1625913944-1728872b1824327ad1f84bf9a9126762 (536943), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Эффекты второго порядка193Ψ(r) нормирован на 1,∫︁1=3†∫︁ Ψ Ψ =3 († + † ),(7.54)и нам нужны поправки не выше, чем второго порядка, то достаточно взятьнижний спинор в этом условии нормировки в первом порядке по / изуравнения (7.50). Тогда{︃(︂)︂† (︂)︂}︃∫︁·p·p^)^)((3†1≈ +.(7.55)22·p^ ), находим с той же точностьюИспользуя эрмитовость оператора (]︂[︂]︂[︂∫︁∫︁·p^2^ )2p(3†3† = 1+,(7.56)1 = 1+42 242 2где использованы свойства матриц Паули. Последнее выражение, опять снужной точностью, может быть симметризовано по отношению к бра- икет-спинорам[︂]︂[︂]︂∫︁^2^2pp3†1≈ 1+ · 1+.(7.57)82 282 2Из (7.57) видно, что новый спинор[︂ = 1+]︂^2p82 2(7.58)правильно нормирован и может играть роль нерелятивистской волновойфункции с точностью до второго порядка.Для того чтобы использовать новую волновую функцию (7.58) в уравнении (7.53), вычислим следующее выражение[︂]︂[︂]︂[︂]︂^2^2^2ppp1+( − ) = 1 +( − ) 1 +.(7.59)82 282 282 2Пренебрегая членами четвёртого порядка, получаем( − ) +^2^2pp(−)+(−).82 282 2(7.60)194Глава 7.
Уравнение Дирака: решенияЗдесь первый член можно выразить с помощью уравнения (7.53), котороедаёт]︂[︂^2p( − )1+82 2}︀^2p1 {︀ 2·p·p^ ( − ) − 2(^ )( − )(^ ) + ( − )^+pp2 . (7.61)2228 В выражении внутри скобок в (7.61) члены, содержащие , сокращаются, вто время как оставшиеся могут быть преобразованы к виду(︁)︁^] .{...} = ~2 ∇2 + 2~ · [∇ × p(7.62)=Уравнение для правильной функции может быть получено действием наобе части (7.61) оператора[︂1+^2p82 2]︂−1≈1−^2p.82 2(7.63)В левой части (7.61) мы получим ( − ), в то время как в правой частинужно умножить на оператор (7.63) только первый член, тогда как второйчлен уже второго порядка)︂ 2 (︂)︂(︂^^2^2ppp1−( − ) = 1 −82 2 282 2(︁)︁}︁1 {︁ 2 2^~∇+2~·[∇×p].82 2В результате мы приходим к аналогу уравнения Шрёдингера+^ = (7.64)(7.65)с эффективным гамильтонианом второго порядка (и правильным ℓ-членом!))︁^2^4p~ (︁~2^ = p^−+(r)+·[∇×p]+∇2 .2 83 242 282 2(7.66)Физический смысл выведенных поправок и полученная картина тонкойструктуры атомных спектров обсуждались в разд.
II.8.3.7.7. Центральное полеЗдесь мы рассмотрим уравнение Дирака для частицы в статическом внешнем поле () = 0 () с центральной симметрией без нерелятивистского7.7. Центральное поле195приближения. Однако следует помнить, что само понятие внешнего поляи соответствующее описание частицы в этом поле с помощью уравненияДирака имеют ограниченную применимость.При использовании внешнего поля и одночастичной формулировки радиационными поправками, относящимся к испусканию и поглощению виртуальных фотонов, пренебрегают. Для легких атомов, где / ∼ ≪ 1,наше прежнее рассмотрение по теории возмущений полностью справедливо.Виртуальные процессы дают лэмбовский сдвиг атомных уровней (разд.II.13.8) порядка · ()2 ln(1/).
