1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В частности, так должно быть длянейтральных частиц, которые тождественны своим античастицам (частицы Майорана) [41].В первом случае = − частица и античастица имеют противоположную внутреннюю чётность: в левой части этого равенства пространственная инверсия выполняется над частицей, в то время как в правой частиэта операция производится над античастицей. Это согласуется с нерелятивистским пределом уравнения Дирака в предположении, что внутренняячётность двумерных спиноров (главная часть решения с положительной энергией) и (для решения с отрицательной энергией) одна и та же.Тогда их полные чётности явно противоположны, поскольку они связаны · p), уравнение (8.5).псевдоскаляром (210Глава 8.
Дискретные симметрии, нейтрино и каоны8.2. Преобразование обращения времениОбобщая нерелятивистские результаты (разд. I.8.1), будем искать антилинейное преобразование, которое включает перестановку начальных^ Ψ* (r, −), гдеи конечных состояний в матричных элементах, Ψ(r, ) → ^ ≡ необходима, чтобы обеспечитьдополнительная 4 × 4 матрица правильность преобразования внутренних переменных, таких как спин (см.разд. II.5.8).Ищем преобразование уравнения Дирака)︁Ψ(r, ) (︁^ Ψ(r, ),= + · p(8.13)меняя → −)︁Ψ(r, −) (︁^ Ψ(r, −)= + · pи осуществляя комплексное сопряжение, получаем:−(8.14))︁Ψ* (r, −) (︁ *^ Ψ* (r, −),= − * · p(8.15)^ * = −^с учетом того, что pp. Действуя затем унитарным оператором набиспинорные компоненты волновой функции, получим)︁ Ψ* (r, −) (︁ * −1^ Ψ* (r, −).= − * −1 · p(8.16)Таким образом, функцияΨ (r, ) = Ψ* (r, −)(8.17)удовлетворяет тому же уравнению Дирака, что требуется для инвариантности, если матрицы Дирака преобразуются согласно * −1 = ,.
* −1 = −(8.18)Поучительно сравнить это с зарядовым сопряжением (6.38), результатдействия которого имеет противоположный знак.Задача 8.1Показать, что в стандартном представлении (6.7) мы можем положить = † = −1 = 1 3 .(8.19)8.3. -преобразование211Легко видеть, что в присутствии электромагнитного поля (, A) инвариантность по отношению к обращению времени имеет место, только есливдобавок к преобразованию волновой функции (8.17) и матриц Дирака(8.18) векторный потенциал меняет знак A → −A, в то время как неменяется.
Это объясняется природой векторного потенциала, создаваемогоэлектрическим токами, которые должны менять знак при обращениивремени. Произвольный фазовый множитель с абсолютным значением1 может также присутствовать в определении (8.19).8.3. -преобразование.Квантовая теория поля утверждает [29], что в любой теории с локальными взаимодействиями, которая релятивистски инвариантна и сохраняетвероятность (унитарность динамики (гл. 1)), имеет место инвариантностьпо отношению к произведению трёх дискретных преобразований, обращения времени , пространственной инверсии и зарядового сопряжения. Для свободного уравнения Дирака это означает, что после перемноженияпреобразований (6.40), (8.4) и (8.19)Ψ(r, ) ⇒ − 5 Ψ(−r, −),(8.20)где матрица 5 была определена в уравнении (6.16), и мы положили фазовыемножители для - и -преобразований равными единице.По существу полное -преобразование сводится к четырёхмернойинверсии координат и времени, дополненной заменой всех частиц на античастицы, что может быть заметно только при взаимодействии с полем,например электромагнитным, которое различает частицы и античастицы.Этот результат согласуется со старой идеей, что античастицы могут рассматриваться как частицы, движущиеся обратно во времени.
Посколькуимпульс p и спин s частицы переходят при 4-инверсии в p (пространственное отражение компенсируется отражением времени) и −s (обращениевремени), -инвариантность предсказывает одинаковые вероятноститаких двух процессов:p, s ⇒ p′ , s′ (частица)(8.21)p, −s ⇒ p′ , −s′ (античастица).(8.22)и его -образа212Глава 8. Дискретные симметрии, нейтрино и каоныУниверсальность -инвариантности во всех принятых ныне теорияхпозволяет судить об инвариантности по отношению к отдельным дискретным преобразованиям по результатам экспериментов, в которых проверялась дополнительная инвариантность. Например, отсутствие инвариантности при комбинированной инверсии может рассматриваться какдоказательство нарушения инвариантности по отношению к обращениювремени .8.4.
Безмассовые частицыРассмотрим предельный случай уравнения Дирака для частицы с = 0.Такая частица движется в любой системе координат со скоростью света.Приближённо это уравнение используется также для описания любого ультрарелятивистского движения с ≫ . В согласии с этим, из уравненияДирака получаем (7.7) спектр энергий ( = 1) = ± |p| ≡ ± .(8.23)Удобно ввести единичный векторn=pp= sign .(8.24)Тогда двухкомпонентные безмассовые спиноры (7.15) удовлетворяют простым уравнениям= · p)( · n), = (= · p)( · n). = ((8.25) · n) совпадает со спиральностью ℎ для положительной энергииОператор (и с −ℎ для отрицательной энергии.Можно перейти к линейным комбинациям спиноров и 1 (±) = √ ( ± ).2(8.26)Они подчиняются несвязанным уравнениям Вейля · n) (±) .
