1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Обсудите возможные состояниямолекулы водорода H2 с точки зрения статистики тождественных частици допустимых квантовых чисел [56].Решение.Молекулярная волновая функция должна быть антисимметричной относительно перестановки протонов. Электронная и колебательная волновыефункции основного состояния симметричны по координатам протонов.Ядерная спиновая функция антисимметрична для параводорода и симметрична для ортоводорода.
Правильная полная антисимметрия должнаобеспечиваться соответствующей симметрией угловой волновой функциимолекулы, симметричной для параводорода и антисимметричной для ортоводорода. Двухатомная молекула имеет вращательный спектр, соответствующий вращению вокруг оси, перпендикулярной к оси молекулы, см.), гдеразд.
I.5.7. Ориентационная волновая функция — это просто (единичный вектор описывает направление оси молекулы в пространстве.Эта функция приобретает множитель (−) при перестановке протонов(для двухчастичной системы это эквивалентно пространственной инверсии). Поэтому для молекулы параводорода разрешены только состоянияс чётными = 0, 2, . . .
, а для ортоводорода — только с нечётными = 1,3, . . . Вращательный спектр ортоводорода начинается с = 1, что даётдобавочную вращательную энергию по сравнению с основным состоянием252Глава 9. Тождественные частицыпараводорода = 0. При комнатной температуре, которая выше, чеминтервалы вращательной энергии, газообразный водород является статистической смесью этих двух модификаций в отношении орто : пара = 3 : 1,равном отношению чисел магнитных подуровней.
При низких температурах все молекулы релаксируют в параводородную фазу. Чтобы сохранитьзначительную долю ортоводородных молекул при низких температурах,охлаждение должно быть быстрее, чем время релаксации.Задача 9.8Рассмотрите упругое рассеяние нейтрона молекулами пара- и ортоводорода при очень низкой энергии, когда длина волны нейтрона больше,˚чем среднее расстояние между протонами в молекуле водорода (0,75 ).Покажите, что сравнение этих сечений позволяет определить знак длины —-рассеяния. Исторически этот важный эксперимент (Р. Саттон идр.) [57] по определению знаков синглетной и триплетной длин рассеяния был произведён по предложению Дж. Швингера и Э. Теллера [56].Знак амплитуды рассеяния важен для вопроса о существовании связанных—-состояний (отличных от дейтрона).Решение.Измерение сечения —-рассеяния не даёт информации о знаке .
Болеетого, в эксперименте с неполяризованными нейтронами и протонами можноизмерить только усреднённое значение синглетного и триплетного сечений:для данного столкновения пара может находиться в синглетном состояниис вероятностью 1/4 и в триплетном с вероятностью 3/4. Наблюдаемоесечение равно13¯ = + .(9.48)44Вследствие разницы в допустимых вращательных состояниях упругое рассеяние нейтрона различно для пара- и ортоводорода даже без ядерныхсил, зависящих от спина. При большой длине волны нейтрон когерентновзаимодействует с двумя протонами (ср. разд. 3.9); нужно складывать соответствующие упругие амплитуды. Чтобы получить правильный результатдля любого спинового состояния, запишем эффективную длину рассеяниядля —-взаимодействия как оператор^=)︀)︀1 (︀1 (︀1 − ^ + 1 + ^ .22(9.49)9.5.
Двухнуклонные состояния253Здесь и — синглетная и триплетная длины —-рассеяния соответственно, а ^ — спиновый обменный оператор (9.24). Комбинации 12 (1 ∓ ^ )в (9.49) извлекают из любого состояния его синглетную или триплетнуючасть. Используя явное выражение для спинового обменного оператора(см. т. 2, формула (7.27)), получаем эффективную длину —-рассеяния ввиде оператора, действующего на спиновые переменные^=]︀1 [︀ · ) .3 + + ( − )(4(9.50)Теперь мы можем применить это к рассеянию молекулой водорода.
Впределе очень низких энергий мы пренебрегаем размером молекулы посравнению с длиной волны нейтрона. Тогда можно просто сложить величины (9.50) для двух протонов и ввести эффективную длину рассеяния,симметричную по отношению к протонам:]︁1 [︁ · ^ ) ,^ = ^(1) + ^(2) = 3 + + ( − )(2(9.51)где — ядерный спин молекулы (9.23). Учитывая разность фаз, возникающую из-за конечного расстояния между протонами в молекуле, мы моглибы получить также члены, антисимметричные по спинам протонов. Ониответственны за переходы орто-пара и пара-орто.
За упругое рассеяние,как и за пара-пара и орто-орто возбуждения, ответственны симметричныечлены.^Упругое рассеяние описывается матричными элементами ⟨′ ′ ||⟩,′′где , и , — начальная и конечная проекции спина для налетающего нейтрона и молекулы соответственно. Наблюдаемое упругое сечение безполяризации нейтрона или молекулярного газа мишени и без измеренийконечных поляризаций пропорционально квадрату этого матричного элемента, усредненному по начальным поляризациям и просуммированномупо конечным поляризациям,упр ∝12(2 + 1)∑︁^|⟨′ ′ ||⟩|2 .(9.52) ′ ′Стандартный способ вычисления таких сумм следующий.
