1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

. . , ), то для тождественных фермионов соответствующая нормированная волновая функцияпринимает вид1 ∑︁Ψ (1, . . . , ) = √(−) ^ Ψ(1, . . . , ) .! (9.16)Здесь сумма берётся по всем ! перестановкам с учётом их знаков. Подобным образом, волновая функция тождественных бозонов может быть9.4. Волновые функции невзаимодействующих частиц241записана в полностью симметризованном виде1 ∑︁ ^ Ψ(1, . . .

, ) .Ψ (1, . . . , ) = √! (9.17)Различие между волновыми функциями для двух типов статистики оченьсущественно. Вероятность найти два бозона в одной и той же точке пространства отлична от нуля, тогда как эта вероятность для двух фермионовс параллельными спинами равна нулю, что демонстрирует статистическое«отталкивание».В случае невзаимодействующих частиц фермионная волновая функция (9.16) становится слэтеровским детерминантом (9.15) для частиц1Ψ (1, . . . , ) = √det{ ()} ,!(9.18)где нумерует взаимно ортогональные одночастичные орбитали, занятыечастицами в данном многочастичном состоянии, и нам требуется по крайней мере независимых орбиталей , чтобы разместить фермионов.Слэтеровские детерминанты автоматически антисимметризованы, потомучто любая перестановка двух столбцов (или строк) меняет знак детерминанта. Нормировочныймножитель перед детерминантом для фермионов√равен 1/ !.

Если бы число доступных орбиталей было меньше , тонекоторые частицы были бы вынуждены находиться на одной орбитали. Вэтом случае мы получаем детерминант с совпадающими строками, равныйнулю. Мы приходим к принципу исключения Паули: в невзаимодействующей Ферми-системе никакие две частицы не могут занимать одну и ту жеорбиталь. Принцип Паули является частным случаем общего требованияантисимметрии. Любая функция с более чем одной тождественной частицей на одной и той же орбитали (как, например, первые два произведенияв (9.12)) с неизбежностью симметрична по переменным этих частиц.Очень удобно, особенно в случае больших , описывать полную многочастичную волновую функцию в терминах чисел заполнения (среднихзначений чисел частиц на каждой орбитали).

В случае невзаимодействующих фермионов и ортогональных орбиталей числа заполнения могутпринимать только значения 0 (пустая орбиталь) и 1 (заполненная орбиталь). В случае невзаимодействующих бозонов разрешены любые целыечисла заполнения от 0 до , последний случай соответствует полномуконденсату.

Представление чисел заполнения будет развито в гл. 11 в242Глава 9. Тождественные частицысхему вторичного квантования с операторами, действующими на числазаполнения (создавая и уничтожая частицы).Задача 9.2 тождественных частиц распределены по Ω ортогональным одночастичным орбиталям. Найти полное число (, Ω) возможных многочастичныхсостояний, имеющих правильную симметрию для бозонов и фермионов.Решение.Для фермионов полное число разрешенных состояний можно вычислить, комбинируя в соответствии с принципом Паули Ω возможностей дляпервой частицы, оставшиеся Ω − 1 для второй, Ω − 2 для третьей и такдалее, вплоть до Ω − ( − 1); конечно, должно быть 6 Ω.

Посколькучастицы тождественны, результат следует разделить на !Ферми : (, Ω) =Ω!.(Ω − )! !(9.19)Как и должно быть, состояние единственно = 1 для пустого пространства = 0, точно так же, как и для полностью заполненного пространства = Ω. Ответ симметричен по отношению к частицам ( ) и дыркам(Ω − ).Для бозонов задача эквивалентна следующей. Разместим частиц вдольпрямой и вставим Ω − 1 границ между ними, образуя Ω ячеек.

Каждоерасположение границ даёт конкретное распределение бозонов по Ω ящикам.Полное число объектов (частиц + стенок) равно Ω+ −1. Число различныхконфигураций Ω − 1 стенок даёт ответБозе : (, Ω) =(Ω + − 1)!.(Ω − 1)! !(9.20)Для различимых частиц число состояний есть просто Ω . Это следуетиз обоих уравнений (9.19) и (9.20) после исключения перестановочногомножителя ! в знаменателе и перехода к классическому пределу низкойплотности ≪ Ω.С учётом взаимодействия между частицами простые произведения одночастичных орбиталей (симметризованные, как в (9.10), или антисимметризованные, как в слэтеровском детерминанте (9.15)) уже не являютсястационарными состояниями.

Процессы взаимодействия переводят частицыс одних орбиталей на другие. Присутствие или отсутствие других частиц9.5. Двухнуклонные состояния243существенно влияет на амплитуды переходов. Так, переход фермиона назанятую орбиталь запрещён.Слэтеровские детерминанты для всех возможных распределений чиселзаполнения дают полный набор ортонормированных антисимметричныхволновых функций даже для Ферми-системы со взаимодействием. Этотнабор часто используется как базис для решения многочастичной задачи.Отметим, что для этого можно использовать любой полный набор одночастичных орбиталей, хотя на практике некоторый выбор может оказатьсяболее удобным. Числа заполнения различны в разных представлениях.

Всуперпозиции, представляющей истинное стационарное состояние, средниечисла заполнения являются, вообще говоря, дробными (между 0 и 1). Этоверно и для возбуждённых Ферми-систем, рассматриваемых с помощьютеплового ансамбля.Задача 9.3Иногда удобно рассматривать частиц, распределенных по неортогональным орбиталям , = 1, . . .

