Ψ0 |^p ^†p |Ψ0 ⟩(15.64)называется статическим формфактором. Она выражает корреляционнуюфункцию флуктуаций плотности. Подставляя в уравнение (15.64) полный набор возбуждённых состояний с импульсом p и опять предполагаянасыщение, мы получаем⃒2∑︁ ⃒⃒⃒p =p |Ψ0 |2 .(15.65)⃒(†p )0 ⃒ ≈ |⟨p|^Теперь результат (15.63) может быть переписан в виде, предложенномР.
Фейнманом:2 p =.(15.66)2 pСтатический формфактор (15.64) — это функция, прямо связанная сэкспериментально наблюдаемыми величинами, особенно с парной корреля-406Глава 15. Бозоныционной функцией, которая определяется как⟨⟩∑︁1(r + r − r ) ,(r) = ( − 1)(15.67)(̸=)вероятность найти две частицы на расстоянии r друг от друга. Среднее значение в (15.67) берётся либо по основному состоянию |Ψ0 ⟩, либопо соответствующему тепловому ансамблю при ненулевой температуре.Статический формфактор есть по существу Фурье-образ корреляционнойфункции:⟨⟩ ∫︁⟨⟩∑︁∑︁p =(/~)p·(r −r ) = 3 −(/~)(p·r)(r + r − r ) .
(15.68)Таким образом,∫︁p = + ( − 1)3 −(/~)(p·r) (r).(15.69)Здесь член происходит от корреляции с самим собой, = .15.8. Приближение локальной плотностиСуществуют физические аргументы, позволяющие связать уравнение(15.66) со скоростью звука и, следовательно, с нашим предыдущим результатом (15.35) для спектра элементарных возбуждений в длинноволновомпределе. Применим к системе слабое статическое возмущение плотности,меняющееся в пространстве с волновым вектором k = p/~,∫︁′^ = 3 ^(r) cos(k · r),(15.70)или, в терминах операторов флуктуаций плотности (помечаемых здесьволновым вектором k):^ ′ = (^k + ^†k ).(15.71)2Мы предполагаем, что система стабильна по отношению к таким слабым( → 0) возмущениям.
Однородное основное состояние получит модуляцию15.8. Приближение локальной плотности407плотности, и его энергия во втором порядке теории возмущений сводится к†∑︁ | ′ |22 ∑︁ |(k )0 |220=−≡ − k . − 0 =0 − 2 − 02(15.72)Задача 15.6Найдите среднее значение операторов флуктуаций плотности и возмущения ′ в возмущённом основном состоянии |Ψ′0 ⟩.Решение.⟨Ψ′0 |^k |Ψ′0 ⟩ = −k ;^ ′ |Ψ′0 ⟩ = −⟨Ψ′0 |22 k = −2 k .2(15.73)(15.74)Теперь вычислим изменение энергии другим путём, с помощью макроскопических аргументов. Полная энергия возмущённого состояния равна^ +^ ′ |Ψ′0 ⟩.
= ⟨Ψ′0 |(15.75)Чтобы найти среднее значение исходного гамильтониана в новом состоянии, мы используем, подобно идее функционала плотности (разд. 13.10),приближение локальной плотности. А именно, если невозмущённая энергия может быть записана как 0 = (), то при больших длинах волнвозмущения, когда 0 ≪ 1, большие части системы чувствуют простоплавное изменение локальной плотности, тогда как её градиенты всё ещёдостаточно малы. Поэтому мы ожидаем, что локально внутренняя энергиясистемы всё ещё может быть описана тем же функционалом () с плавноменяющейся плотностью (r):∫︁^ ′ ⟩ = 3 ((r)).⟨Ψ′0 ||Ψ(15.76)0При малых изменениях плотности → + Δ(r) мы можем использоватьразложение1 2((r)) ≈ () +Δ +(Δ)2 + ...(15.77)2 2Модуляция плотности возмущением (15.70) может быть найдена из(15.73):1⟨(r)⟩ = + Δ(r) = + ⟨k ⟩ 2 cos(k · r),(15.78)408Глава 15.
