1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Симметрия неможет быть нарушена возмущением, поскольку для тождественных частицгамильтониан возмущения также симметричен, так что законы сохранения (9.8) остаются в силе. Уравнение (9.8) в действительности являетсяформальным определением неразличимости.Конечно, нет необходимости строить начальное состояние, симметризованное или антисимметризованное по всем частицам данного типа воВселенной. Если частицы не взаимодействуют и не перекрываются, нетникакой разницы, тождественны они или нет; физические предсказанияодинаковы, когда квантовая интерференция исключена.9.3. Бозоны и фермионыТеорема квантовой теории поля о связи спина со статистикой (В.
Паули, 1940) утверждает, что волновые функции тождественных частиццелого спина всегда должны быть симметричны, а полуцелого спина —антисимметричны по отношению к любой перестановке всех переменныхтождественных частиц. Это формально следует из законов преобразованияволновых уравнений, описывающих соответствующие поля в четырёхмер-9.3. Бозоны и фермионы237ном пространстве Минковского.
Только при правильном выборе симметрииотносительно перестановок квантованное поле будет подчиняться принципу причинности и иметь положительно определённую энергию частиц —квантов поля. В некотором смысле это геометрическое свойство мираМинковского, которое несправедливо в некоторых моделях низших размерностей. Для бесспиновых частиц ограничения, налагаемые симметрией,следуют [54] из отождествления точек ( 1 , 2 ) и ( 2 , 1 ) в шестимерном конфигурационном пространстве и свойства непрерывности волновой функциив этом пространстве (нам встречался случай двух тождественных пионов(частиц спина 0) в распадах нейтральных каонов, разд.
8.10). Однако этодоказательство вряд ли можно обобщить на частицы с ненулевым спином;спин является существенно релятивистским свойством.Связь спина со статистикой значительно уменьшает число допустимыхмногочастичных состояний. Разрешены только состояния с правильнойперестановочной симметрией, Ψ и Ψ , и тип симметрии фиксирован длячастиц данного сорта. Статистические свойства, сильно зависящие от числадоступных состояний, существенно различны в этих двух случаях. Частицыс целым спином подчиняются симметричной статистике Бозе— Эйнштейна и называются бозонами. Частицы с полуцелым спином подчиняютсяантисимметричной статистике Ферми—Дирака и называются фермионами.Вещество сделано главным образом из фермионов — лептонов и барионов,на более глубоком уровне − кварков. Впрочем, мы всё ещё не знаем составтёмной материи во Вселенной.При высокой энергии возбуждения (температуре), когда число доступных квантовых состояний велико и среднее число частиц на одно квантовоесостояние ≪ 1, квантовые эффекты перекрытия можно игнорировать,так что многочастичная система переходит к классическому пределу статистики Больцмана.
Легко оценить, когда квантовые статистическиеэффекты становятся существенными для классического газа. Средняяэнергия частицы ¯ = (3/2) (мы выражаем температуру в энергетическихединицах, полагая постоянную Больцмана = 1; переходный множительк тепловым1 эВ = 11 600 K). Средний импульс частицы массы√√ единицам, ∼ ¯ ∼ , соответствуетдебройлевской длине волны тепло√вого движения ∼ ~/ ∼ ~/ .
При уменьшении температуры увеличивается, постепенно достигая величины порядка расстояния междучастицами 0 ≃ −1/3 , где = / — плотность газа (число частиц вединице объёма). Волновые пакеты, соответствующие разным частицам,238Глава 9. Тождественные частицыначинают перекрываться при температуре вырождения : ≃~2 2/3.(9.9)Тогда картина классического газа, состоящего из различимых пространственно разделённых частиц, теряет смысл, и необходимо применять квантовую статистику.Для электронов в типичных металлах температура вырождения порядка1–10 эВ, что выше температуры плавления. Это значит, что электроны в металлах должны рассматриваться как вырожденный квантовый газ. В полупроводниках можно регулировать плотность и, следовательно, температурувырождения. Для нуклонов при плотности ≈ 0, 17 фм−3 , приблизительносоответствующей внутренности ядер, оценка (9.9) даёт ∼ 10 МэВ.
Этосоответствует энергии возбуждения порядка сотен МэВ в средних ядрахс массовым числом ∼ 100. В низкоэнергетической ядерной физике мынаходимся гораздо ниже , так что здесь, как и в металлах, эффектыквантовой статистики имеют решающее значение.Здесь может быть уместно одно замечание. Во многих случаях составныеобъекты ведут себя как единое целое. Тогда для нахождения типа квантовой статистики нужно сосчитать число фермионных составляющих. Типстатистики нейтральных атомов определяется чётностью числа нейтроновв ядре (число протонов равно числу электронов).