, так, что (анти-)симметризованная -частичная волновая функция даётся формулами (9.16) и (9.17), гдеΨ(1, . . . , ) — просто произведение 1 (1) · · · ( ). Найдите перекрытиедвух таких функций Ψ и Φ, построенных на наборах { } и { } соответственно.Решение.Если обе многочастичные функции этого типа нормированы, результатдля фермионов может быть выраженdet Θ⟨Ψ|Φ⟩ = √︀| det Θ ′ | · | det Θ′ |(9.21)через детерминанты матриц скалярных произведенийΘ = ⟨ | ⟩ .(9.22)Для бозонов мы получаем перманенты, такие же комбинации скалярныхпроизведений, как в (9.21), но со всеми знаками плюс.9.5. Двухнуклонные состоянияВ качестве первого реалистического примера мы рассмотрим простейшуювзаимодействующую ядерную систему = 2 нуклонов.

Здесь можно ясноувидеть, что отличает систему протон—нейтрон (—) от системы двух244Глава 9. Тождественные частицытождественных нуклонов, — или —, несмотря на то что ядерные силыв различных парах почти одинаковы (зарядовая независимость сильныхвзаимодействий). Поскольку движение центра масс двухчастичной системыможет быть отделено в общем виде (разд. 11.1), и это общее движение полностью симметрично в предположении равенства масс протона и нейтрона,мы будем интересоваться только относительным движением.Волновые функции относительного движения двух частиц имеют радиальную, угловую и спиновую части. Можно построить полный набор) для угловой частисостояний, используя сферические гармоники ℓ ((, ) — единичный вектор вдоль = = 1 − 2 ). Это определяет чёт(ность Π = (−)ℓ .

Мы будем использовать стандартные спектроскопическиеобозначения , , , , , ℎ, , , . . . для значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .орбитального момента ℓ. Спиновая функция двухнуклонной системы,обсуждавшаяся в § 22.3, может относиться к значениям полного спина = 1 + 2(9.23) = 0 (синглет) или = 1 (триплет). Триплетные состояния симметричны по отношению к обмену спиновых переменных, осуществляемомуоператором Бартлетта ^ , а синглетное состояние антисимметрично = (−)+1 .(9.24)В двухнуклонной системе пространственная инверсия меняет знак относительных координат и потому эквивалентна перестановке пространственныхкоординат, производимой оператором Майорана ^ .

Вспомнив (9.2), мыполучаем = (−)ℓ , = = (−)ℓ++1 .(9.25)В общем случае относительный орбитальный момент ℓ и спин пары несохраняются. Однако полная вращательная инвариантность гарантируетсохранение полного момента импульса = ℓ + .(9.26)Состояние с данными значениями ℓ и может иметь = ℓ в случае спинового синглета или = ℓ, ℓ±1 в случае спинового триплета (в исключительномслучае триплета с ℓ = 0 возможно только = = 1).

Как и в атомнойспектроскопии, получившиеся состояния будут обозначаться 2+1 (ℓ) , где(ℓ) — символ орбитального момента. В этих обозначениях классификациявсех возможных двухнуклонных состояний приведена в табл. 9.1.9.5. Двухнуклонные состояния245Таблица 9.1. Квантовые числа двухнуклонных состоянийСинглеты, = 0Триплеты, = 1=ℓ=ℓ−1=ℓ=ℓ+1ℓ=01031111303132234123132331332333414333435Поскольку единственными точными интегралами движения являются и (если не учитывать слабые взаимодействия) чётность Π = (−)ℓ , удобноиспользовать более короткие символы Π , которые содержат только этиквантовые числа. В двухнуклонной системе чётность синглетных состояний(−)ℓ = (−) однозначно определяется моментом .

В случае триплетныхсостояний квантовые числа и Π не определяют состояние однозначно:есть две возможности с разными ℓ = ± 1. Триплетные состояния сℓ = , а также состояние 3 0 с Π = 0− , единственны. Организуем таблицусостояний по-новому, в соответствии с точными квантовыми числами Πсильного взаимодействия (табл. 9.2).Таблица 9.2. Π -классификация двухнуклонных состоянийСинглетыТриплеты0+100−301+31,311−11312+12322−32,323+3 , 3333−13334+1434В принципе взаимодействие может смешивать состояния с одинаковыми Π , но разными ℓ или .

Существуют два типа возможных суперпозиций,совместимых с сохранением Π . Во-первых, могут смешиваться триплетныеи синглетные состояния с одинаковым ℓ, например 1 1 и 3 1 («вертикальноесмешивание»). Во-вторых, разрешена суперпозиция триплетных состоянийс ℓ = ± 1 («горизонтальное смешивание»). Механизм горизонтальногосмешивания связан с тензорными силами, которые строятся как произведения тензоров второго ранга в спиновом пространстве ∝ 1 2 − 13 (1 · 2 )), последний вызываети орбитального квадрупольного оператора ∝ 2 (смешивание двух орбитальных моментов с той же чётностью и Δℓ = 2.246Глава 9. Тождественные частицыОтметим, что состояния, доступные для вертикального смешивания,имеют противоположную перестановочную симметрию (9.25), а именноодинаковое поведение по отношению к , но противоположное по отношению к .

В отличие от этого, горизонтальное смешивание комбинируетдва состояния с одинаковой симметрией. Поэтому физика, лежащая в ихоснове, сильно различается. В действительности горизонтальное смешивание значительно сильнее, и единственно возможное связанное состояниепары нуклонов — это дейтрон, ≡ 21 H1 , —, волновая функция которогоявляется суперпозицией 3 1 + 3 1 , см. табл. 9.2.Мы перечислили двухнуклонные состояния, не упоминая, различны линуклоны, как в случае дейтрона, или тождественны.

Характеристики

Список файлов книги