(±) = ± ((8.27)В противоположность нерелятивистскому пределу, когда компоненты нижнего спинора малы, в ультрарелятивистском пределе, когда можно пре-8.4. Безмассовые частицы213небречь массой, оба спинора входят в уравнение (8.26) с равным весом.Новые спиноры (±) имеют определённую спиральность, соответствующиечастицы продольно поляризованы. Для такой частицы не нужно четырехкомпонент, они полностью описываются двухкомпонентными спинорами.В самом деле, у дираковских частиц при свободном движении сохраняетсяспиральность, задача 7.4.
Следовательно, квантовые состояния, описываемые спинорами (±) , сохраняют свою индивидуальность без смешивания спартнерами. Это означает, что мы можем использовать простое двухкомпонентное описание вместо полного уравнения Дирака. Смешивание (+) и (−) возможно только за счёт внешних полей или за счёт взаимодействияс другими частицами.Важно, что продольная поляризация безмассовой частицы является релятивистским инвариантом.
Для ̸= 0 можно найти систему отсчёта,движущуюся быстрее частицы. В этой системе спиральность частицы будетиметь противоположный знак. Но для = 0 такой системы не существует.Следовательно, должно быть возможным нахождение явно инвариантного определения спиральности безмассовых частиц. Это можно сделать спомощью оператора 5 , уравнение (6.16). Мы определим проекционныйоператор киральности как1Λ(±) = √ (1 ∓ 5 ).2(8.28)Используя стандартное представление (6.17) матрицы 5 и действуя напроизвольный биспинор (7.13), получим{︂(︂)︂ (︂)︂}︂ (︂)︂(︂)︂(︀)︀111 00 1± (±) = √Λ±=√,0 11 022 ± + (8.29)или, в терминах спиноров Вейля (8.26),(︂)︂ (︂)︂ (±)Λ(±)=.(8.30)± (±)Проекционный оператор киральности сводит биспинор к двухкомпонентному спинору определённой киральности.
Тот же результат для безмассовойчастицы, в силу (8.27), может быть достигнут с помощью оператора спиральности:)︁ (︂ )︂1 (︁√ (1 ± (ΣΣ · n)=2214Глава 8. Дискретные симметрии, нейтрино и каоны1=√2(︂ · n)1 ± (0 · n)01 ± ()︂ (︂)︂(︂= (±)± (±))︂.(8.31)Таким образом, для безмассовых частиц спиральность и киральность эквивалентныΣ · n) = −5 .(Σ(8.32)Это означает, что здесь спиральность является Лоренц-инвариантнымпсевдоскаляром.8.5. Нейтрино в безмассовом пределеДолгое время считалось, что нейтрино не имеют массы. Теперь вполнеопределенно можно утверждать, что масса нейтрино конечна, хотя, вероятно, очень мала даже по сравнению с массой электрона, который являетсялегчайшей среди известных частиц; единственной точно безмассовой частицей является фотон (и сюда может быть добавлен гравитон после обнаружения гравитационных волн).
Из-за малой массы все же имеет смыслпредставить мир безмассовых нейтрино. Прямое измерение масс нейтриновесьма затруднительно, до сих пор мы имеем только верхние границы масс.Сейчас мы знаем три типа (поколений), или ароматов нейтрино, связанных с тремя поколениями заряженных лептонов, — электрон, мюон и -лептон. Соответствующие нейтрино и антинейтрино образуются в слабыхвзаимодействиях вместе с их напарниками — заряженными лептонами.Слабые взаимодействия генерируются левыми токами.
Это означает, чтоволновая функция рождённого или взаимодействующего нейтрино в матричном элементе взаимодействия умножена на проекционный операторлевой киральности Λ(+) . В пределе → 0 эта левая спиральность инвариантна, и тогда мы имеем только левополяризованное нейтрино со спиномантипараллельным импульсу. Частицы ¯ , образуемые вместе с электрономв обычном -распаде нейтрона → + − + ¯(8.33)или в аналогичном − -распаде сложных ядер, называются электроннымиантинейтрино. Эта терминология относится к предполагаемому сохранению лептонного заряда, когда электрону приписывается лептонный заряд+1, а его нейтринный партнер должен иметь противоположный лептонныйзаряд −1.
Частица, образуемая вместе с позитроном в ядерном + -распаде8.5. Нейтрино в безмассовом пределе215ядра с протонами и = − нейтронами,() → ( − 1) +1 + + + ,(8.34)является электронным нейтрино с лептонным зарядом +1. Экспериментыпоказывают, что антинейтрино в таких процессах (8.33) правополяризованы, в противоположность нейтрино. Сопоставляя частицу нейтрино срешением > 0, а антинейтрино с античастицей, мы видим, что в обоих · n) = −1, поэтому в безмассовом пределе нейтрино, связанныеслучаях (со слабым взаимодействием, описываются уравнениями Вейля (8.27) снижним знаком.
Другая возможность могла бы иметь место при взаимодействиях, управляемых правыми токами, но такие взаимодействия ненаблюдались.Таким образом, стационарные волновые функции безмассовых нейтринохарактеризуются псевдоскалярным квантовым числом — спиральностью.При пространственной инверсии спиральность меняет знак, поэтому мыне получим ту же самую функцию с знаком + или — , как это было быв случае состояния с определённой чётностью; вместо этого мы придёмк отличному от него состоянию. Существование частицы с продольнойполяризацией, аналогично круговой поляризации фотона, само по себе неуказывает на несохранение чётности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