Это превышает поправки ∼ (/)4от точного решения уравнения Дирака, которые дают вклад ∼ ()4 .Следовательно, «точное» решение уравнения Дирака обычно превышаетточность, позволяющую пренебречь радиационными поправками. Тем неменее, в тяжёлых атомах, когда стремится к 1, радиационные поправки от виртуальных процессов играют сравнительно малую роль, и новыеэффекты, возникающие в сильных полях, заслуживают обсуждения. Напрактике необходимо также принимать во внимание конечность размеровтяжёлых ядер, так что потенциал при этом отличается от кулоновского.Из за присутствия спин-орбитальной связи спин и орбитальный моментне сохраняются отдельно, в то время как полный угловой момент строгосохраняется.
Гамильтониан в центральном поле даётся (с ~ = = 1)выражением^ = + (·p^ ) + (),(7.67)^и вектор орбитального момента ℓ^ не коммутирует с импульсом p^ = [ℓ^, (·p×p^ )] = [^ ].[ℓ^, ](7.68)Результат (7.30) показывает, что сохраняющийся релятивистский операторполного углового момента равен^j = ℓ^ + 1 Σ ≡ ℓ^ + ^s.2(7.69)Как и ранее в уравнении (7.13), введём верхний и нижний спинорыи запишем стационарное уравнение Дирака(︂)︂(︁)︁ (︂ )︂·p^ ) + () + (=(7.70)196Глава 7. Уравнение Дирака: решениякак систему двух связанных дифференциальных уравнений для двух спиноров:·p^ ),( − − ) = (·p^ ).( + − ) = ((7.71)Будем искать стационарные состояния с точными квантовыми числами и = . Соответствующие двухкомпонентные спин-угловые функцииявляются сферическими спинорами Ωℓ (задача II.8.1). Поскольку спино·p^ ), ониры и отличаются действием псевдоскалярного оператора (должны иметь противоположную чётность.
Существует только одна парасферических спиноров с одинаковыми , и различной чётностью, задачаII.8.3; они имеют взаимно дополнительные значения ℓ и ℓ′ орбитальногомомента (II.8.29)ℓ + ℓ′ = 2.(7.72)Таким образом, решение системы (7.71) имеет вид(︂)︂ (︂)︂ () Ωℓ (n)==,() Ωℓ′ (n)(7.73)где радиальные функции () и () следует определить. · n) (мыСферические спиноры Ωℓ и Ωℓ′ связаны через оператор (используем радиальный единичный вектор n). Между тем, наши уравнения·p^ ). Используя (II.8.30), находим связь этих(7.71) содержат оператор (операторов:·p·p^ ) = (^ )()Ωℓ′ (n)(()Ωℓ (n).Алгебра спина позволяет проделать следующее вычисление:·p · n)()Ωℓ (n) = (·p · r)^ )(^ )(= ((7.74)·p · r) = (^ · [^ · ℓ^).
(7.75)^ )((p · r) + (p × r]) = −(div r) − (r · ∇) − (Обозначая ′ ≡ /,(r · ∇)() ()== ′ − , и учитывая, что div r = 3, получаем(︂)︂1−′·p^ ) = − +( Ωℓ ,(7.76)(7.77)7.7. Центральное поле197где введено удобное релятивистское квантовое число :{︂1−(ℓ + 1), = ℓ + 1/2,^ · ℓ )⟩ℓ = ℓ(ℓ + 1) − ( + 1) − = = −1 − ⟨(,ℓ, = ℓ − 1/2.4(7.78)которое может быть коротко записано как|| = + 1/2.(7.79)·p^ ), где нужноС помощью аналогичной процедуры, применённой к ( · ℓ^)⟩ℓ , мы исключим спин-угловые перевзять дополнительное значение ⟨(менные и придём к связанной системе двух дифференциальных радиальныхуравнений′ +1− = ( − − ),′ +1+ = ( + − ). (7.80)Эту систему можно слегка упростить стандартной подстановкой для трехмерного движения (ранее мы использовали () = ()/) () = (),().(7.81) = −( − − ).(7.82)() = −Для новых функций получаем систему′ + = ( + − ),′ −Задача 7.6Решить уравнения (7.82) для случая свободного движения.Решение.При = 0 мы можем исключить одну из компонент, например , иполучить уравнение типа Шрёдингера(︂)︂√︀( + 1)′′2 + −=0,= 2 − 2(7.83)2с заменой ℓ → в центробежном члене.
