1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 42
Текст из файла (страница 42)
9.1). Пространственные функции сопределённой симметрией имеют асимптотику{︂}︂1 ( · )± −( · ) +[ ( ′ , ) ± (− ′ , )] .(9.68), =2Например, для бесспиновых бозонов√ мы имеем просто = 1 и = 0,поэтому формула (9.65) даёт Б = √2 ( ). «Приходящая» часть асимптотики волновой функции равна (1/ 2){exp[( · )] + exp[−( · )]}, чтосоответствует потоку (1/2)~/ в каждой волне, и − . Но нельзя сказать,какая частица движетсяслева, а какая справа. Рассеянная часть волновой√функции равна (1/ 2)( /)[ ( ′ , ) + (− ′ , )], и полный поток частиц,рассеянных в данном направлении, — это сумма потоков, относящихся кобеим частицам,⃒2⃒⃒ 1~ ⃒⃒ 1′′√ [ ( , ) + (− , )]⃒⃒ расс · = .(9.69)⃒ 22Как и в стандартной теории рассеяния, мы получаем сечение (индекс 0указывает спин частицы)⃒20 ⃒⃒= ( ′ , ) + (− ′ , )⃒(︀)︀= | ( ′ , )|2 + | (− ′ , )|2 + 2Re * ( ′ , ) (− ′ , ) .(9.70)В отличие от классического результата (9.59), амплитуды прямого и обменного процессов складываются когерентно, и появляется дополнительный9.6.
Рассеяние тождественных частиц257интерференционный член. В частности, для центрального поля мы имеем(︀)︀0 ()= | ()|2 + | ( − )|2 + 2Re * () ( − )(9.71)и⃒ (︁ )︁⃒20 (90∘ )⃒⃒(9.72)= 4 ⃒⃒ .2Сечение при 90∘ больше классического результата (9.60) в два раза.Для фермионов со спином 1/2 спиновая ситуация менее тривиальна,поскольку возможны синглетное ( = 0, = ) и триплетные ( = 1, = ) спиновые состояния. Соответственно, мы выбираем дополнительныепространственные функции и .Задача 9.9Докажите, что синглетное и триплетное фермионные сечения для взаимодействия, не зависящего от спина, равны)︂(︂⃒2⃒1/2(9.73)= ⃒ ( ′ , ) + (− ′ , )⃒ , =0(︂)︂⃒2⃒1/2(9.74)= ⃒ ( ′ , ) − (− ′ , )⃒ .
=1В триплетном случае (9.74) знак интерференционного члена противоположен знаку для бозевского случая, и, в центральном поле, сечение дляугла рассеяния 90∘ обращается в нуль. Формулы (9.70) и (9.73) немедленнопоказывают, что при разложении по парциальным волнам в этих случаяхостаются только чётные ℓ, тогда как в случае (9.74) — только нечётные.Если при столкновении двух тождественных фермионов все четыревозможные начальные спиновые состояния равновероятны, то наблюдаемоесечение даётся результатом усреднения по спину:(︂)︂(︂)︂1/21 1/23 1/2=+.(9.75)4 =0 4 =1Используя (9.73) и (9.74), мы получаем(︀)︀1/2= | ( ′ , )|2 + | (− ′ , )|2 − Re * ( ′ , ) (− ′ , ) .(9.76)258Глава 9. Тождественные частицыДля центрального поля это приводит к предсказанию1/2 (90∘ ) ⃒⃒ (︁ )︁⃒⃒2 1 кл (90∘ )= ⃒.⃒ =22(9.77)Эти результаты позволяют делать заключения о спинах частиц, если силы,например кулоновские, известны.Задача 9.10Покажите, что при столкновении двух поляризованных пучков тождественных частиц со спином 1/2 сечение равно⃒2 1⃒2⃒⃒1= (1 − cos ) ⃒ ( ′ , ) + (− ′ , )⃒ + (3 + cos ) ⃒ ( ′ , ) − (− ′ , )⃒ ,44(9.78)где — угол между направлениями поляризаций пучков.
Для неполяризованных пучков среднее значение cos = 0, и (9.78) переходит в предыдущиерезультаты (9.75) и (9.76).Задача 9.11Обобщите результат (9.76) на случай столкновения неполяризованныхпучков тождественных частиц со спином .Решение.Подсчитывая число симметричных и антисимметричных по спину состояний, мы получим для целого ⃒2⃒2 + 1 ⃒⃒ ⃒⃒Б= ( ′ , ) + (− ′ , )⃒ + ( ′ , ) − (− ′ , )⃒ (9.79)2 + 12 + 1и для полуцелого ⃒2⃒2 ⃒⃒ + 1 ⃒⃒Ф= ( ′ , ) + (− ′ , )⃒ + ( ′ , ) − (− ′ , )⃒ . (9.80)2 + 12 + 1Отметим, что полное сечение теперь нужно вычислять как∫︁1=,2чтобы не считать каждый акт рассеяния дважды.(9.81)15.7Intensity InterferometryWhen two identical particles arrive at two detectors from a remote extended source,the correlation arises due to the fact that the events (1,I; 2,II), with the arrival of9.7.