Атом 8737 Rb50 состоитиз ядра (37 протонов и 50 нейтронов) со спином (полным моментом импульса ядра) 3/2 и 37 атомных электронов с полным спином 1/2 (которыйфактически определяется одним внешним валентным электроном). Такиеатомы образуют Бозе-газ. Бозе-конденсация паров рубидия при сверхнизких температурах порядка 2 × 10−8 K наблюдалась в 1995 г., показавпервый пример этого давно предсказанного явления: все тождественныеатомы занимают низший энергетический уровень в сосуде (атомной ловушке) [55]. Игнорируя взаимодействие между атомами, мы можем записатьтакую многочастичную волновую функцию как произведение одинаковыходночастичных функцийΨ(1, . .
. , ) = 0 (1)0 (2) · · · 0 ( ) .(9.10)Эта функция, очевидно, симметрична. Температуру конденсации, нижекоторой макроскопическая доля атомов занимает одно микроскопическоесостояние, можно оценить из (9.9) для плотности ∼ 1012 см−3 в ловушке.Атомы находятся в сверхтонком состоянии (разд. I.23.6) с полным момен-9.4. Волновые функции невзаимодействующих частиц239том импульса = 2, который следует считать спином атома как целого.Ясно, что такое рассмотрение является приближённым.
При высоких плотностях электронные оболочки разных атомов начинают перекрываться,и становится существенной фермионная природа электронов, не допускающая полной симметрии волновой функции. Строго говоря, нуклонытакже не являются простыми фермионами, поскольку на малых расстояниях начинают чувствоваться составляющие их кварки и глюоны. Обычнопредполагается, что при нормальной ядерной плотности такие эффектывряд ли существенны. Однако эта проблема не изучена подробно.Задача 9.1Рассмотрите две тождественные частицы на одночастичной орбите, характеризующейся угловым моментом .
Найдите разрешённые значенияуглового момента двухчастичной системы.Решение.Как показано в задаче 22.4 в т. 1, симметрия двухчастичной волновойфункции есть 12 = (−)2+ . Для бозонов целое, и требование статистики12 = +1 приводит к чётным . Для фермионов полуцелое, 2 — нечётноецелое, и требование 12 = −1 опять даёт чётные . В обоих случаяхразрешены только чётные значения : = 0, 2, . . .
, 2 для бозонов, = 0, 2, . . . , 2 − 1 для фермионов. (9.11)Полезно также вспомнить, что, как показывает уравнение (20.68) в т. I,двукратное применение операции обращения времени по-разному действуетна системы с целым и полуцелым угловым моментом. Поскольку приправильной связи спина со статистикой первый (второй) случай реализуетсядля чётного (нечётного) числа фермионов, операция 2 может различитьэти два случая.9.4. Волновые функции невзаимодействующих частицРассмотрим сначала систему двух невзаимодействующих частиц, которые могут занимать два одночастичных состояния (орбитали) 1 и 2 .Индексы 1 и 2 обозначают полные наборы переменных, характеризующихчастицу (а не метки частиц!).
Полная волновая функция Ψ(1, 2) является произведением одночастичных функций, так что имеются четыре240Глава 9. Тождественные частицывозможности:1 (1)1 (2) ,2 (1)2 (2) ,1 (1)2 (2) ,2 (1)1 (2) .(9.12)Для различимых частиц разрешены все варианты (9.12). В случае статистики Бозе мы должны симметризовать все функции; впрочем, первое ивторое произведения в (9.12) и так симметричны. Скомбинировав третье ичетвёртое произведения в нормированную симметричную комбинацию Ψ ,мы получаемБозе :1 (1)1 (2) ,2 (1)2 (2) ,]︀1 [︀√ 1 (1)2 (2) + 2 (1)1 (2) .
(9.13)2Оставшаяся нормированная антисимметричная комбинация Ψ являетсяединственной разрешённой для фермионов:Ферми :]︀1 [︀√ 1 (1)2 (2) − 2 (1)1 (2) .2(9.14)Заметим, что функции разных классов симметрии взаимно ортогональны.Комбинации с правильной симметрией в (9.13) и (9.14) демонстрируютпростейшие примеры квантовой запутанности тождественных частиц бездинамического взаимодействия (см.
гл. 19).Фермионная функция (9.14) имеет вид слэтеровского детерминанта⃒⃒1 ⃒⃒ 1 (1) 1 (2) ⃒⃒Ψ (1, 2) = √ ⃒(9.15)2 2 (1) 2 (2) ⃒с элементами (), где номер строки соответствует занятым орбиталям, аномер столбца нумерует частицы. В Ферми-системе тождественных частиц волновая функция меняет знак при любом обмене (транспозиции) .При перестановке, содержащей транспозиций, результирующее изменениезнака составляет (−) . Полное число перестановок равно !. Если дляразличимых частиц волновая функция была бы Ψ(1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