Общее решение является супер√позицией функций ±(+1/2) (), где — функция Бесселя. Решение,√регулярное в нуле, для обоих значений есть ℓ+1/2 . Исходные функции198Глава 7. Уравнение Дирака: решения и — такие же сферические функции Бесселя, как в нерелятивистскомслучае, что фактически определяется геометрией пространства,√︂− () = ℓ (), () = − (sign )ℓ′ (),(7.84)+где — постоянная нормировки.Задача 7.7Полагая, что потенциал () в (7.82) спадает достаточно быстро при → ∞, найти универсальный асимптотический вид решения.Решение.В асимптотике уравнения (7.82) сводятся к ′ ≈ ( + ), ′ ≈ ( − ).Общее решение этой системы можно записать как√︂−− () = + , () = −(− − ).+(7.85)(7.86)Здесь=√︀2 − 2 .(7.87)Случай || > (непрерывный спектр, мнимая, ±) соответствуетзадаче рассеяния, и оба слагаемых в решениях необходимы для описания расходящихся и сходящихся сферических волн.
Для || < (внутриэнергетической щели) вещественна (для нерелятивистской задачи мыиспользуем то же обозначение ). Физические связанные состояния с экспоненциальным спадом на больших расстояниях требуют, чтобы () = 0,что определяет дискретный спектр энергий, если он существует.7.8. Кулоновское полеТочное решение уравнения Дирака может быть найдено для кулоновскогополя (в наших текущих единицах 2 = ), () = −,(7.88)7.8. Кулоновское поле199хотя, как отмечалось выше, область его справедливости ограничена тяжёлыми атомами.
Мы будем искать дискретный спектр, предполагая притяжение > 0 и вещественное значение , уравнение (7.87).Система уравнений, которую нужно решить, описывается выражениями(7.82):(︂)︂(︂)︂′′ + − ++ = 0, − + − + = 0. (7.89)Процедура решения проходит те же шаги, что и для нерелятивистскогослучая, разд. II.3.2. Введём безразмерную переменную расстояния = ,(7.90)найдём асимптотическое поведение ∼ exp(−) и степенной закон вблизиначала координат ∼ . Главные члены двух уравнений (7.89) при → 0определяют√︀ = 2 − ()2 ;(7.91)положительный знак корня выбран, чтобы избежать сингулярности в начале координат. Как обычно, мы должны искать полное решение в виде () = − (),() = − (),(7.92)а гладкие функции () и () могут быть найдены как степенные ряды:∑︁∑︁() = , () = .(7.93)=0=0Задача 7.8Вывести рекуррентные соотношения для коэффициентов и и определить дискретный спектр энергий связанных состояний.
Показать, чтосвязанным состояниям отвечают конечные полиномиальные решения.Решение.Уравнения для коэффициентов с = 0 разделяются:( − )0 − 0 = 0,( + )0 + 0 = 0.(7.94)200Глава 7. Уравнение Дирака: решенияДетерминант этой системы снова определяет поведение (7.91) в началекоординат. Для > 0 получим√︂−−1 + − ( − + ) + −1 = 0,(7.95)+√︂+−1 − − ( + + ) + −1 = 0.(7.96)−Комбинируя уравнения (7.95) и (7.96), найдём соотношение между коэффициентами и :(︃√︂)︃)︃(︃√︂++ + + + = ( + + ) − . (7.97)−−Асимптотики рядов при → ∞ показывают, что бесконечные ряды ведутсебя при больших как exp(2) с расходимостью ∝ exp(+) решения (7.92).Следовательно, нам нужны полиномиальные решения, которые обрываются при конечном числе = , так что и последние ненулевыекоэффициенты, в то время как +1 = +1 = 0.
Если так, то из системы(7.95, 7.96) находим√√ − = − + .(7.98)С этим условием уравнение (7.97) с = даёт(︁√)︁√ − − + = 2( + ).(7.99)Решая это уравнение для энергии, мы приходим к дискретному спектру(, ) = √︀,1 + [/( + )]2(7.100)где входит через определение , уравнение (7.91).Наивысшая степень играет роль радиального квантового числа =1, 2, ..., для двух возможных значений .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