Интерферометрияинтенсивностей259particle 1 into the detector I and particle 2 into detector II, and (1,II; 2,I) are notdiscriminated by the receiving device, Figure 15.2.This principle was first suggested and practically used by R. Hanbury Brown andR.Q. Twiss, 1954,for measuring stellar radii via photon correlations [54] and inde9.7.
Интерферометрияинтенсивностейpendently applied to identical particles (specifically pions) produced by decay of ahadron resonance [55]. Currently, this method, HBT interferometry, is one of theКогда две тождественныечастицыдетектораиз inудаmain instrumentsfor studyingпопадаютa special phaseвof дваhot nuclearmatter createdthecollisionof two heavy ultrarelativisticin search for quark-gluonplasma.
Theлённого протяжённогоисточника,возникаетnucleiкорреляция,обусловленнаяcollision serves as a source of thousands of emitted particles which can be analyzedтем, что события (1,I;2,II), в которых частица 1 попадает в детектор I, аon the event-by-event basis.частица 2 в детектори события(1,II;to2,I)не различаютсяTheII,simplestcase correspondsthe sourcethat only consists of приёмнымtwo emitters, Aand B, Figure 15.2.
The pair of detectors, I and II, register the arrival of two identiустройством (рис. 9.2).cal particles with 4-momenta k1 (ω 1 , k 1 ) and k2 (ω 2 , k 2 ). The wave propagating fromx1ICIIAx2BFigure 15.2 Scheme of the intensity interferometry.Рис. 9.2. Схема интерферометрии интенсивностей!Этот принцип впервые предложили и практически использовали Р. Хэнбери Браун и Р. К. Твисс (1954) для измерения радиусов звёзд с помощьюкорреляций фотонов [58].
Независимо его применили для тождественныхчастиц(конкретно пионов), образующихся при распаде адронных резо!нансов [59]. Ныне этот метод, ХБТ-интерферометрия, является одним изглавных инструментов для изучения особой фазы горячей ядерной материи,создаваемой при столкновении двух тяжёлых ультрарелятивистских ядер впоисках кварк-глюонной плазмы. Столкновение служит источником тысячиспускаемых частиц, которые можно анализировать для каждого события.Простейший случай соответствует источнику, который состоит толькоиз двух излучателей, и (см. рис.
9.2). Пара детекторов I и II регистрируют прибытие двух тождественных частиц с 4-импульсами 1 (1 , 1 )и 2 (2 , 2 ). Волну, распространяющуюся от излучателя к детектору I,можно записать как exp[− · (1 − )], где мы используем четырёхмерныеобозначения · = − · . Каждый акт излучения характеризуетсянеизвестной фазой или . Волна, испущенная излучателем , можетбыть зарегистрирована любым из детекторов, например( ) → (1 ) → I(1 ) :−1 ·(1 − )+ .(9.82)!260Глава 9. Тождественные частицыВ результате амплитуда вероятности регистрации двух частиц двумя детекторами может быть записана как (1 , 2 ) =]︁1 [︁′′√ −1 ·(1 − )+ −2 ·(2 − )+ ± −1 ·(1 − )+ −2 ·(2 − )+ .2(9.83)Здесь мы предусмотрели два возможных типа статистики испущенныхчастиц и пренебрегли возможностью того, что обе частицы испущеныодним и тем же точечным источником.Вероятность такого скоррелированного события пропорциональна1 (1 , 2 ) = | (1 , 2 )|2 = [2 ± ± * ] ,2где′′ = (2 −1 )·( − )+( − + − ) .(9.84)(9.85)Фазы излучения считаются случайными, и нужно усреднить + * по этим′фазам.
Усреднение приводит к ненулевому результату, только если = ′и = . В этом случае хаотических источников скоррелированнаявероятность сводится к(︀)︀ (1 , 2 ) = 1 ± cos (2 − 1 ) · ( − ) ≡ 1 ± cos( · ) ,(9.86)где = 1 − 2 — относительный 4-импульс двух частиц, а характеризуетпространственное и временное расстояние между излучателями, т. e. размери продолжительность действия источника.Практическое измерение — это по существу счёт числа совпадений междудвумя детекторами в единицу времени по сравнению с числом срабатыванийодного детектора.