Бозонычто может быть выражено через ту же сумму k , которая была определенав уравнении (15.72)Δ(r) = −2k cos(k · r).(15.79)Член первого порядка в разложении (15.77) обращается в нуль после интегрирования осциллирующего косинуса, интеграл по объёму от cos2 (k · r)во втором члене даёт /2, и у нас остаётся^ ′⟩⟨Ψ′0 ||Ψ01= 0 +2(︂2 )︂22 2 22 =+,02 2 2(15.80)где — та же величина k , взятая в длинноволновом пределе → 0.Собирая все члены порядка 2 в (15.72, 15.74, 15.75) и (15.80), мы приходимк(︂)︂2 22− = − 1 −,(15.81)2 2или(︂)︂−1(︂ 2 )︂−1 2 ==.(15.82)22 2 2Теперь мы можем связать величину , уравнения (15.72) и (15.82), соскоростью звука.
Давление в невозмущённой среде равно)︂(︂0,(15.83) =− но производная по объёму при фиксированном может быть выраженакак(︂)︂(︂ )︂=−,(15.84) так что, с 0 = (),− .(15.85)Как следует из равновесной гидродинамики [90], скорость звука определяется производной давления по массовой плотности : =2 =1 2=. 2(15.86)15.9. Неоднородный газ409Уравнение (15.82) теперь говорит нам, что = lim→0∑︁ |(† )0 |2k − 0= =.22 222(15.87)Это соотношение называется правилом сумм для обратной энергии.1Последний шаг в нашей цепочке аргументов состоит в том, что мы ожидаем, что в слабо неидеальном Бозе-газе правила сумм, такие как (15.87),в длинноволновом пределе насыщаются единственной голдстоуновскойветвью спектра элементарных возбуждений p , p = ~k.
Тогда уравнение (15.87) определяет физическую нормировку матричного элемента флуктуации плотности⃒⃒2⃒⃒†k ≈ ⃒⟨k|p |Ψ0 ⟩⃒ = p = p.22(15.88)Вместе с правилом сумм (15.66) это даёт универсальный фононный спектрp2 = 2 2(15.89)с макроскопически определённой скоростью звука. Поскольку при нулевойтемпературе = /, это определение совпадает с определением черезхимический потенциал, использованным в микроскопических рассуждениях, см.
уравнения (15.20) и (15.38).15.9. Неоднородный газДо сих пор мы обсуждали основное состояние и элементарные возбуждения в пространственно-однородном случае. Тогда возбуждения характеризуются своим импульсом p. Во многих случаях Бозе-система имеетпространственно-неоднородную конфигурацию. Все недавние успехи в получении Бозе-конденсации [91] связаны со специальными ловушками, гдемогут охлаждаться атомы. Ловушку можно описать потенциалом ∘ (r),обычно близким к потенциалу гармонического осциллятора, возможноанизотропного. Тогда гамильтониан газа содержит кинетическую энергию, взаимодействие между частицами через потенциал (r) и внешний1В русскоязычной литературе это правило сумм для сжимаемости — Прим.
редактораперевода.410Глава 15. Бозоныпотенциал ∘ (r). Во вторично-квантованном виде (42.67)∫︁∫︁13† ∘^^ = + ^r (r)^r +3 3 ′ ^†r ^†r′ (r − r′ )^r′ ^r .2(15.90)Гейзенберговские уравнения движения для операторов уничтоженияимеют вид^ =~˙ r = [^r , ]∫︁~2 2∘r′ =−∇ ^r + (r)^r + 3 ′ 3 ^†r′ (r − r′ )^^r .(15.91)2Поскольку нас интересует макроскопически когерентное движение, мы применим аргументы и формализм главы I.14 и заменим матричные элементыоператоров ^r и ^†r на макроскопическую волновую функцию Ψ(r), представляющую конденсат и в общем случае пространственно неоднородную:∫︁~2 2∇ Ψ(r) + ∘ (r)Ψ(r) + 3 ′ Ψ* (r′ ) (r − r′ )Ψ(r′ )Ψ(r).~Ψ̇(r) = −2(15.92)Функция Ψ(r) удовлетворяет нелинейному уравнению типа Шрёдингера.Нелинейность соответствует самосогласованному среднему полю, создаваемому взаимодействующими частицами.Теорию можно далее упростить для газа низкой плотности с отталкивающим взаимодействием, например, типа твёрдых сфер.