Сумма по начальным и конечным спиновым состояниям сводится к следу в спиновомпространстве)︁ ∑︁∑︁∑︁(︁∑︁(︀)︀| |2 =* =(† ) = Tr ^† ^ .(9.53)254Глава 9. Тождественные частицыСтандартная спиновая алгебра даёт(︀)︀2 · ^ )2 = ^ ^ + ( ) = ^ − ( · ^ ) .((9.54)След любой компоненты углового момента равен нулю.
В результате мыимеем^ = 2(2 + 1)Tr(^† )]︀1 [︀(3 + )2 + ( + 1)( − )2 .4(9.55)Чтобы сравнить сечения —- и —H2 -рассеяния, мы должны учесть различные факторы отдачи (приведённые массы), = /2 для рассеянияна свободных протонах и = 23 для рассеяния на молекуле. Амплитударассеяния пропорциональна приведённой массе, а сечение пропорциональноее квадрату. Для рассеяния нейтрона на протоне, связанном в тяжёлоймолекуле, приведённая масса близка к массе нуклона, и сечение было бы вчетыре раза больше, чем на свободном протоне.
Для двух модификациймолекулы водорода сечения упругого рассеяния нейтрона имеют видпара(︂ )︂24116= 4(3 + )2 =(3 + )2349(9.56)и]︀16 [︀(3 + )2 + 2( − )2 .9Сечение для свободных протонов в тех же обозначениях равно)︂(︂]︀ [︀3 2 1 2 + =(3 + )2 + 3( − )2 .¯ = 4444орто =(9.57)(9.58)Комбинация различных измерений позволяет определить длины рассеянияс их знаками: ≈ 5,44 фм, ≈ -23,72 фм. Из-за противоположных знаковтриплетной и синглетной длин сечение для ортоводорода значительно превышает сечение для параводорода.
Взглянув снова на нашу иллюстрациюсмысла длины рассеяния на рис. 2.6, мы понимаем, что этот результатсогласуется с наличием триплетного связанного состояния (дейтрона) иотсутствием синглетного связанного состояния.9.6. Рассеяние тождественных частицВ духе примера на рис. 9.1 мы можем рассмотреть процесс рассеяниядвух неразличимых частиц.
Даже в классической механике мы имеем дваслучая регистрации продуктов рассеяния одним и тем же детектором,9.6. Рассеяние тождественных частиц255помещённым (в системе центра масс) под некоторым углом . В случае Iдетектор регистрирует частицу , рассеянную на угол ; тогда частица могла бы быть зарегистрирована дополнительным детектором под углом − . В случае II частица рассеивается на угол − от оси столкновения,тогда как детектор регистрирует вместо неё частицу , тождественнуючастице .Наблюдаемое классическое сечение — просто сумма элементарных сечений прямого ( → ′ ) и обменного ( → − ′ ) процессов:кл ( ′ , ) = ( ′ , ) + (− ′ , ) .(9.59)В случае центрального поля дифференциальное сечение зависит только отугла рассеяния и (9.59) упрощается докл () = () + ( − ) ,(9.60)кл (90∘ ) = 2 (90∘ ) .(9.61)так чтоЧтобы найти правильный рецепт для квантового рассеяния, заметим,что правильно (анти-) симметризованная волновая функция двух тождественных частиц в системе центра масс имеет вид)︀1 (︀1√ 1 ± ^ ( ; , ) = √ [( ; , ) ± (− ; , )] ,22(9.62)где = − — относительные координаты, и — спиновые переменные,а знаки + и − относятся к бозонам и фермионам соответственно.
В простом случае, когда пространственные и спиновые переменные разделены,( ; , ) → ( )( , ), функция (9.62) может быть записана как1√ [( )( , ) ± (− )( , )]21= √ [( + )( + ) ± ( − )( − )] ,2(9.63)где комбинации с определённой симметрией имеют вид, =1−[( ) ± (−−)] ,2, =1[( , ) ± ( , )] .2(9.64)Очевидно, что такую (анти-) симметризацию можно провести и для нефакторизованных функций. Формула (9.63) даёт√Б ( ; , ) = 2 ( + )(9.65)256Глава 9. Тождественные частицыв бозевском случае иФ ( ; , ) =√2 ( + )(9.66)в фермиевском. Симметрии координатных и спиновых волновых функцийвсегда дополняют друг друга, обеспечивая правильную полную симметрию.В упругом рассеянии асимптотический вид пространственной (относительное движение) и спиновой волновой функции даётся выражением[︂]︂ · )(′ ( ; , ) ∼ + ( , )( , ) ,(9.67)где векторы и ′ = / меняют знак при перестановке частиц (переключение между случаями I и II на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