Последнее, например для детектора I, определяетсяамплитудой]︁1 [︁() = √ −(1 − )+ ± −(1 − )+ .2(9.87)Соответствующая вероятность равна() = |()|2 =1[2 ± (1 + 1* )] ,21 = ( − )+( − ) ,(9.88)9.7. Интерферометрия интенсивностей261и нормированная корреляционная функция может быть определена как(1 , 2 ) = (1 , 2 ).(1 )(2 )(9.89)Чтобы гарантировать статистическую независимость однократно инклюзивных множителей в знаменателе, их можно брать из разных событий.При полной хаотичности источников усреднение независимых фаз и даёт 1 = 0.
Тогда () → 1, и(1 , 2 ) = 1 ± cos( · ) .(9.90)Здесь мы видим, что интерференция первого порядка амплитуд от разныхисточников исчезает, но мы всё ещё наблюдаем интерференцию второгопорядка, что оправдывает название интерферометрия интенсивностей.В (9.90) ясно видно различие между двумя типами квантовой статистики.Для полностью хаотических источников мы имеем при → 0{︂2, бозоны,( → 0) =(9.91)0, фермионы.Видно бозонное усиление и фермионный провал для тождественных частицс одинаковыми импульсами, 1 = 2 .
При больших и протяжённом источнике размера ≫ 1/ усреднение по этому размеру даёт корреляционнуюфункцию, стремящуюся к 1 для обеих статистик.Задача 9.12Рассмотрите источник с пространственно-временной плотностью () иполучите аналог корреляционной функции точечных источников (9.90).Решение.Интегрируя по 4-мерному объёму источника и вводя Фурье-компоненту∫︁ = 4 (·) () ,(9.92)мы получим() = 1 ± | |2 .(9.93)При более реалистическом рассмотрении источники не полностью хаотичны, и корреляционные функции зависят не только от , но и от импульсацентра масс двух частиц (1 + 2 )/2.Дополнительная литература: [54], [60], [61], [62], [63], [64]Стоит потрудиться и изобрести новыйсимвол, если при этом мы не только устраняем некоторые логические трудности, нои обеспечиваем строгость доказательств.Ф.Л.Г.
Фреге. «Основания арифметики»Глава 10Изоспин10.1. Введение изоспинаКроме фундаментальных симметрий, связанных с основными свойствами пространства и времени, конкретные взаимодействия обнаруживаютдополнительные симметрии, которые, вообще говоря, могут быть приближёнными, поскольку нарушаются другими частями гамильтониана. Еслинарушения относительно слабы, имеет смысл начинать с идеальной картины, где новая симметрия рассматривается как точная и неинвариантныевзаимодействия выключены.
Это порождает полезную иерархию приближений, способную организовать и упорядочить эмпирические данные.Основные свойства протона и нейтрона почти одинаковы. Оба они имеютспин 1/2 и барионный заряд = 1, очень близкие массы, и их сильныевзаимодействия (ядерные силы) почти одинаковы. Разница в электромагнитных свойствах зачастую не слишком существенна, поскольку именносильные взаимодействия управляют наиболее значимой частью ядернойдинамики.Мы приходим к идее рассматривать нуклоны двух сортов как различныесостояния одного сильно взаимодействующего объекта. Этот объект имееттеперь внутреннюю степень свободы, которая определяет его проявлениекак протона или нейтрона.
Таким образом, мы имеем «двухуровневую»систему с двумя базисными состояниями:(︂ )︂(︂ )︂10, |⟩ =.(10.1)|⟩ =01Состояния (10.1) имеют определённый электрический заряд = 1 и = 0 в единицах , т. e. они являются собственными состояниями опера^ Рассматривая базис (10.1) по аналогии с обычным спиномтора заряда .264Глава 10. Изоспинкак -представление, можно сказать, что эта «ось квантования» связана со взаимодействием с электромагнитными полями, которое позволяетразличать два зарядовых состояния нуклона.Назовём пространство, охватываемое базисными спинорами (10.1), зарядовым пространством.
Все операторы в этом пространстве представленыматрицами 2 × 2, как в случае спинорных состояний частицы со спином1/2. Мы можем построить полный набор матриц, действующих в этомдвумерном пространстве, используя в качестве базиса единичную матрицуи матрицы 1,2,3 , определённые в точности так же, как матрицы Паули(II.5.12) в спиновом пространстве. Оператор заряда, очевидно, равен(︂)︂11 0^== (1 + 3 ).(10.2)0 02Недиагональные операторы порождают переходы между зарядовыми состояниями нуклона, как это имеет место в бета-распаде и в других слабыхпроцессах. Оператор, увеличивающий заряд, имеет вид(︂)︂0 1+ =, + |⟩ = 0, + |⟩ = |⟩ ;(10.3)0 0оператор, понижающий заряд, —(︂)︂0 0− == (+ )† ,1 0− |⟩ = |⟩,− |⟩ = 0.(10.4)Операторы ± построены из матриц Паули± = 1 ± 2(10.5)тем же способом, как повышающий и понижающий операторы ^± = ^ ±^любого оператора углового момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