Тут мы имеемпарные взаимодействия при низких энергиях, так что существенно только -волновое рассеяние. Такое двухчастичное взаимодействие полностьюописывается длиной рассеяния , уравнение (15.6), являющейся точнымрешением двухчастичной задачи. Тогда вместо истинного потенциала мыможем использовать в уравнениях движения псевдопотенциал (r − r′ ) ⇒ (r − r′ ),=4~2.(15.93)Это приводит уравнение (15.91) к локальной форме:~Ψ̇(r) = −~2 2∇ Ψ(r) + ∘ (r)Ψ(r) + |Ψ(r)|2 Ψ(r).2(15.94)Это уравнение Питаевского—Гросса [92, 93] широко используется в физикеБозе-систем; его справедливость для чисто отталкивательного взаимодействия была строго доказана значительно позже [94]. В случае потенциаловтипа Ван-дер-Ваальса (задача 2.6) применимость такой упрощённой формы15.9. Неоднородный газ411может быть сомнительна [95] из-за присутствия резонансов в рассеянии,обусловленных притягивательной частью.Хотя соображения гл.
6 о макроскопически когерентном состоянии всёещё применимы, нелинейность уравнения (15.94) привносит много разнообразных физических явлений, успешно изучаемых в атомных ловушках.Здесь мы приводим только пару примеров. В случае решений, не зависящих от времени, макроскопическая волновая функция эволюционирует современем тривиальным образом, как обсуждалось в (I.14.10) и (I.14.12), всоответствии сΨ(r, ) = (r)−(/~) ,|(r)|2 = (r),(15.95)где (r) — распределение плотности. Стационарное уравнение имеет вид−~2 2∇ (r) + ∘ (r)(r) + |(r)|2 (r) = (r),2(15.96)и интеграл от функции |(r)|2 нормирован на полное число частиц .Нормировка фиксирована, потому что уравнение теперь нелинейно.
Этоуравнение определяет, подобно приближению Томаса–Ферми (разд. 13.5),равновесную плотность газа.Пространственная конфигурация зависит от конкуренции характерныхдлин, корреляционного радиуса («длина залечивания») , определяемоговзаимодействием, среднего расстояния между частицами 0 ∼ −1/3 и размера внешнего потенциала . Для корреляционного радиуса мы получаем,22приравнивая√︀ кинетический член ∼ ~ /( ) и член взаимодействия ,2оценку ∼ ~ /(). Коллективные колебания, которые мы нашли выше, относятся к фононному типу, если длина волны больше . Эта длинабольше межчастичного расстояния на множитель~∼ 1/3 ∼ √∼ (3 )−1/6 ,0 1/6(15.97)где мы использовали длину рассеяния .
Из-за степени 1/6 это отношениене очень велико даже в разреженном газе, когда 3 ∼ (/0 )1/3 < 1. Есликорреляционный радиус мал по сравнению с типичным размером внешнегопотенциала, и мы не интересуемся поведением на таких малых расстояниях,то только внешний потенциал определяет макроскопическое распределениеплотности(r) + ∘ (r) = const = (15.98)412Глава 15. Бозоныпо аналогии с уравнением Томаса–Ферми (13.58).Для основного состояния решение может быть взято действительным,тогда как возможная координатная зависимость фазы соответствует присутствию токов, уравнение (I.14.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
